4.2.4. Rozkład Weibulla
R o z kł a d W e i b u l l a j e s t j e d n y m z w n i o s k ó w s ta ty s ty c z n e j te o r i i w a r toś c i e k s tr e m a l n y c h
[ 2 ] . J e s t to j e d e n z n a j b a r d z i e j e l a s ty c z n y c h - j eś l i n i e n a j e l a s ty c z n i e j s z y - r o z k ł a d s ta ty s ty c z n y .
O z n a c z a to , ż e m o ż e z a s tą p i ć w i e l e i n n y c h p o p u l a r n y c h d o tą d r o z k ł a d ó w . S z c z e g ó l n ą z a l e tą te g o
r o z kł a d u j e s t p o s i a d a n i e d o l n e j l u b g ó r n e j g r a n i c y d z i e d z i n y z m i e n n e j l o s o w e j . I s tn i e n i e g r a n i c y
d o l n e j
j e s t
n i e o c e n i o ną
w ł a ś c i w o ś c i ą
p r z y
r o z p a tr y w a n i u
w s z e l k i c h
z a g a d n i e ń
w y tr z y m ał o ś c i o w y c h c z y to m e c h a n i c z n y c h c z y e l e k tr y c z n y c h . D y s tr y b u a n ta r o z k ł a d u W e i b u l l a
w w e r s j i d o s to s o w a n e j d o z a g a d n i eń w y tr z y m a ł o ś c i e l e k tr y c z n e j m a p o s tać :
F x
d l a
x X
x
X
X
X
d l a
x X
m
k
( )
e x p [ (
) ]
0
1
0
0
0
0
g d z i e :
X
0
- p a r a m e tr p r z e s u n ię c i a ( p r ó g w y tr z y m a ł o ś c i F ( X
0
) = 0 ) w y r aż o n y w j e d n o s tk a c h z m i e n n e j
l o s o w e j ;
X
m
- p a r a m e tr s k a l i ( F ( X
m
) = 1 - e
- 1
0 .6 3 2 ) w y r aż o n y w j e d n o s tk a c h z m i e n n e j l o s o w e j ;
k - b e z w y m i a r o w y p a r a m e tr k s z tał tu .
P r z y kł a d y f u n k c j i g ę s to ś c i i d y s tr y b u a n ty r o z k ł a d u W e i b u l l a d l a r ó ż n y c h p a r a m e tr ó w
k s z tał tu p o k a z a n o o d p o w i e d n i o n a r y s . 4 . 1 5 i 4 .1 6 .
0
100
200
0
0.05
0
100
200
0
0.5
1
R
y
s
. 4
.1
5
. F
u
n
k
c
je
gę
s
to
ś
c
i r
o
z
k
ła
d
u
W
e
ib
u
lla
d
la
tr
z
e
c
h
p
a
r
a
m
e
tr
ó
w
k
s
z
tałtu
k
=
1
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
dłu
g
a
), 3
.5
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
k
r
ó
tk
a
), 6
(lin
ia
c
ią
g
ła
).
R
y
s
. 4
.1
6
. D
y
s
tr
y
b
u
a
n
ty
r
o
z
kła
d
u
W
e
ib
u
lla
d
la
tr
z
e
c
h
p
a
r
a
m
e
tr
ó
w
k
s
z
tałtu
k
=
1
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
dłu
g
a
), 3
.5
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
k
r
ó
tk
a
), 6
(lin
ia
c
ią
g
ła
).
W p r o w a d z a ją c p r z e k s z t a ł c e n i e :
Z
X
X
X
X
m
0
0
u z y s k u j e s ię r o z k ł a d z r e d u k o w a n y d o p o s t a c i :
F z
z
d l a
z
k
( )
e x p (
)
1
0
D l a k = 1 r o z kł a d p o w y ż s z y , a w i ę c i r o z k ł a d W e i b u l l a w p o s t a c i p i e r w o t n e j , j e s t f u n k c ją
w y kł a d n i c z ą , c z y l i b a r d z o w a ż n y - w y k o r z y s t y w a n y s z e r o k o w t e o r i i n i e z a w o d n o ś c i - r o z k ł a d
w y kł a d n i c z y j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m r o z k ł a d u W e i b u l l a . J eś l i k = 2 o r a z X
0
= 0 t o
u z y s k u j e s ię f u n k c j ę z w a n ą r o z k ł a d e m R a y l e i g h a .
