Geodezja Wyższa i
Astronomia
Geodezyjna
Mgr inż. Marta
Krywanis
Geodezja Wyższa i
Astronomia
Geodezyjna
Mgr inż. Marta
Krywanis
Odwzorowanie wiernokątne
Gaussa-Krugera
ODWZOROWANIEM KARTOGRAFICZNYM
– nazywamy takie przedstawienie jednej
powierzchni matematycznej na drugiej,
(ponieważ na płaszczyźnie), w którym
głównym warunkiem jest, aby każdemu
punktowi oryginału odpowiadał jeden i tylko
jeden punkt obszaru, jak również każdemu
punktowi obrazu odpowiadał jeden i tylko
jeden punkt oryginału.
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
,
,
',
' kierunki główne
, skale w kierunkach głównych
'
'
'
'
'
'
'
'
OX OY OX OY
m n
r
x
y
x mx
y ny
r
mx
ny
y
x
m
n
x
y
-
-
=
+
=
=
=
+
=
=
2
2
2
ab
mnr
p
mn
R
R
p mn
p
p
p
p
�
��
=
=
= �
=
SKALA PÓL
'
' skala liniowa
skal pól
dp
ds
k
p
ds
dp
=
=
ZNIEKSZTAŁCENIE – jest różnicą między skalą a jednością
'
1
-zniekształcenie liniowe
'
1
-zniekształcenie pól
i
p
ds ds
z k
ds
dp dp
z p
dp
-
= - =
-
= - =
ODWZOROWANIE WIERNOKĄTNE (równokątne,
kątforemne)
ODWZOROWANIE WIERNOPOLOWE (równopolowe)
ODWZOROWANIE WIERNOODLEGŁOŚCIOWE
(równoodległościowe, pośrednie)
Pośrednie – nazwa pochodzi stąd, że zniekształcenia
kątów są tutaj mniejsze niż w odwzorowaniu
wiernopolowym, a zniekształcenia pól mniejsze niż
w wiernokątnym
.
1. gdy
to sin
0 =0
'
2
m n
w
w
a a
=
=
� =
2. gdy
1 skala pól
p mn
= �=
3. gdy
1 1 wzdłuż południków
1 1 wzdłuż równoleżników
m
n
m
n
�ٹ=
� � = �
Odwzorowanie Gaussa-
Krugera
Obraz południka jest osią odciętych zaś obraz równika jest osią
rzędnych układu kartograficznego. Najbardziej efektywna
metoda w/w warunków sprowadza się do trzech podstawowych
etapów:
I. wiernokątne odwzorowanie całej powierzchni elipsoidy na całą
sferę
II wiernokątne – walcowe – poprzeczne odwzorowanie sfery na
płaszczyznę-odwzorowanie poprzeczne Merkatora
III wiernokątne przekształcenie płaszczyzny Merkatora na
płaszczyznę Gaussa-Krügera, tak, aby był spełniony warunek
odwzorowania dotyczący izometryczności południka środkowego.
Przy wyprowadzeniu formuł odwzorowawczych zrobiono
następujące założenia
południk osiowy odwzoruje się w postaci linii prostej,
która służy jako oś odciętych
odcięta punktu leżącego na południku osiowym powinna
być równa długości łuku południka liczonego od równika
do danego punktu.
P
P
Y
P
P
X
1
1
0
Odcięta X ma zawsze znak dodatni.
Rzędna Y będzie
dodatnia jeśli leży na wschód
ujemna jeśli leży na zachód od południka osiowego
Aby jednak współrzędne punktów miały zawsze znak
dodatni wprowadza się następujący sposób
oznaczenia. Rzędną południka osiowego oblicza się
dzieląc numer południka osiowego przez trzy
.
Otrzymana liczba wskazuje ilość tysięcy kilometrów.
Następnie
do tej liczby dodaje się 500 km.
Na przykład dla południka osiowego którego długość
rzędna wynosi Jeżeli punkt nie leży w południku osiowym, to
jego rzędna będzie wynosić:
y
Y
Y
0
Para funkcji odwzorowawczych Gaussa-Krügera
(odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznice walca)
ma następującą postać:
2
2
2
3
4
4
2
2
2
4
9
5
cos
sin
24
cos
sin
2
t
B
B
l
N
B
B
l
N
X
X
pol
2
2
2
4
2
5
5
5
2
2
3
3
3
58
14
18
5
cos
120
1
cos
6
cos
t
t
t
B
l
N
t
B
l
N
B
l
N
Y
gdzie:
B
t
B
e
tan
cos
2
...
6
sin
4
cos
2
sin
6
4
2
0
B
A
B
A
B
A
B
A
a
X
pol
- długość łuku południka
256
5
64
3
4
1
6
4
2
0
e
e
e
A
128
15
4
8
3
6
4
2
2
e
e
e
A
4
3
256
15
6
4
4
e
e
A
3072
35
6
6
e
A
Skala m w tym odwzorowaniu wyraża się wzorem:
2
4
4
4
2
2
2
2
4
5
cos
24
1
cos
2
1
t
B
l
B
l
m
l – różnica długości geodezyjnej danego punktu i południka osiowego.
Wyznaczyć współrzędne x, y punktu
C w odwzorowaniu Gaussa Krugera.
Dane:
