Wykład 2

Funkcja korelacji wzajemnej

 





,

1

t

R

xy

lim





T

  



dt

t

y

t

x

T

T







1

0

1

1

0



x



0



y



dla

i

 





,

1

t

R

xy

 



xy

R

Dla procesów stacjonarnych

Ogólnie:

 





xy

R

lim





T

  



dt

t

y

t

x

T

T







0

1

y

x





-

_

Odwrotne przekształcenie Fouriera daje w wyniku funkcję korelacji wzajemnej:

 





xy

R

 









d

e

j

S

j

xy









2

1

Własności funkcji korelacji wzajemnej:

 

 









xy

xy

R

R

 

 









yx

xy

R

R

 

  



y

x

T

T

xy

dt

t

x

t

y

T

R





















0

1

lim

1. Funkcja korelacji wzajemnej nie jest funkcją parzystą

tzn. że

wzór ten umożliwia wyznaczenie tej funkcji w czasie rzeczywistym ponieważ,

występuje w nim czas w przeszłości a nie w przyszłości.

2.

 

   

0

0

2

yy

xx

xy

R

R

R





 

 

 





0

0

2

1

yy

xx

xy

R

R

R







3.

4.

Funkcja korelacji wzajemnej

znormalizowana

:

 

 

 

 

   

0

0

0

yy

xx

xy

xy

xy

xy

R

R

R

R

R













Bezpośrednio z funkcji korelacji wzajemnej można uzyskać wiele informacji np.:

- określić czas opóźnienia przy przejściu sygnału przez obiekt,

- określić drogę sygnału przy obiektach wielowejściowych i wyjściowych,

- odnaleźć i określić sygnał w szumie zakłócającym,

- określić prędkość rozchodzenia się fal w różnych ośrodkach fizycznych itp.









d

e

R

j

S

j

xy

xy















)

(

)

(

)

(

)

(

*

)

(







j

Y

j

X

j

S

xy





)

(

*

)

(

)

(

)

(









j

Y

j

X

j

S

j

S

xy

yx







Wzajemna gęstość widmowa

Sposoby wyznaczania gęstości widmowej wzajemnej:

- poprzez przekształcenia Fouriera funkcji korelacji

wzajemnej,

- poprzez przekształcenia Fouriera procesów czasowych

x(t) i y(t)

wówczas:

natomiast:



 



























x

y

y

x

y

x

y

x

xy

I

R

I

R

j

I

I

R

R

j

Y

j

X

j

S

)

(

)

(

*

)

(









 



























y

x

x

y

y

x

y

x

yx

I

R

I

R

j

I

I

R

R

j

Y

j

X

j

S

)

(

*

)

(

)

(







czyli:

różnica występuje w części urojonej wzajemnej gęstości widmowej.

)

Im(

)

(

)

(







j

R

j

S

e

xy





Składowa
synfazowa

Składowa
kwadraturowa

Poniższe własności wynikają z właściwości opisanych przy funkcji korelacji wzajemnej:

)

(

)

(

)

(

2







yy

xx

xy

S

S

j

S





stąd

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2















yy

xx

xy

xy

S

S

j

S

nosi nazwę

funkcji koherencji

)

(

2





xy

Metody

identyfikacji

Analityczne

Wyznaczanie

ch-k

dynamicznych

Wyznaczanie ch-

k statycznych

Aktywn
e

Pasywne

Aktywn
e

Pasywne

Eksperymentalne

Identyfikacja obiektów

X

s

=A·1(t)→y

s

=g(t)

X

i

=A·[1(t)-1(t-t

1

)]→y

i

=g(t)-g(t-

t

1

)

czyli
g(t)=y

i

(t)+g(t-t

1

)

Stosowane sygnały wejściowe:
- sygnał skokowy x= A1(t) – (5-15% zakresu zmian wielkości wejściowej)
- impuls prostokątny x=A[1(t) – 1(t-t

1

)] – (15-25% zakresu zmian wielkości

wejściowej)
- sygnał harmoniczny x=Asinωt – wybór amplitudy sygnału jak i sygnałów wyżej
wymienionych zależy od zakłóceń działających na obiekt oraz stopnia nieliniowości
obiektu)
Przejście z odpowiedzi układu na impuls prostokątny na odpowiedź skokową:

x

y

a

dt

dy

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

n

n

n

n

n

n

















0

1

1

1

1

...

