1

Szumy w układach
fizycznych

wykład monograficzny
2004/2005
dr hab. Jan Iwaniszewski

www.phys.uni.torun.pl/~jiwanisz

2

1. Istota wykładu



Proste i złożone układy fizyczne (liczba stopni swobody N)



N=1,2,3,… - układy mikroskopowe



atomy, cz. elementarne, kwarki, pole elektromagnet.,…



podstawowe oddziaływania



prawa mechaniki, elektrodynamiki, fizyki kwantowej,…



N~10

23

- układy makroskopowe



niepełna lub nieistotna informacja o stanie wszystkich składników układu



redukcja opisu – kilka istotnych stopni swobody, wypadkowe

oddziaływania (np. siła tarcia)



„nowe” prawa fizyczne (np. prawa termodynamiki), efekty kooperatywne



Badanie układu makroskopowego na podstawie analizy

elementów mikroskopowych – model, właściwości, prawa



fizyka statystyczna

- ale też chemia, biologia, geografia,

psychologia, socjologia, ekonomia



wspólna metodologia badań – metody fizyki statystycznej w naukach

przyrodniczych, ekonofizyka, fizyka transportu, synergetyka,…



podobne lub identyczne (uniwersalne) właściwości układów – inna

interpretacja problemu

3



Redukcja układu złożonego



opis statystyczny – wartości średnie, rozkład prawdopodobieństwa



układ podlega nieistotne (pominięte) stopnie swobody generują

tłumienie

i

fluktuacje

układu



nieistotne (pominięte) stopnie swobody opisane poprzez czynnik tłumiący

(np. stałą tłumienia) i czynnik generujący fluktuacje –

szum

(losowo

zmienny w czasie)



Każdy makroskopowy układ fizyczny podlega fluktuacjom



złożony jest z wielu elementów mikroskopowych (np. gaz w naczyniu)



oddziaływuje z otoczeniem (np. cząsteczka białka w wodzie, fluktuacje

napięcia zasilającego)



układ zamknięty – kompletny opis mikroskopowy, fluktuacje wewnętrzne,

ten sam mechanizm generuje dysypacje i fluktuacje, szum wewnętrzny



układ otwarty – różne, niezwiązane ze sobą mechanizmy dysypacji i

fluktuacji, szum zewnętrzny



Destrukcyjne i kreatywne działanie szumu

Tematem wykładu jest opis podstawowych efektów

wywołanych działaniem szumów na układy fizyczne ze

szczególnym uwzględnieniem ich kreatywnej roli

4



Treść wykładu

1.

Układ fizyczny i jego otoczenie - układy zamknięte i otwarte, ruchy

Browna, tłumienie i fluktuacje

2.

Opis fenomenologiczny - prawa Ficka, teorie Einsteina,

Smoluchowskiego i Langevina

3.

Szumy w układach rzeczywistych - rodzaje szumów i ich natura

4.

Matematyczny opis szumów - elementy rachunku prawdopodobieństwa

i teorii stochastycznych równań różniczkowych, procesy stochastyczne,

równania master, procesy Markowa,

5.

Zmienne dyskretne - procesy jednokrokowe, błądzenie przypadkowe,

równania kinetyczne

6.

Zmienne ciągłe - równania Langevina i Fokkera-Plancka

7.

Stany stacjonarne - bistabilność, przejścia fazowe indukowane szumem

8.

Ewolucja układów - relaksacja i rozpad stanów, stany przejściowe,

selekcja

9.

Aktywacja termiczna - reakcje chemiczne, problem Kramersa

10.

Efekty (quasi-)rezonansowe - rezonans stochastyczny, aktywacja

rezonansowa

11.

Zjawiska transportu - zapadki stochastyczne

12.

Układy wielowymiarowe i ośrodki ciągłe - synchronizacja, struktury

przestrzenne

13.

Metody numeryczne i doświadczalne

Tylko fizyka klasyczna (nie kwantowa), nie omawiane układy chaotyczne

5

2. Układ fizyczny i jego otoczenie



każdy układ fizyczny poza

całym Wszechświatem ma

swoje otoczenie



układ izolowany (idealizacja) i

nieizolowany



przejawy oddziaływania z

otoczeniem to:



tłumienie – zanik sygnału,

dysypacja energii, dekoherencja



fluktuacje - losowe zmiany w

czasie



stan układu:



równowaga



zerowy bilans wymiany z

otoczeniem,



zmiany w czasie jedynie jako

fluktuacje



daleki od stanu równowagi



niezachowany bilans wymiany z

otoczeniem



ewolucja układu w czasie

układ

otoczeni
e

S

R

oddziaływan
ie

układ, system

otoczenie, rezerwuar, kąpiel
cieplna

6



Np. oscylator harmoniczny (wahadło)



ruch w polu grawitacyjnym

siła deterministyczna F=mg



zderzenia z cząsteczkami powietrza



tłumienie drgań – wsp. tłumienia 



fluktuacje – F(t)



Zderzenia z cząsteczkami powietrza odbywają sią w
przypadkowych chwilach i miejscach i wpływają w sposób
losowy na ruch oscylatora. Ich efektem jest tłumienie
ruchu powodujące osiągniecie stanu stabilnego układu
deterministycznego oraz drobne fluktuacje wokół tego
stanu. Układ jest w stanie równowagi z otoczeniem.

