Tadeusz Kotarbiński (1886 - 1981)

-

Szeregu korelacyjnego

-

Tablicy korelacyjnej

•

 

analiza korelacji – badanie siły związku 

między zmiennymi;

•

analiza regresji - analizowanie związków 

(relacji) między zmiennymi za pomocą 

matematycznej zależności zwanej funkcją 

regresji

•

 Współczynnik korelacji liniowej 

Pearsona

•

Współczynnik korelacji rang 

Spearmana

•

 Współczynnik korelacji Czuprowa

W przypadku przedstawienia danych w formie 
szeregu korelacyjnego, zależność między 
cechami można zbadać za pomocą 
współczynnika korelacji liniowej Pearsona lub 
współczynnika korelacji rang Spearmana.

W przypadku przedstawienia danych w formie 
tablicy korelacyjnej zależność między cechami 
można zbadać za pomocą współczynnika 
korelacji liniowej Pearsona lub współczynnika 
Czuprowa.

1.

obie analizowane cechy muszą być wyrażone w 
wariantach liczbowych (są cechami ilościowymi);

2.

zależność między badanymi cechami jest zależnością 
liniową;

3.

jest symetryczny, czyli r

yx

=r

xy

;

4.

przyjmuje wartości z przedziału            :

•

r

yx

=0

, oznacza to brak współzależności między badanymi 

zjawiskami;

•

r

yx

=1

 lub r

yx

=-1

, oznacza to pełną (całkowitą) zależność 

między cechami (występuje związek funkcyjny);

•

ujemna wartość współczynnika r

ryx

 oznacza ujemny związek 

między cechami;

•

dodatnia wartość r

yx

 oznacza dodatni związek między cechami;

1

,

1



 

   

   

y

S

x

S

x

y

x

y

y

S

x

S

y

x

c

r

r

xy

yx

















,

lata

Spożycie mięsa i 

przetworów w kg na 

1 mieszkańca

Spożycie ryb i 

przetworów w kg 

na 1 mieszkańca.

1983

58,3

7,4

1984

57,2

7,9

1985

60,2

7,8

1986

66,0

6,8

1987

66,7

6,7

1988

68,3

6,5

1989

68,6

6,1

1990

68,6

5,4

1991

73,2

6,2

1992

70,3

6,4

lata

y

i

x

i

xy

y

2

x

2

1983 58,3 7,4 431,42 3398,8

9

54,76

1984 57,2 7,9 451,88 3271,8

4

62,41

1985 60,2 7,8 469,56 3624,0

4

60,84

1986

66 6,8 448,80 4356,0

0

46,24

1987 66,7 6,7 446,89 4448,8

9

44,89

1988 68,3 6,5 443,95 4664,8

9

42,25

1989 68,6 6,1 418,46 4705,9

6

37,21

1990 68,6 5,4 370,44 4705,9

6

29,16

1991 73,2 6,2 453,84 5358,2

4

38,44

1992 70,3 6,4 449,92 4942,0

9

40,96

suma 657,

4

67,

2

4385,16 43476

,8

457,

16

 

2568

,

3

10

2

,

67

10

4

,

657

10

16

,

4385

,



















y

x

y

x

y

x

c

 

 

0924

,

5

10

4

,

657

10

8

,

43476

2

2

2























x

x

x

S

 

 

7467

,

0

10

2

,

67

10

16

,

457

2

2

2























y

y

y

S

8565

,

0

7467

,

0

0924

,

5

2568

,

3











yx

r

1.

obie analizowane cechy muszą dać się uporządkować 
(malejąco lub rosnąco);

2.

jest symetryczny, czyli R

yx

=R

xy

;

3.

przyjmuje wartości z przedziału            :

•

R

yx

=0

, oznacza to brak współzależności między badanymi 

zjawiskami;

•

R

yx

=1

 lub R

yx

=-1

, oznacza to pełną (całkowitą) zależność 

między cechami (występuje związek funkcyjny);

•

ujemna wartość współczynnika R

ryx

 oznacza ujemny związek 

między cechami;

•

dodatnia wartość R

yx

 oznacza dodatni związek między 

cechami;

1

,

1



       

d

i   

- różnica między rangą cechy y

i

 a rangą cechy x

i





1

n

n

d

6

1

R

R

2

n

1

i

2

i

xy

yx

















lata

Spożycie mięsa i 

przetworów w kg na 

1 mieszkańca

Spożycie ryb i 

przetworów w kg 

na 1 mieszkańca.

1983

58,3

7,4

1984

57,2

7,9

1985

60,2

7,8

1986

66,0

6,8

1987

66,7

6,7

1988

68,3

6,5

1989

68,6

6,1

1990

68,6

5,4

1991

73,2

6,2

1992

70,3

6,4

lata

y

i

x

i

r

y

r

x

d

i

2

1983

58,3 7,4

2

8

36

1984

57,2 7,9

1 10

81

1985

60,2 7,8

3

9

36

1986

66

6,8

4

7

9

1987

66,7 6,7

5

6

1

1988

68,3 6,5

6

5

1

1989

68,6 6,1 7,5 2

30,25

1990

68,6 5,4 7,5 1

42,25

1991

73,2 6,2 10 3

49

1992

70,3 6,4

9

4

25

suma 657,4 67,2

310,5

n

n

d

R

i

yx









3

2

6

1

8818

,

0

10

10

5

,

310

*

6

1

3











yx

R

Liczba błędów

Wiek 0 - 5 6 - 11 12 - 17 18 - 23

20 

-24

1

-

-

-

25 – 

29

-

1

-

-

30 – 

34

-

2

1

-

35 – 

39

-

2

3

-

40 – 

44

-

-

4

2

45 - 

49

-

-

-

4

 