2

0

1

1

)

1

(

)

(

1

0

1

1

1

1

)

1

(

1

)

(

1

...

...

x

a

y

a

y

a

y

a

y

x

a

y

a

y

a

y

a

y

k

k

n

n

k

n

n

k

n

n

n

n































Z układu tych równań
można wyznaczyć
parametry modelu: a

0

,a

1

,…

a

n

Postać ogólna modelu obiektu:

Znając x i y po n-krotnym zróżniczkowaniu y otrzymuje
się:

Wadą metody

– mała dokładność wynikająca z błędów określenia pochodnych odpowiedzi układu.

s

ke

s

G

s







)

(

)

1

(

)

(

Ts

s

k

s

G





Obiekty astatyczne

lub



T





Obiekt inercyjny n-tego rzędu

Ts

ke

s

G

s







1

)

(



Metoda dokładniejsza –

Strejce’a

polega na zastąpieniu

transmitancji obiektu inercyjnego n-tego rzędu o różnych
stałych czasowych transmitancją zastępczą n-tego rzędu o
jednej stałej czsowej

 





n

sτ

sT

1

ke

s

G

0







y

i

t

1

i





T

1

T

2

t

Q

n T

2

/T

T

1

/

T

T

1

/T

2

t

i

/T

1

1

0

0

0

2

2,178

0,282

0,104

1

3

3,695

0,805

0,218

2

4

4,463

1,425

0,319

3

5

5,119

2,100

0,410

4

6

5,669

2,811

0,493

5

7

6,226

3,549

0,570

6

8

6,711

4,307

0,642

7

9

7,164

5,081

0,709

8

10 7,590

5,869

0,773

9

2

1

T

T

1) Wyznacza się punkt przegięcia
Q,
2) Znajduje się stosunek

3) Z tablicy odczytuje się rząd układu zastępczego (jeśli
wartość

jest zawarta między wierszami tabeli należy zmniejszyć T

1

przez

założenie opóźnienia



o

.

4) Wyznaczyć stałą czasową T na podstawie kolumny ,
sprawdzając

wg. kolumn i .

2

1

T

T

T

t

i

T

T

1

T

T

2

x

y

dt

dy

T

dt

y

d

T







0

2

2

2

0

2



1

0







Obiekt oscylacyjny

tłumienie

0

0

1

T





częstość drgań własnych nietłumionych

 

 

 

1

2

1

0

2

2

0









s

T

s

T

s

X

s

Y

s

G



0

0











T

stała tłumienia

 

2

0

2

2

0

*

2













s

s

s

G

 

t

x 1



 





t

t

e

t

y











sin

cos

1

t

δ*









2

2

0











Odpowiedź układu na wymuszenie skokowe

ma postać :

gdzie





















t

e

1





1



T

 

t

y

dt

dy

2



k

t

e



...

2

,

1

,

0



k

1

e

t

2

e

t

 

t

y

1

y

2

y

Ekstrema

- obliczamy

i przyrównujemy do zera. Występują dla

;

podstawiając i

do równania otrzymujemy

i

ω

π

δ*

e

y

y

2

1



T





2



2

1

ln

2

1

y

y

T 



;

czyli

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

0

ln

ln

2

1

2

1

y

y

y

y

T

T















































2

T

2

1

y

y

T





2





2

1











2

2

0











0

0

1





T

1) Z odpowiedzi skokowej odczytuje się i

2) Oblicza się

i następnie

3) Oblicza się

4) Oblicza się

stąd

Metody pasywne identyfikacji własności dynamicznych obiektów.

Odpowiedź obiektu liniowego na wymuszenie w postaci impulsu Dirace`a

)

(

1

t





(tzw. odpowiedź impulsowa) pozwala znaleźć odpowiedź obiektu

na dowolny sygnał x(t) z równania splotu

(tzw. całki Stiltiesa).







d

h

t

x

t

y

)

(

)

(

)

(

0









)

(

1

t





 

t

h

 

t

g

Analogicznie równanie całki Stiltiesa wiąże funkcję korelacji

wzajemnej i własnej z odpowiedzią impulsową obiektu.









0

)

(

)

(

)

(











d

h

R

R

xx

xy

Dowód tego równania podał Wiener i Chinczyn. Problem

identyfikacji obiektu dynamicznego sprowadza się do wyznaczenia

Rxx(τ) i Rxy(τ) i rozwiązania równania całkowego Wienera-

Chinczyna w celu wyznaczenia h(τ).