Destrukcyjna rola otoczenia

mg

7



Ruchy Browna

Robert Brown

(1773-1858) – botanik szkocki

1827 mikroskopowe obserwacje zawiesiny wodnej

pyłku Clarkia pulchella (z rodziny pierwiosnków)

very evidently in motion

–

active molecules

8



Systematyczne badania Browna



podobne ruchy dla pyłków różnych roslin



podobne ruchy pyłków roślin martwych



podobne ruchy cząstek nieorganicznych

9



Badanie ruchów Browna w XiX w.



Doświadczenia



powszechność zjawiska



niezmienność w czasie (do czasu opadnięcia na dno)



niezależność od rodzaju cząstek



zależność od rozpuszczalnika (lepkość)



zależność szybkości od rozmiarów, np.

Ø 0.0013mm – v=0.0027 mm/s
Ø 0.0004mm – v=0.0038 mm/s



zależność szybkości od temperatury, np.

T=20

o

C – v=0.00032 cm/s

T=71

o

C – v=0.00051 cm/s



niezależność od warunków zewnętrznych, np. oświetlenie,

nakrycie szkiełkiem



Teorie



nierównomierność temperatury (ale T~10

5 o

C !!!)



prądy konwekcyjne wokół cząstki po absorpcji

promieniowania



siły wewnętrzne – odpychanie cząstek, włoskowatość



teorie kinetyczne

10



Adolf Eugen Fick

(1821-1901)

niemiecki fizjolog i wynalazca



1870 metoda pomiaru wydajności serca (pomiar

zawartości O

2

i CO

2

we krwi)



1887 idea szkieł kontaktowych

prawa Ficka

Uber diffusion. Poggendorff’s Annalen der

Physik

und Chemie 94, 59-86, (1855).

3. Opis fenomenologiczny ruchów Browna – cz.
I



Dyfuzja

– spontaniczne rozprzestrzenianie się (wnikanie, wsączanie)

cząsteczek (gazu lub cieczy), ciepła, pędu, … w przestrzeni (np.
pomiędzy cząstki drugiej substancji)

I prawo

:

II prawo

:

równanie ciągłości

c

D

j









c

D

j

t

c















-

prąd czastek

- koncentracja cząstek

j



c

D – stała dyfuzji

ciecze

ruchliwość

gazy

średnia droga swobodna

średnia prędkość kwadratowa

3

/

v

D

kT

D

kw













kw

v

11



Teoria Einsteina

Albert Einstein

(1879-1955)

It is possible that the movements to be discussed

here are identical with the so-called „Brownian

molecular motion”; however, the information

available to me regarding the latter is so lacking

in precision, that I can form no judgment in the

matter.
Ann. Phys. 17, 549-560 (1906) On the movement

of small particles suspended in a stationary

liquid demanded by the molecular-kinetic theory

of heat

Model statystyczno-mechaniczny

•

podstawą opisu jest analiza ciśnienia

osmotycznego w cieczy, nie zasada
ekwipartycji energii

• badanie średniego kwadratowego
przesunięcia cząstek rozpuszczonych a nie
ich średniej prędkości

• jednoczesne zastosowanie molekularnej
teorii ciepła i makroskopowej teorii
dysypacji

12



ruch cząstki spowodowany bardzo częstymi, niezależnymi od
siebie zderzeniami z molekułami cieczy



ruch tak skomplikowany, że można go opisywać tylko
probabilistycznie

f(x,t) – liczba cząstek
Browna w punkcie x
w chwili t

Ruch Browna jako wynik procesu dyfuzji cząsteczek cieczy

13

4. Opis fenomenologiczny ruchów Browna – cz.
II



Teoria Smoluchowskiego

Marian Smoluchowski (1872-1917)

Ruch polegający na dygotaniu i trzęsieniu

się, który odbywają drobne, w silnem

powiększeniu widzialne cząstki, znajdujące

się w stanie zawieszenia w cieczach, były

często badane od r. 1827, w którym zwrócił

na nie uwagę botanik Robert Brown, aż do

dziśdnia; a jednak zjawisko to nie zostało

jeszcze dostatecznie objaśnione.
Rozpr.

