4.2.4. Rozkład Weibulla

R o z kł a d W e i b u l l a j e s t j e d n y m z w n i o s k ó w s ta ty s ty c z n e j te o r i i w a r toś c i e k s tr e m a l n y c h

[ 2 ] . J e s t to j e d e n z n a j b a r d z i e j e l a s ty c z n y c h - j eś l i n i e n a j e l a s ty c z n i e j s z y - r o z k ł a d s ta ty s ty c z n y .

O z n a c z a to , ż e m o ż e z a s tą p i ć w i e l e i n n y c h p o p u l a r n y c h d o tą d r o z k ł a d ó w . S z c z e g ó l n ą z a l e tą te g o

r o z kł a d u j e s t p o s i a d a n i e d o l n e j l u b g ó r n e j g r a n i c y d z i e d z i n y z m i e n n e j l o s o w e j . I s tn i e n i e g r a n i c y

d o l n e j

j e s t

n i e o c e n i o ną

w ł a ś c i w o ś c i ą

p r z y

r o z p a tr y w a n i u

w s z e l k i c h

z a g a d n i e ń

w y tr z y m ał o ś c i o w y c h c z y to m e c h a n i c z n y c h c z y e l e k tr y c z n y c h . D y s tr y b u a n ta r o z k ł a d u W e i b u l l a

w w e r s j i d o s to s o w a n e j d o z a g a d n i eń w y tr z y m a ł o ś c i e l e k tr y c z n e j m a p o s tać :

F x

d l a

x X

x

X

X

X

d l a

x X

m

k

( )

e x p [ (

) ]






















0

1

0

0

0

0

g d z i e :
 X

0

- p a r a m e tr p r z e s u n ię c i a ( p r ó g w y tr z y m a ł o ś c i F ( X

0

) = 0 ) w y r aż o n y w j e d n o s tk a c h z m i e n n e j

l o s o w e j ;

 X

m

- p a r a m e tr s k a l i ( F ( X

m

) = 1 - e

- 1

 0 .6 3 2 ) w y r aż o n y w j e d n o s tk a c h z m i e n n e j l o s o w e j ;

 k - b e z w y m i a r o w y p a r a m e tr k s z tał tu .

P r z y kł a d y f u n k c j i g ę s to ś c i i d y s tr y b u a n ty r o z k ł a d u W e i b u l l a d l a r ó ż n y c h p a r a m e tr ó w

k s z tał tu p o k a z a n o o d p o w i e d n i o n a r y s . 4 . 1 5 i 4 .1 6 .

0

100

200

0

0.05

0

100

200

0

0.5

1

R

y

s

. 4

.1

5

. F

u

n

k

c

je

gę

s

to

ś

c

i r

o

z

k

ła

d

u

W

e

ib

u

lla

d

la

tr

z

e

c

h

p

a

r

a

m

e

tr

ó

w

k

s

z

tałtu

k

=

1

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

dłu

g

a

), 3

.5

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

k

r

ó

tk

a

), 6

(lin

ia

c

ią

g

ła

).

R

y

s

. 4

.1

6

. D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ty

r

o

z

kła

d

u

W

e

ib

u

lla

d

la

tr

z

e

c

h

p

a

r

a

m

e

tr

ó

w

k

s

z

tałtu

k

=

1

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

dłu

g

a

), 3

.5

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

k

r

ó

tk

a

), 6

(lin

ia

c

ią

g

ła

).

W p r o w a d z a ją c p r z e k s z t a ł c e n i e :

Z

X

X

X

X

m







0

0

u z y s k u j e s ię r o z k ł a d z r e d u k o w a n y d o p o s t a c i :

F z

z

d l a

z

k

( )

e x p (

)

 





1

0

D l a k = 1 r o z kł a d p o w y ż s z y , a w i ę c i r o z k ł a d W e i b u l l a w p o s t a c i p i e r w o t n e j , j e s t f u n k c ją

w y kł a d n i c z ą , c z y l i b a r d z o w a ż n y - w y k o r z y s t y w a n y s z e r o k o w t e o r i i n i e z a w o d n o ś c i - r o z k ł a d

w y kł a d n i c z y j e s t s z c z e g ó l n y m p r z y p a d k i e m r o z k ł a d u W e i b u l l a . J eś l i k = 2 o r a z X

0

= 0 t o

u z y s k u j e s ię f u n k c j ę z w a n ą r o z k ł a d e m R a y l e i g h a .