P o n i e w aż d z i e d z i n a z m i e n n e j l o s o w e j r o z k ł a d u W e i b u l l a o p o s t a c i d a n e j p o w yż s z y m
w z o r e m j e s t o g r a n i c z o n a l e w o s t r o n n i e a n i e o g r a n i c z o n a p r a w o s t r o n n i e t o r o z kł a d j e s t
a s y m e t r y c z n y . J e d n a kż e u s y t u o w a n i e w z g l ę d e m s i e b i e m i a r w a r t o ś c i c e n t r a l n y c h : m e d i a n y ,
m o d y i w a r t oś c i o c z e k i w a n e j ( ś r e d n i e j ) o r a z z n a k t r z e c i e g o m o m e n t u ( o k r e ś l a j ą c e g o a s y m e t r i ę )
z m i e n i a ją s i ę w f u n k c j i p a r a m e t r u k s z t a ł t u
k . W z w ią z k u z t y m i s t n i e j ą p r z y p a d k i p s e u d o s y m e t r i i
r o z kł a d u g d y „ w y d a j e s ię ” , ż e j e s t o n s y m e t r y c z n y . W t a b l i c y 4 . 1 z e s t a w i o n o p a r a m e t r y
c h a r a k t e r y z u ją c e r o z k ł a d W e i b u l l a . W t a b l i c y 4 . 2 z e s t a w i o n o w a r t o ś c i z r e d u k o w a n y c h m i a r
w a r t oś c i c e n t r a l n y c h z t a b l i c y 4 . 1 d l a t y c h w a r t o ś c i
k , d l a k t ó r y c h d w i e l u b t r z y z n i c h są s o b i e
r ó w n e i g d y z a n i k a t r z e c i m o m e n t c e n t r a l n y ( z a n i k a a s y m e t r i a ) .
T a b e l a 4 . 1
P a r a m e t r y z w ią z a n e z r o z k ł a d e m W e i b u l l a
P a r a m e t r
S y m b o l
W z ó r
M e d i a n a
X
X
X
X
m
k
0
0
1
2
(
) ( l n )
M o d a
~
X
X
X
X
k
d l a
k
m
k
0
0
1
1
1
1
(
) (
)
Z r e d u k o w a n y
m o m e n t r zę d u l
z
l
l
k
l
k
( )
M o m e n t r zę d u l
(
)
x
X
l
0
(
)
(
)
X
X
l
k
m
l
0
1
P i e r w s z y
m o m e n t
(ś r e d n i a )
X
X
X
X
l
k
d l a l
m
0
0
1
1
(
)
(
)
W a r i a n c j a
2
(
) [ (
)
(
) ]
X
X
k
k
m
0
2
2
1
2
1
1
S t a n d a r y z o w a n a
r óż n i c a o d X
m
d o X
0
B k
X
X
m
( )
0
1
1
2
1
1
2
(
)
(
)
k
k
S t a n d a r y z o w a n a
r óż n i c a o d X
m
d o
X
A k
X
X
m
( )
[
(
)
( )
1
1
1
k
B k
T r z e c i m o m e n t
c e n tr a l n y
3
(
)
(
)
(
)
(
)
x
X
x
X
x
X
x
X
0
3
0
2
0
0
3
3
2
W s p ół c z y n n i k
a s y m e t r i i
[ (
)
(
)
(
)
(
) ]
( )
1
3
3
1
2
1
1
2
1
1
2
3
3
k
k
k
k
B k
U w a g a :
( )z
x
e
d x
z
x
1
0
j e s t f u n k c j a G a m m a - E u l e r e ; z - l i c z b a r z e c z y w i s ta .
T a b l i c a 4 . 2 .