Wydz.

Mat.-Przyr.

Akad.

Umiejętności 46A, 755 (1906), Zarys teorii

kinetycznej ruchów Browna i roztworów

mętnych

Artykuł

sprowokowany

publikacjami

Einsteina, ale Smoluchowski myślał o

problemie od kilku lat

Analiza dedukcyjna

Teoria zbudowana na podstawie analizy danych
eksperymentalnych szukająca najprostszego wytłumaczenia
obserwowanego zachowania

14



Analiza wyników doświadczalnych



powszechność zjawiska



szybkość ruchu większa dla mniejszych cząsteczek



rodzaj cząstek nie odgrywa istotnej roli



zależność od rodzaju cieczy (lepkość)



ruchy szybsze w wyższej temperaturze



niezmienność w czasie



niezależność od rodzaju cząstek



zależność od warunków zewnętrznych



Analiza proponowanych wcześniej teorii



po konfrontacji z doświadczeniem odrzucenie teorii przyjmujących

zewnętrze źródło energii cząstek



spośród teorii przyjmujących wewnętrzne źródło energii należy

pewne też odrzucić, np. korzystające z efektu włoskowatości



z „teoryj kinetycznych, które przyjmujące energję cieplną jako

właściwy czynnik zjawiska” należy odrzucić hipotezę o ruchach

równoległych cząsteczek rozpuszczalnika w małych objętościach

(~1m

3

)



„najprostszy sposób tłumaczenia kinetycznego, mianowicie, że ruch

Browna powstaje wskutek przypadkowych uderzeń drobin cieczy,

udzielających ciałkom odpowiednich prędkości w coraz to innych

kierunkach”



wskazanie błędności rozumowania krytyków takiej hipotezy twierdzących,

że obserwowane prędkości byłyby dużo mniejsze (ale wiele uderzeń) lub

dużo większe (ale obserwujemy średnie prędkości) od obserwowanych

15



Założenia Smoluchowskiego



przypadkowe uderzenia w różnych kierunkach



zjawisko losowe, nie można efektu zderzeń od razu uśredniać



średnia energia cz. Browna musi odpowiadać średniej energii cząstek
rozpuszczalnika (teoria kinetyczna gazów, stan równowagi)



obserwowane są przesunięcia i prędkości uśrednione po wielu
zderzeniach, a nie prędkości odpowiadające energii kinetycznej
(przesunięcia bardzo krótkie, nie widać pojedynczych aktów zderzeń)



Masa cz. Browna dużo większa od masy cząstek rozpuszcalnika



 - średnia odległość przebyta przez cz. Browna w jednostce czasu

R

m

2

v

~





v – średnia prędkość cz. rozp.
M – masa cz. rozp.

 - wsp. lepkości (prawo Stokesa)
R – stała gazowa

Podobny wynik jak u Einsteina, różnica tylko w czynniku liczbowym

„Nie będę wchodził na tem miejscu w roztrząsanie bardzo pomysłowych
rozumowań, zapomocą których Einstein doszedł do swych wzorów, zauważę
jednak, że obie metody przez niego użyte polegają na wnioskowaniu
pośredniem, które nie wydają się zupełnie przekonywającem. W kazdym razie,
zgodność z bezposrednią metodą tutaj użytą, która lepiwj wyjaśnia mechanizm
całego zjawiska, należy uważać za pożądane potwierdzenie obu sposobów
rachunku.”

16



Teoria Langevina

Paul Langevin

(1872-1946)

„…infinittely more simple…” method
Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 146, 530 (1908),

Sur le théorie du mouvement brownien

Model mechaniczny

ruch cząstki Browna jako efekt istnienia
siły tarcia

- v

i siły fluktuującej w czasie

F(t)

lepkość

a - średnica

17



Nieco więcej historii



doświadczenia – Perrin
– nagroda Nobla 1926



teoria – Fokker, Planck, Ornstein,
Uhlenbeck, Chandrasekhar



kinetyka reakcji chemicznych
- teoria stanu przejściowego



procesy stochastyczne – Wiener



stochastyczne równania różniczkowe
– K.Ito (1940)



radiotechnika – Stratonovich, Rice



optyka kwantowa, laser (196…-7…)



wielodyscyplinarność aplikacji,
synergetyka H.Hakena (197…)

ruchy Browna → fluktuacje → szumy → procesy stochastyczne



klasyka literatury



H.Haken – Synergetics (1978)



H.Risken – The Fokker-Planck equation (1984)



C.W.Gardiner – Hanbook of stochastic methods (1983)



N.G. Van Kampen - Stochastic processes in physics and chemistry

(1987,1990)