P o n i e w aż d z i e d z i n a z m i e n n e j l o s o w e j r o z k ł a d u W e i b u l l a o p o s t a c i d a n e j p o w yż s z y m

w z o r e m j e s t o g r a n i c z o n a l e w o s t r o n n i e a n i e o g r a n i c z o n a p r a w o s t r o n n i e t o r o z kł a d j e s t

a s y m e t r y c z n y . J e d n a kż e u s y t u o w a n i e w z g l ę d e m s i e b i e m i a r w a r t o ś c i c e n t r a l n y c h : m e d i a n y ,

m o d y i w a r t oś c i o c z e k i w a n e j ( ś r e d n i e j ) o r a z z n a k t r z e c i e g o m o m e n t u ( o k r e ś l a j ą c e g o a s y m e t r i ę )

z m i e n i a ją s i ę w f u n k c j i p a r a m e t r u k s z t a ł t u

k . W z w ią z k u z t y m i s t n i e j ą p r z y p a d k i p s e u d o s y m e t r i i

r o z kł a d u g d y „ w y d a j e s ię ” , ż e j e s t o n s y m e t r y c z n y . W t a b l i c y 4 . 1 z e s t a w i o n o p a r a m e t r y

c h a r a k t e r y z u ją c e r o z k ł a d W e i b u l l a . W t a b l i c y 4 . 2 z e s t a w i o n o w a r t o ś c i z r e d u k o w a n y c h m i a r

w a r t oś c i c e n t r a l n y c h z t a b l i c y 4 . 1 d l a t y c h w a r t o ś c i

k , d l a k t ó r y c h d w i e l u b t r z y z n i c h są s o b i e

r ó w n e i g d y z a n i k a t r z e c i m o m e n t c e n t r a l n y ( z a n i k a a s y m e t r i a ) .

T a b e l a 4 . 1

P a r a m e t r y z w ią z a n e z r o z k ł a d e m W e i b u l l a

P a r a m e t r

S y m b o l

W z ó r

M e d i a n a



X

X

X

X

m

k

0

0

1

2







(

) ( l n )

M o d a

~

X

X

X

X

k

d l a

k

m

k

0

0

1

1

1

1





 



(

) (

)

Z r e d u k o w a n y

m o m e n t r zę d u l

z

l

l

k

l

k

  ( )

M o m e n t r zę d u l

(

)

x

X

l



0

(

)

(

)

X

X

l

k

m

l







0

1



P i e r w s z y

m o m e n t

(ś r e d n i a )

X

X

X

X

l

k

d l a l

m

0

0

1

1











(

)

(

)



W a r i a n c j a



2

(

) [ (

)

(

) ]

X

X

k

k

m











0

2

2

1

2

1

1





S t a n d a r y z o w a n a

r óż n i c a o d X

m

d o X

0

B k

X

X

m

( ) 



0



1

1

2

1

1

2





(

)

(

)







k

k

S t a n d a r y z o w a n a

r óż n i c a o d X

m

d o

X

A k

X

X

m

( ) 





[

(

)

( )

1

1

1









k

B k

T r z e c i m o m e n t

c e n tr a l n y



3

(

)

(

)

(

)

(

)

x

X

x

X

x

X

x

X



















0

3

0

2

0

0

3

3

2

W s p ół c z y n n i k

a s y m e t r i i



[ (

)

(

)

(

)

(

) ]

( )









1

3

3

1

2

1

1

2

1

1

2

3

3



 







 





k

k

k

k

B k

U w a g a :

 ( )z

x

e

d x

z

x















1

0

j e s t f u n k c j a G a m m a - E u l e r e ; z - l i c z b a r z e c z y w i s ta .

T a b l i c a 4 . 2 .