C z t e r y p s e u d o s y m e t r y c z n e p r z y p a d k i r o z kł a d u W e i b u l l a
W a r u n e k
P a r a m e t r
M e d i a n a
M o d a
Ś r e d n i a
W s p ół c z y n n i k
s k oś n o ś c i
k
1 / k
z
~z
z
z
=
~z
3 . 2 5 8 8 9
0 . 3 0 6 8 5
0 . 8 9 3 6 3
0 . 8 9 3 6 3
0 . 8 9 6 4 6
0 . 0 9 3 5 0
~z
=
z
3 . 3 1 1 2 5
0 . 3 0 1 8 9
0 . 8 9 5 2 5
0 . 8 9 7 1 9
0 . 8 9 7 1 9
0 . 0 7 4 4 7
z
=
z
3 . 4 3 9 3 8
0 . 2 9 0 7 5
0 . 8 9 8 9 2
0 . 9 0 4 9 4
0 . 8 9 8 9 2
0 . 0 4 0 5 7
= 0
3 . 6 0 2 3 2
0 . 2 7 7 6 0
0 . 9 0 3 2 6
0 . 9 1 3 6 9
0 . 9 0 1 1 4
0 . 0 0 0 0 0
U w a g a :
O d p o w i e d n i e
w a r t oś c i
w y r a ż o n e
w
j e d n o s t k a c h
z m i e n n e j
l o s o w e j
u z y s k u j e
s i ę
z
w z o r u :
(
)
x
z X
z
X
m
1
0
Jak wynika z tablicy 4.2, gdy dwie z wartości centralnych mają tę samą wartość to trzecia
różni się od nich nieznacznie. Podobnie wówczas gdy współczynnik asymetrii jest równy zeru to
wszystkie trzy miary wielkości centralnych mają wartości zbliżone. We wszystkich tych
przypadkach rozkład „wydaje się” być symetryczny. Ogólnie wrażenie symetrii rozkładu
Weibulla jest zachowane jeśli parametr kształtu jest zawarty w przedziale 3.2 < k < 3.7. W
przedziale tym rozkład Weibulla jest „podobny” do rozkładu normalnego i z powodzeniem może
rozkład normalny zastąpić, eliminując jego wady takie jak nieograniczoność dziedziny zmiennej
losowej. W ten sposób zachowując zgodność rozkładu zmiennej losowej z dotychczas
obserwowaną jego normalnością można uzyskać zgodność teorii statystycznej z fizyką zjawisk.
Na rys.4.17 wykreślono rozkłady Weibulla o parametrach kształtu k = 3.27 i k = 3.445 w
normalnej (Gaussowskiej) siatce prawdopodobieństwa. Na takiej siatce dystrybuanta rozkładu
normalnego jest linią prostą ( o siatkach funkcyjnych rozkładów statystycznych będzie mowa w
następnym rozdziale). Jak widać rozkłady Weibulla niewiele odbiegają od rozkładu normalnego i
to jedynie w zakresie prawdopodobieństw poniżej 10%, który to zakres jest stosunkowo trudny
do weryfikacji eksperymentalnej. Minimalne różnice między rozkładami Gaussa i Weibulla
stanowią że, w oparciu o ograniczoną liczbę obserwacji zmiennej losowej, trudno jest dokonać
wyboru rozkładu przy zastosowaniu jedynie statystycznych kryteriów. Wybór powinien w takich
przypadkach być dodatkowo wsparty argumentami wynikającymi ze znajomości fizycznych
właściwości badanego zjawiska. Przykładowo aby zniszczyć mechanicznie element maszyny
potrzebna jest siła większa od zera, lub aby nastąpiło przebicie elektryczne izolacji konieczne jest
napięcie większe (co do wartości bezwzględnej) od zera. W obu przypadkach, z fizyki zjawisk
wynika, że istnieje progowa, różna od zera, wartość zmiennej losowej (siły czy napięcia). Zatem
rozkład Weibulla będzie lepszym narzędziem nawet wówczas gdy do tej pory posługiwano się - z
dobrym wynikiem - rozkładem normalnym. Rozkład Weibulla jest bowiem w zgodzie z fizyką
zjawisk.
