PODSTAWY

METROLOGII

Wykład 3

Teoria błędów

Program na dziś



Definicja i rodzaje błędów;



Charakterystyka

metrologiczna;



Funkcja błędu.



Niepewność pomiarowa



Rodzaje niepewności Typ A i B



Rozkład Gaussa



Wykresy danych pomiarowych

Wprowadzenie

Przy omawianiu błędów wygodnie jest
przypomnieć na wzór terminologii
stosowanej w literaturze zachodniej
rozróżnienie pomiędzy pojęciami

dokładność

i

precyzja

.

Wynik pomiaru określamy wówczas jako

dokładny

, gdy jest on wolny od błędów

systematycznych, natomiast jako

precyzyjny

, gdy jego błąd przypadkowy

jest bardzo mały.

Wprowadzenie

Każdy eksperyment, każdy pomiar i

prawie każda operacja składowa
pomiaru daje wyniki obarczone
różnymi typami błędów

Wprowadzenie

Teoria błędów

- dział matematyki stosowanej

zajmujący się metodami oceny dokładności
pomiarów lub rachunków przybliżonych.

Teoria błędów umożliwia m.in. określenie

dopuszczalnych wartości błędów
popełnianych przy pomiarach lub rachunkach,
tak aby wynik całości obliczeń (czy też
pomiarów) zapewniał wymaganą dokładność
(tzw. dyskusja błędu).

Wprowadzenie

a

a

a

F1

F2

F3

x

i

z

z

z

z

z

x

x"



Pomiar



Pomiar

— pewna sekwencja czynności

doświadczalnych i obliczeniowych,
prowadząca do wyznaczenia liczbowej
wartości wielkości fizycznej.

Ta wybrana sekwencja powinna

minimalizować wpływ oddziaływań
zewnętrznych na badane zjawisko i
przyrządy.

Wynik pomiaru

wartość pomiaru

±

błąd

pomiarowy

Błąd pomiaru

Błąd pomiarowy niepewność pomiarowa,
dokładność pomiaru

Błąd w pomiarach = pomyłka

.

Definicja błędu

Jeżeli wartość wielkości wynosi

x

, a

przyjęto wartość

x`

, to różnica

Δx = x`-x

jest błędem - jest to najlepsza definicja w

przypadku eksperymentów myślowych;

Definicja błędu

Błąd jest to różnica między

wartością wielkości a wartością

poprawną tej samej wielkości

– definicja ta wyraża błąd w dziedzinie

abstrakcji

Definicja błędu

Błąd jest to różnica między

stanem danej wielkości a stanem

rzeczywistym jej wielkości

- definicja ta wyraża błąd w dziedzinie

rzeczywistości powstający przy tworzeniu
obrazu rzeczywistości za pomocą pomiarów.

Rodzaje błędów

Rozróżnia się trzy rodzaje miar
błędu:



błędy prawdziwe,



błędy umownie prawdziwe



błędy graniczne

Podział błędów

Wyniki pomiarów podlegają pewnym

prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla

zmiennej losowej. Z tego względu błędy

dzielimy na:

•

Błędy grube

(pomyłki), które należy

eliminować

•

Błędy systematyczne

, które można

ograniczyć udoskonaląjąc pomiar

•

Błędy przypadkowe

, które podlegają prawom

statystyki i rachunku prawdopodobieństwa,

wynikają z wielu losowych przyczynków i nie

dają się wyeliminować

Krzywe rozkładu

błędu

Błąd systematyczny Błąd przypadkowy

Błędy grube



Są wynikiem pomyłki eksperymentatora

np. przy

odczytywaniu wartości mierzonych, przy

przeliczaniu jednostek etc., nieprawidłowego

stosowania przyrządu pomiarowego, poważnego

i nieuświadomionego uszkodzenia przyrządu

pomiarowego, zastosowania nieodpowiedniej

metody pomiaru lub niewłaściwych wzorów

teoretycznych do opracowania wyników.



Fakt zaistnienia błędu grubego należy sobie jak

najszybciej uświadomić a wynik obarczony takim

błędem wykluczyć z dalszych analiz.



Jeśli to możliwe, pomiar powtórzyć.

Rodzaje błędów

Wartość oczekiwana błędu

przypadkowego jest równa
zeru

,

- właściwość ta nie zawsze jest zgodna z

sensem fizycznym błędów przypadkowych.

Rodzaje błędów

Błąd może być przedstawiany w

trzech postaciach:



błędu bezwzględnego,



błędu względnego,



błędu unormowanego

(czyli błędu

zakresowego lub sprawdzonego)

Rodzaje błędów

Podział błędów ze względu na warunki

pomiaru:



w warunkach odniesienia popełniany
błąd nazywa się

błędem podstawowym

,



w innych warunkach występują ponadto

błędy dodatkowe

.

Rodzaje błędów



Podział błędów ze względu na

charakter mierzonej

wielkości:

- błędy statyczne

- błędy dynamiczne

Błąd dynamiczny można zdefiniować dwojako:

a)

jest to błąd spowodowany odmiennymi niż idealne

właściwościami dynamicznymi układu pomiarowego;

b)

jest to błąd spowodowany zastosowaniem statycznej

procedury wzorcowania dla układu przy pomocy
którego dokonujemy pomiarów dynamicznych
mierzonej wielkości.

Rodzaje błędów

Podział błędów ze względu na fizyczne

przyczyny powstawania błędu - wyróżnia
się tu m.in.:



błąd wzorcowania,



błąd niestałości,



błędy kwantowania,



błędy próbkowania,



błędy zliczania,



itd.