C z t e r y p s e u d o s y m e t r y c z n e p r z y p a d k i r o z kł a d u W e i b u l l a

W a r u n e k

P a r a m e t r

M e d i a n a

M o d a

Ś r e d n i a

W s p ół c z y n n i k

s k oś n o ś c i

k

1 / k

z

~z

z



z

=

~z

3 . 2 5 8 8 9

0 . 3 0 6 8 5

0 . 8 9 3 6 3

0 . 8 9 3 6 3

0 . 8 9 6 4 6

0 . 0 9 3 5 0

~z

=

z

3 . 3 1 1 2 5

0 . 3 0 1 8 9

0 . 8 9 5 2 5

0 . 8 9 7 1 9

0 . 8 9 7 1 9

0 . 0 7 4 4 7

z

=

z

3 . 4 3 9 3 8

0 . 2 9 0 7 5

0 . 8 9 8 9 2

0 . 9 0 4 9 4

0 . 8 9 8 9 2

0 . 0 4 0 5 7

 = 0

3 . 6 0 2 3 2

0 . 2 7 7 6 0

0 . 9 0 3 2 6

0 . 9 1 3 6 9

0 . 9 0 1 1 4

0 . 0 0 0 0 0

U w a g a :

O d p o w i e d n i e

w a r t oś c i

w y r a ż o n e

w

j e d n o s t k a c h

z m i e n n e j

l o s o w e j

u z y s k u j e

s i ę

z

w z o r u :





(

 )

x

z X

z

X

m

 







1

0

Jak wynika z tablicy 4.2, gdy dwie z wartości centralnych mają tę samą wartość to trzecia

różni się od nich nieznacznie. Podobnie wówczas gdy współczynnik asymetrii jest równy zeru to

wszystkie trzy miary wielkości centralnych mają wartości zbliżone. We wszystkich tych

przypadkach rozkład „wydaje się” być symetryczny. Ogólnie wrażenie symetrii rozkładu

Weibulla jest zachowane jeśli parametr kształtu jest zawarty w przedziale 3.2 < k < 3.7. W

przedziale tym rozkład Weibulla jest „podobny” do rozkładu normalnego i z powodzeniem może

rozkład normalny zastąpić, eliminując jego wady takie jak nieograniczoność dziedziny zmiennej

losowej. W ten sposób zachowując zgodność rozkładu zmiennej losowej z dotychczas

obserwowaną jego normalnością można uzyskać zgodność teorii statystycznej z fizyką zjawisk.

Na rys.4.17 wykreślono rozkłady Weibulla o parametrach kształtu k = 3.27 i k = 3.445 w

normalnej (Gaussowskiej) siatce prawdopodobieństwa. Na takiej siatce dystrybuanta rozkładu

normalnego jest linią prostą ( o siatkach funkcyjnych rozkładów statystycznych będzie mowa w

następnym rozdziale). Jak widać rozkłady Weibulla niewiele odbiegają od rozkładu normalnego i

to jedynie w zakresie prawdopodobieństw poniżej 10%, który to zakres jest stosunkowo trudny

do weryfikacji eksperymentalnej. Minimalne różnice między rozkładami Gaussa i Weibulla

stanowią że, w oparciu o ograniczoną liczbę obserwacji zmiennej losowej, trudno jest dokonać

wyboru rozkładu przy zastosowaniu jedynie statystycznych kryteriów. Wybór powinien w takich

przypadkach być dodatkowo wsparty argumentami wynikającymi ze znajomości fizycznych

właściwości badanego zjawiska. Przykładowo aby zniszczyć mechanicznie element maszyny

potrzebna jest siła większa od zera, lub aby nastąpiło przebicie elektryczne izolacji konieczne jest

napięcie większe (co do wartości bezwzględnej) od zera. W obu przypadkach, z fizyki zjawisk

wynika, że istnieje progowa, różna od zera, wartość zmiennej losowej (siły czy napięcia). Zatem

rozkład Weibulla będzie lepszym narzędziem nawet wówczas gdy do tej pory posługiwano się - z

dobrym wynikiem - rozkładem normalnym. Rozkład Weibulla jest bowiem w zgodzie z fizyką

zjawisk.