Metody rozwiązania równania:

- algebraiczna,

- przekształcenia Fouriera,

- metoda modelowania,

Metoda algebraiczna

Przekształcając równanie całkowe w równanie sumacyjne otrzymuje się:



















)

(

)

(

)

(

0

k

h

k

R

R

N

k

xx

xy





N

l

l

,...,

2

,

1

,

0









)

(

]

)

[(

)

(

1

0



















k

h

k

l

R

l

R

N

k

xx

xy

ponieważ

)]

(

[

)

(

)

(

)

(

















k

R

k

R

to

R

R

xx

xx

xx

xx









Otrzymujemy układ (N+1) równań liniowych z (N+1)

niewiadomymi h(0), h(Δ), h(2Δ),…, h(NΔ)























































































































































)

(

)

2

(

)

(

)

0

(

)

0

(

...,

],........

)

2

[(

],

)

1

[(

),

(

]

)

2

[(

...,

),........

0

(

),

(

),

2

(

]

)

1

[(

...,

),........

(

),

0

(

),

(

)

(

...,

),........

2

(

),

(

),

0

(

)

(

)

(

)

0

(

1

N

h

h

h

h

R

N

R

N

R

N

R

N

R

R

R

R

N

R

R

R

R

N

R

R

R

R

N

R

R

R

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xy

xy

xy







Transmitancję operatorową otrzymuje się z wyrażenia:

a

Laplace

cenie

przekszta

ł

dt

t

h

e

s

T

st

`

)

(

)

(

0











Transmitancję widmową natomiast:











0

)

(

)

(

Fouriera

cenie

przekszta

ł

dt

t

h

e

j

T

t

j





Metoda przekształcenia Fouriera









0

)

(

)

(

)

(











d

h

R

R

xx

xy

Po pomnożeniu równania przez



j

e



i scałkowaniu po τ w granicach od -∞ do +∞

otrzymujemy:

































0

)

)

(

)(

(

)

(



















d

d

e

R

h

d

e

R

j

xx

j

xy

Podstawiając za











otrzymujemy:

































0

)

(

)

(



















d

e

R

d

e

h

d

e

R

j

xx

j

j

xy

)

(



j

S

xy

=

)

(



j

T

·

)

(



xx

S

czyli:

)

(

)

(

)

(







xx

xy

S

j

S

j

T



powyższe równanie można wyprowadzić inaczej

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

T



lub

)

(

)

(

)

(







j

X

j

Y

j

T



stąd wynika, że:

)

(

)

(

)

(

*

)

(

*

)

(

)

(

)

(

)

(

2

















j

T

jako

oznaczmy

j

S

S

j

Y

j

Y

j

X

j

Y

j

T

yx

yy













oraz

)

(

)

(

)

(

*

)

(

*

)

(

)

(

)

(

)

(

1

















j

T

jako

oznaczmy

S

j

S

j

X

j

X

j

X

j

Y

j

T

xx

xy













Zauważmy, że na wyznaczenie S

yy

(ω) mają wpływ zakłócenia działające na obiekt:

x

x

y

y

z

T(jω)

T(jω)

Czyli dokładność wyznaczenia estymaty T2(jω) jest mniejsza

od T1(jω) stąd w procesie identyfikacji stosuje się wyrażenie

na T1(jω).

Ponieważ wartości T2(jω) są wyższe (sygnał wyjściowy jest

powiększony o zakłócenia) stosunek:

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1



























yy

xx

xy

yx

yy

xx

xy

S

S

j

S

j

S

j

S

j

S

j

S

j

T

j

T

koherencji

funkcja

S

S

j

S

yy

xx

xy

xy





)

(

)

(

)

(

)

(

2

2











Im[T(jω)]

Re[T(jω
)]

φ(jω)

ω

|T(jω)|

Charakterystyka amplitudowo-fazowa T(jω)

(wykres Nyquista)

Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa:

)

(

)

(

)

(







Sxx

j

S

j

T

xy



Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa:

))

(

Re(

))

(

Im(

)

(









j

S

j

S

arctg

j

xy

xy



)

(

)

(

*

)

(

*

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

*

)

(

2



















Sxx

Syy

j

X

j

Y

j

X

j

Y

j

T

j

T

j

T











dokładni
ej:

2

2

2

)

(

)

(

)

(







Sxx

j

S

j

T

xy





Wykres

Bodego