R
y
s
.
4
.
1
7
.
D
y
s
t
r
y
b
u
a
n
t
a
r
o
z
kł
a
d
u
n
o
r
m
a
l
n
e
g
o
(
l
i
n
i
a
p
r
o
s
t
a
)
i
d
y
s
t
r
y
b
u
a
n
t
y
r
o
z
k
ł
a
d
u
W
e
i
b
u
l
l
a
o
p
a
r
a
m
e
t
r
a
c
h
k
s
z
t
ał
t
u
k
=
3
.
2
7
i
k
=
3
.
4
4
5
w
y
k
r
eś
l
o
n
e
w
n
o
r
m
a
l
n
e
j
(
G
a
u
s
s
o
w
s
k
i
e
j
)
s
i
a
t
c
e
p
r
a
w
d
o
p
o
d
o
b
i
eń
s
t
w
a
.
J
eż
e
l
i
p
r
z
y
j
ą
ć
z
a
k
r
y
t
e
r
i
u
m
,
ż
e
d
l
a
w
a
r
t
o
ś
c
i
ś
r
e
d
n
i
e
j
z
p
r
a
w
d
o
p
o
d
o
b
i
eń
s
t
w
o
m
a
w
y
n
o
s
ić
0
.
5
(
5
0
%
)
t
o
r
o
z
kł
a
d
W
e
i
b
u
l
l
a
o
d
p
o
w
i
a
d
a
ją
c
y
r
o
z
k
ł
a
d
o
w
i
n
o
r
m
a
l
n
e
m
u
m
a
p
a
r
a
m
e
t
r
k
s
z
t
ał
t
u
k
=
3
.
5
.
T
e
n
r
o
z
kł
a
d
n
a
j
c
z
ę
ś
c
i
e
j
s
t
o
s
u
j
e
s
i
ę
j
a
k
o
p
o
k
r
y
w
a
j
ą
c
y
s
i
ę
p
r
a
k
t
y
c
z
n
i
e
z
r
o
z
k
ł
a
d
e
m
n
o
r
m
a
l
n
y
m
w
z
a
k
r
e
s
i
e
d
o
s
tę
p
n
y
m
d
o
o
b
s
e
r
w
a
c
j
i
e
k
s
p
e
r
y
m
e
n
t
a
l
n
y
c
h
.
J
e
s
t
t
o
r
o
z
k
ł
a
d
o
ś
r
e
d
n
i
e
j
b
l
i
s
k
i
e
j
m
e
d
i
a
n
i
e
(
t
a
b
.
4
.
2
)
i
o
b
a
r
d
z
o
m
ał
y
m
w
s
p
ó
ł
c
z
y
n
n
i
k
u
a
s
y
m
e
t
r
i
i
0
.
0
4
.
4.2.4. Rozkład dwuwykładniczy
(Gumbela)
R o z kł a d d w u w y kł a d n i c z y , p o d o b n i e j a k r o z k ł a d W e i b u l l a , j e s t w y n i k i e m r o z w aż a ń t e o r i i
w a r t oś c i e k s t r e m a l n y c h . P o s t a ć d y s t r y b u a n t y t e g o r o z k ł a d u j e s t n a s t ę p u j ą c a :
F x
x
X
d l a
X
m
( )
e x p { e x p [
(
) ] }
1
g d z i e : X
m
- m o d a w y r aż o n a w j e d n o s t k a c h z m i e n n e j l o s o w e j i s p e ł n i a j ą c a w a r u n e k
F X
e
m
(
)
.
1
0 6 3 2
1
; - p a r a m e t r ( w y r aż o n y w o d w r o t n oś c i a c h z m i e n n e j l o s o w e j ) b ę d ą c y
m i a rą r o z r z u t u z m i e n n e j l o s o w e j ( i m m n i e j s z e t y m r o z r z u t w ię k s z y i o d w r o t n i e ) .
P r z y kł a d y p r z e b i e g ó w f u n k c j i g ę s t o ś c i i d y s t r y b u a n t y r o z k ł a d u d w u w y kł a d n i c z e g o
p o k a z a n o o d p o w i e d n i o n a r y s . 4 . 1 8 i 4 . 1 9 .