R

y

s

.

4

.

1

7

.

D

y

s

t

r

y

b

u

a

n

t

a

r

o

z

kł

a

d

u

n

o

r

m

a

l

n

e

g

o

(

l

i

n

i

a

p

r

o

s

t

a

)

i

d

y

s

t

r

y

b

u

a

n

t

y

r

o

z

k

ł

a

d

u

W

e

i

b

u

l

l

a

o

p

a

r

a

m

e

t

r

a

c

h

k

s

z

t

ał

t

u

k

=

3

.

2

7

i

k

=

3

.

4

4

5

w

y

k

r

eś

l

o

n

e

w

n

o

r

m

a

l

n

e

j

(

G

a

u

s

s

o

w

s

k

i

e

j

)

s

i

a

t

c

e

p

r

a

w

d

o

p

o

d

o

b

i

eń

s

t

w

a

.

J

eż

e

l

i

p

r

z

y

j

ą

ć

z

a

k

r

y

t

e

r

i

u

m

,

ż

e

d

l

a

w

a

r

t

o

ś

c

i

ś

r

e

d

n

i

e

j

z

p

r

a

w

d

o

p

o

d

o

b

i

eń

s

t

w

o

m

a

w

y

n

o

s

ić

0

.

5

(

5

0

%

)

t

o

r

o

z

kł

a

d

W

e

i

b

u

l

l

a

o

d

p

o

w

i

a

d

a

ją

c

y

r

o

z

k

ł

a

d

o

w

i

n

o

r

m

a

l

n

e

m

u

m

a

p

a

r

a

m

e

t

r

k

s

z

t

ał

t

u

k

=

3

.

5

.

T

e

n

r

o

z

kł

a

d

n

a

j

c

z

ę

ś

c

i

e

j

s

t

o

s

u

j

e

s

i

ę

j

a

k

o

p

o

k

r

y

w

a

j

ą

c

y

s

i

ę

p

r

a

k

t

y

c

z

n

i

e

z

r

o

z

k

ł

a

d

e

m

n

o

r

m

a

l

n

y

m

w

z

a

k

r

e

s

i

e

d

o

s

tę

p

n

y

m

d

o

o

b

s

e

r

w

a

c

j

i

e

k

s

p

e

r

y

m

e

n

t

a

l

n

y

c

h

.

J

e

s

t

t

o

r

o

z

k

ł

a

d

o

ś

r

e

d

n

i

e

j

b

l

i

s

k

i

e

j

m

e

d

i

a

n

i

e

(

t

a

b

.

4

.

2

)

i

o

b

a

r

d

z

o

m

ał

y

m

w

s

p

ó

ł

c

z

y

n

n

i

k

u

a

s

y

m

e

t

r

i

i





0

.

0

4

.

4.2.4. Rozkład dwuwykładniczy

(Gumbela)

R o z kł a d d w u w y kł a d n i c z y , p o d o b n i e j a k r o z k ł a d W e i b u l l a , j e s t w y n i k i e m r o z w aż a ń t e o r i i

w a r t oś c i e k s t r e m a l n y c h . P o s t a ć d y s t r y b u a n t y t e g o r o z k ł a d u j e s t n a s t ę p u j ą c a :

F x

x

X

d l a

X

m

( )

e x p { e x p [

(

) ] }

 



 

  

 

1



g d z i e : X

m

- m o d a w y r aż o n a w j e d n o s t k a c h z m i e n n e j l o s o w e j i s p e ł n i a j ą c a w a r u n e k

F X

e

m

(

)

.

 





1

0 6 3 2

1

;  - p a r a m e t r ( w y r aż o n y w o d w r o t n oś c i a c h z m i e n n e j l o s o w e j ) b ę d ą c y

m i a rą r o z r z u t u z m i e n n e j l o s o w e j ( i m  m n i e j s z e t y m r o z r z u t w ię k s z y i o d w r o t n i e ) .

