TEMAT 6:

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE 

I PROSTOPADŁE

http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html
http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=CAD_w_grafice_in%C5%BCynierskiej

Twierdzenie 1
Prosta n jest równoległa do płaszczyzny , jeśli 

przechodzi przez dowolny punkt N nie leżący na 
płaszczyźnie  i jest równoległa do dowolnej prostej m 

leżącej na tej płaszczyźnie.

Twierdzenie 2
Dwie płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy 

na jednej z nich leżą dwie przecinające się proste 
równoległe do drugiej płaszczyzny.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie 

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie 

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 3
Jeżeli dwie proste są równoległe , to ich odpowiednie 

rzuty są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich 

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich 

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich 

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich 

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

Twierdzenie 4
Jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe , to ich 

odpowiednie ślady są równoległe.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

1.
Dana jest płaszczyzna  =ab oraz nie leżący na niej punkt K. 

Przez punkt K poprowadzić płaszczyznę .

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

K’

K’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

2.
Dana jest płaszczyzna (h



,v



) oraz punkt K. Wykreślić rzuty 

prostej czołowej c  równoległej do  płaszczyzny  

przechodzącej przez punkt K.

x

1,2

v



h



K’

K’’

x

1,2

v



h



K’

K’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

3.
Dana jest płaszczyzna (h



,v



)  oraz rzut pionowy prostej d’’, do 

której przynależy punkt A . Wyznaczyć rzut poziomy prostej 
d’||.

x

1,2

v



h



A’

A’’

d’’

x

1,2

v



h



A’

A’’

d’’

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

4.
Wykreślić pionowy ślad płaszczyzny  równoległej do prostej AB 

mając
zadany jeden ślad płaszczyzny.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

5.
Przez punkt A poprowadzić płaszczyznę  równoległą do 

płaszczyzny .

Wyznaczyć jej ślady.

ELEMENTY RÓWNOLEGŁE

6.
Przez punkt A poprowadzić płaszczyznę  równoległą do odcinków 

prostych BC i DE. Wyznaczyć jej ślady.

Twierdzenie 5
Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch nierównoległych 
prostych leżących na płaszczyźnie, to prosta jest prostopadła 
do drugiej płaszczyzny.

Twierdzenie 6
Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli na jednej z  nich leży 
prosta prostopadła do drugiej płaszczyzny.

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Twierdzenie 7
Jeżeli prosta i płaszczyzna są wzajemnie prostopadłe, to 
odpowiednie rzuty prostej i ślady płaszczyzny są wzajemnie 
prostopadłe.

Twierdzenie 8
Jeżeli przynajmniej jedna z dwu prostych prostopadłych jest 
równoległa do rzutni (lub na niej leży), a druga nie jest 
prostopadła do tej rzutni, to rzutem prostokątnym takich 
dwu prostych są dwie proste prostopadłe.

ELEMENTY PROSTOPADŁE

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Prosta prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny

ELEMENTY PROSTOPADŁE

7.
Dana jest prosta s i punkt K. Wyznaczyć płaszczyznę =cp 

prostopadłą do prostej s przechodzącą przez punkt K.

x

1,2

s’

s’’

K’

K’’

x

1,2

s’

s’’

K’

K’’

ELEMENTY PROSTOPADŁE

8.
Dana jest prosta n i płaszczyzna . Przez prostą n poprowadzić 

płaszczyznę =nm.

x

1,2

n’

n’’

v



 

h



 

x

1,2

n’

n’’

v



 

h



 

ELEMENTY PROSTOPADŁE

9.

Dana jest płaszczyzna  określona dwiema prostymi równoległymi 

a i b oraz punkt  M. Wykreślić rzuty prostej m przechodzącej 

przez punkt M.

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

M’

M’’

x

1,2

a’’

a’

b’’

b’

M’

M’’

ELEMENTY PROSTOPADŁE

10.

Dana jest płaszczyzna (h



,v



)  oraz rzuty punktu K. Wykreślić 

ślady płaszczyzny , do której punkt K przynależy.

x

1,2

v



h



K’

K’’

x

1,2

v



h



K’

K’’

DZIĘKUJĘ...