   

   

y

S

x

S

x

y

x

y

y

S

x

S

y

x

c

r

r

xy

yx

















,

Liczba błędów

Wiek 0 - 5 6 - 11 12 - 17 18 - 23

20 

-24

1

-

-

-

25 – 

29

-

1

-

-

30 – 

34

-

2

1

-

35 – 

39

-

2

3

-

40 – 

44

-

-

4

2

45 - 

49

-

-

-

4

Y

j

n

i.

x

i

x

i

n

i

x

i

2

n

i

x

i

0 - 

5

6 - 11 12 - 

17

18 - 

23

20 -24

1

-

-

-

1

22,

5

22,5 506,2

5

25 – 29

-

1

-

-

1

27,

5

27,5 756,2

5

30 – 34

-

2

1

-

3

32,

5

97,5 3168,

75

35 – 39

-

2

3

-

5

37,

5

187,

5

7031,

25

40 – 44

-

-

4

2

6

42,

5

255 10837

,5

45 - 49

-

-

-

4

4

47,

5

190 9025

n

.j

1

5

8

6

20 x

780 3132

5

Y

j

2,5 8,5 14,5 20,5 x

x

y

j

n

.j

2,5 42,5 116

123

284

y

j

2

n

.j

6,2

5

361,2

5

1682 2521,

5

457

1

2

,

14

20

284

y

y

         

;

39

20

780

.

j

.





















n

n

n

n

x

x

j

i

i





 

 

 

7268

,

6

39

25

,

1566

25

,

1566

20

31325

x

        

;

2

.

2

2

2

2





















x

S

n

n

x

x

x

x

S

i

i



 

 

 

1875

,

5

2

,

14

55

,

228

55

,

228

20

4571

y

          

;

2

.

2

2

2

2





















y

S

n

n

y

y

y

y

S

j

j















ij

j

i

n

y

x

n

1

y

x













ij

j

i

n

y

x

n

1

y

x

25

,

584

11685

*

20

1

         

)

4

*

5

,

20

*

5

,

47

2

*

5

,

25

*

5

,

42

4

*

5

,

14

*

5

,

42

        

3

*

5

,

14

*

5

,

37

2

*

5

,

8

*

5

,

37

1

*

5

,

14

*

5

,

32

         

2

*

5

,

8

*

5

,

32

1

*

5

,

8

*

5

,

27

1

*

5

,

2

*

5

,

22

(

*

20

1





























xy

8726

,

0

1875

,

5

7268

,

6

45

,

30







yx

r

 

   

   

y

S

x

S

x

y

x

y

y

S

x

S

y

x

c

r

r

xy

yx

















,

1.

obie analizowane cechy mogą być wyrażone w 
wariantach liczbowych lub opisowych (są cechami 
ilościowymi lub jakościowymi);

2.

jest symetryczny, czyli T

yx

=T

xy

;

3.

przyjmuje wartości z przedziału            :

•

T

yx

=0

, oznacza to brak współzależności między badanymi 

zjawiskami;

•

T

yx

=1

 oznacza to pełną (całkowitą) zależność między cechami 

(występuje związek funkcyjny);

1

,

0

n – liczba obserwacji,
k – liczba wariantów cechy X,
r – liczba wariantów cechy Y



 



1

r

1

k

n

T

T

2

xy

yx





























k

i

r

j

ij

ij

ij

n

n

n

1

1

2

2

ˆ

ˆ



n

n

n

n

j

i

ij

.

.

ˆ





Klasa 
wagonu

do 200 

km

201-400 

km

ponad 400 

km

1 klasa

399

1688

881

2 klasa

1018

3120

1704

n

ij

do 200 

km

201-400 

km

ponad 400 

km

n

i.

1 klasa

399

1688

881

2968

2 klasa

1018

3120

1704

5842

n

.j

1417

4808

2585

8810

do 200 

km

201-400 

km

ponad 400 

km

n

i.

1 
klasa

2968

2 
klasa

5842

n

.j

1417

4808

2585

8810

ij

n

ˆ

do 200 

km

201-400 

km

ponad 400 

km

n

i.

1 
klasa

477,373 1619,766

6

870,8604

2968

2 
klasa

939,627 3188,233

4

1714,1396

5842

n

.j

1417

4808

2585

8810

ij

n

ˆ

do 200 

km

201-400 

km

ponad 400 

km

Σ

1 klasa

12,8669

2,8744

0,1181

15,85

94

2 klasa

6,537

1,4603

0,06

8,057

3

Σ

19,4039

4,3347

0,1781

23,91

67





ij

2

ij

ij

nˆ

nˆ

-

n



 



0438

,

0

1

2

*

1

3

8810

9167

,

23









xy

T



 



1

r

1

k

n

T

T

2

xy

yx















y

y

b

x

a

y





 

 

 

 

x

S

y

S

r

x

S

x

y

c

a

yx

y







2

,

x

a

y

b

y

y











 





2

yx

2

n

1

i

2

i

i

e

r

1

y

S

2

n

n

2

n

y

ˆ

y

S





















%

100

y

S

V

e

Se













 

2

yx

2

2

e

n

1

i

2

i

n

1

i

2

i

i

2

r

y

S

S

n

2

n

1

y

y

y

ˆ

y

1

R



























2

2

R

1





 

 

n

x

S

S

a

D

e

y





   

2

x

a

D

b

D

y

y





 

y

y

a

D

a

t 

 

y

y

b

D

b

t 

Fuller