P r z y kł a d y p r z e b i e g ó w f u n k c j i g ę s t o ś c i i d y s t r y b u a n t y r o z k ł a d u d w u w y kł a d n i c z e g o

p o k a z a n o o d p o w i e d n i o n a r y s . 4 . 1 8 i 4 . 1 9 .

W p r o w a d z a ją c p r z e k s z t a ł c e n i e y =  ( x - X

m

) u z y s k u j e s ię r o z k ł a d s t a n d a r y z o w a n y :

F y

y

( )

e x p [ e x p ( ) ]

 



1

W z o r y o k r eś l a j ą c e p o d s t a w o w e p a r a m e t r y r o z k ł a d u d w u w y kł a d n i c z e g o z e s t a w i o n o w

t a b l i c y 4 . 3 .

100

0

100

200

0

0.02

0.04

100

0

100

200

0

0.5

1

R

y

s

.

4

.1

8

.

Gę

s

to

ś

c

i

r

o

z

k

ła

d

u

d

w

u

w

y

kła

d

n

ic

z

e

g

o

d

la

d

w

ó

c

h

w

a

r

to

ś

c

i

p

a

r

a

m

e

tr

u







 

(lin

ia

c

ią

g

ła

) i 0

.0

2

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

.

R

y

s

.

4

.1

9

.

D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ty

r

o

z

kła

d

u

d

w

u

w

y

kła

d

n

ic

z

e

g

o

d

la

d

w

ó

c

h

w

a

r

to

ś

c

i

p

a

r

a

m

e

tr

u











(lin

ia

c

ią

g

ła

) i 0

.0

2

(lin

ia

p

r

z

e

r

y

w

a

n

a

.

T

a

b

lic

a

4

.3

P

a

r

a

m

e

t

r

y

z

w

ią

z

a

n

e

z

r

o

z

k

ła

d

e

m

d

w

u

w

y

kła

d

n

ic

z

y

m

P

a

r

a

m

e

t

r

S

y

m

b

o

l

W

z

ó

r

M

e

d

ia

n

a



X

X

X

m

m



 

ln

(

ln)

.

2

0

3

6

6

5

1





M

o

d

a

~

X

X

m

Ś

r

e

d

n

ia

X

X

X

g

d

z

ie

m

m

  











0

5

7

7

0

5

7

7

.

.

s

t

ała

E

u

le

r

a

W

a

r

ia

n

c

ja



2





2

2

6



W

s

p

ółc

z

y

n

n

ik

a

s

y

m

e

t

r

ii



-1

.1

3

9

6

P o ró w n u ją c ro z k ł a d d w u w y k ł a d n i c z y z ro z k ł a d e m n o rm a l n y m - o b y d w a m a j ą

d z i e d z i n y o b u s tro n n i e n i e o g ra n i c z o n e - m oż n a z a u w a ż y ć , ż e d l a m a ł y c h w a rto ś c i z m i e n n y c h

l o s o w y c h ro z kł a d d w u w y k ł a d n i c z y m a m n i e j s z e w a rto ś c i f u n k c j i g ę s to ś c i n i ż ro z k ł a d

n o rm a l n y . Gę s to ś ć p ra w d o p o d o b i e ń s tw a m o d y j e s t j e d n a k w i ę k s z a d l a ro z k ła d u

d w u w y kł a d n i c z e g o n i ż d l a ro z k ł a d u n o rm a l n e g o . R o z k ła d d w u w y k ła d n i c z y p o k ry w a s i ę w

p rz y b l iż e n i u z ro z k ł a d e m l o g a ry tm o - n o rm a l n y m . M i ę d z y ro z k ł a d e m W e i b u l l a a ro z k ł a d e m

d w u w y kł a d n i c z y m z a c h o d z i z a l e ż n o ś ć d l a d y s try b u a n t:

F w z

F d k

z

( )

(

l n )





c z y l i , ż e p o m i ę d z y ro z k ł a d e m W e i b u l l a a ro z k ł a d e m d w u w y k ła d n i c z y m z a c h o d z i p o d o b n y

z w ią z e k j a k m i ę d z y ro z k ł a d e m n o rm a l n y m a l o g a ry tm o - n o rm a l n y m .