W p r o w a d z a ją c p r z e k s z t a ł c e n i e y = ( x - X
m
) u z y s k u j e s ię r o z k ł a d s t a n d a r y z o w a n y :
F y
y
( )
e x p [ e x p ( ) ]
1
W z o r y o k r eś l a j ą c e p o d s t a w o w e p a r a m e t r y r o z k ł a d u d w u w y kł a d n i c z e g o z e s t a w i o n o w
t a b l i c y 4 . 3 .
100
0
100
200
0
0.02
0.04
100
0
100
200
0
0.5
1
R
y
s
.
4
.1
8
.
Gę
s
to
ś
c
i
r
o
z
k
ła
d
u
d
w
u
w
y
kła
d
n
ic
z
e
g
o
d
la
d
w
ó
c
h
w
a
r
to
ś
c
i
p
a
r
a
m
e
tr
u
(lin
ia
c
ią
g
ła
) i 0
.0
2
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
.
R
y
s
.
4
.1
9
.
D
y
s
tr
y
b
u
a
n
ty
r
o
z
kła
d
u
d
w
u
w
y
kła
d
n
ic
z
e
g
o
d
la
d
w
ó
c
h
w
a
r
to
ś
c
i
p
a
r
a
m
e
tr
u
(lin
ia
c
ią
g
ła
) i 0
.0
2
(lin
ia
p
r
z
e
r
y
w
a
n
a
.
T
a
b
lic
a
4
.3
P
a
r
a
m
e
t
r
y
z
w
ią
z
a
n
e
z
r
o
z
k
ła
d
e
m
d
w
u
w
y
kła
d
n
ic
z
y
m
P
a
r
a
m
e
t
r
S
y
m
b
o
l
W
z
ó
r
M
e
d
ia
n
a
X
X
X
m
m
ln
(
ln)
.
2
0
3
6
6
5
1
M
o
d
a
~
X
X
m
Ś
r
e
d
n
ia
X
X
X
g
d
z
ie
m
m
0
5
7
7
0
5
7
7
.
.
s
t
ała
E
u
le
r
a
W
a
r
ia
n
c
ja
2
2
2
6
W
s
p
ółc
z
y
n
n
ik
a
s
y
m
e
t
r
ii
-1
.1
3
9
6
P o ró w n u ją c ro z k ł a d d w u w y k ł a d n i c z y z ro z k ł a d e m n o rm a l n y m - o b y d w a m a j ą
d z i e d z i n y o b u s tro n n i e n i e o g ra n i c z o n e - m oż n a z a u w a ż y ć , ż e d l a m a ł y c h w a rto ś c i z m i e n n y c h
l o s o w y c h ro z kł a d d w u w y k ł a d n i c z y m a m n i e j s z e w a rto ś c i f u n k c j i g ę s to ś c i n i ż ro z k ł a d
n o rm a l n y . Gę s to ś ć p ra w d o p o d o b i e ń s tw a m o d y j e s t j e d n a k w i ę k s z a d l a ro z k ła d u
d w u w y kł a d n i c z e g o n i ż d l a ro z k ł a d u n o rm a l n e g o . R o z k ła d d w u w y k ła d n i c z y p o k ry w a s i ę w
p rz y b l iż e n i u z ro z k ł a d e m l o g a ry tm o - n o rm a l n y m . M i ę d z y ro z k ł a d e m W e i b u l l a a ro z k ł a d e m
d w u w y kł a d n i c z y m z a c h o d z i z a l e ż n o ś ć d l a d y s try b u a n t:
F w z
F d k
z
( )
(
l n )
c z y l i , ż e p o m i ę d z y ro z k ł a d e m W e i b u l l a a ro z k ł a d e m d w u w y k ła d n i c z y m z a c h o d z i p o d o b n y
z w ią z e k j a k m i ę d z y ro z k ł a d e m n o rm a l n y m a l o g a ry tm o - n o rm a l n y m .
Document Outline