Rodzaje błędów



Podział błędów ze względu na charakter błędu -
wyróżnia się tu:



błąd systematyczny



błąd przypadkowy (błąd losowy)

- Błąd systematyczny jest to błąd, który przy

wielokrotnym wykonywaniu pomiaru tej samej
wielkości w tych samych warunkach ma wartość
stałą lub zmienia się według znanego prawa.

- Wszystkie pozostałe błędy określa się jako

przypadkowe.

Błąd

systematyczny



Błąd pomiarowy systematyczny

jest to

stała, nieznana, wartość zmiany wyniku

pomiaru, wynikająca z ograniczoności modelu

fizycznego zjawiska, którym się (w danej

chwili) posługujemy, ograniczoności metody

pomiaru, czy też niewłaściwej kalibracji

przyrządu pomiarowego; błąd ten ujawnia się

zwykle dopiero po zmianie metody pomiaru

lub modelu fizycznego zjawiska.



Błąd systematyczny

o znanej wartości

należy uwzględnić w wyniku pomiaru – staje

się on

poprawką.

Błędy

systematyczne



Błędy systematyczne

zawsze w ten sam

sposób wpływają wyniki pomiarów
wykonanych za pomocą tej samej metody i
aparatury pomiarowej.



Minimalna wartość błędu
systematycznego

jest określona

dokładnością stosowanego przyrządu (lub
klasą w przypadku analogowych mierników
elektrycznych).

Źródłem błędu systematycznego

są:

-

skale mierników

(np. niewłaściwe ustawienie

„zera”),

- nieuświadomiony

wpływ czynników

zewnętrznych

(temperatura, wilgotność) na

wartość wielkości mierzonej,

- niewłaściwy

sposób odczytu

(błąd paralaksy)

lub pomiaru,

- przybliżony

charakter wzorów

stosowanych do

wyznaczenia wielkości złożonej.

Błąd

przypadkowy

Błąd pomiarowy przypadkowy

(statystyczny)

jest to średnia wartość zmiennych zaburzeń
mierzonej wielkości fizycznej, pochodzących od
wielu słabych oddziaływań zewnętrznych, lub
skutek tzw. nieokreśloności obiektu.

Błąd ten jest najczęściej nieznany, a wyznacza się

go w pomiarach (razem z wartością pomiaru,
jako tzw. błąd pojedynczego pomiaru).

Błędy

przypadkowe

Błędy przypadkowe

zawsze występują w

eksperymencie - powodują rozrzut kolejnych
odczytów wokół rzeczywiste wartości mierzonej
wielkości (oczywiście, gdy występuje błąd
systematyczny, pomiary układają się wokół
pewnej, przesuniętej względem rzeczywistej
wartości).

Błędy przypadkowe

można wykryć drogą

powtarzania pomiarów, przy okazji poprawiając
precyzję pomiarów, korzystając ze średniej
wartości serii pomiarów.

Błędy

przypadkowe

Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą
eksperymentowi, nawet jeśli inne błędy

zostaną wyeliminowane.

W przeciwieństwie do błędu systematycznego, ich

wpływ na wynik ostateczny pomiaru nie można
ściśle określić.

Błędy

przypadkowe

Występują zawsze

w pomiarach, lecz

ujawniają się,

gdy wielokrotnie dokonujemy pomiaru przyrządem

,

którego dokładność jest bardzo duża a błędy
systematyczne wynikające z innych przyczyn są
bardzo małe.

Wynikają one z własności obiektu mierzonego

(np.

wahania średnicy drutu na całej jego długości),
własności przyrządu pomiarowego (np. wskazania
przyrządu zależą od przypadkowych drgań budynku,
fluktuacji ciśnienia czy temperatury, docisku dla
suwmiarki), lub mają podłoże fizjologiczne (refleks
eksperymentatora, subiektywność oceny maksimum
natężenia dźwięku czy równomierności oświetlenia
poszczególnych części pola widzenia)

Błąd

przypadkowy

Błąd przypadkowy

manifestuje się rozrzutem

wartości pomiaru przy jego powtarzaniu ( pomiar

wielokrotny).

Małe a liczne zaburzenia pomiaru: efekty mechaniczne

(zmienne tarcie, kurczliwość, wstrząsy), wahania

napięcia zasilania przyrządów, prądy powietrza,

zmienne pola elektromagnetyczne, itp.

•

Błędy przypadkowe metody

(np. błąd

paralaksy)

•

Błędy przypadkowe przyrządu

Błąd (dokładność) przyrządu

jest w błędem

przypadkowym pod warunkiem, że przyrząd jest

dobrze wykalibrowany, w przeciwnym razie, do błędu

przypadkowego dochodzi jeszcze błąd systematyczny.

•

Błąd przypadkowy obiektu

Błąd - paralaksa

Błąd przypadkowy metody
pomiarowej

pomiar suwmiarką

pomiar dokładniejszy
Δd = 0.05 mm = 50 µm Δ d

=0.001mm = 1 µm

Pomiar wielokrotny:



20.15, 20.15, 20.15, 20.15 mm ... 20.12, 20.19, 20.11, 20.21, 20.09

mm, ...

Obliczenia błędu

przypadkowego

x

– wielkość fizyczna mierzona,

x

i

– wartości zmierzone, gdzie:

i = 1, ...n

,

n

– liczba pomiarów.



Szukamy tzw.

„wartości prawdziwej”

µ

wielkości fizycznej

x

, dysponując

n

liczbami

– wynikami

pomiarów.



Poszukujemy również wartości błędu
pomiarowego pojedynczego pomiaru

σ

,

charakteryzującej warunki pomiaru (liczba,

„ukryta”

w rozrzucie wartości

x

i

).



średnia wyników pomiaru („wynik
pomiaru”),



błąd (średni kwadratowy)
pojedynczego pomiaru

-

odchylenie standardowe

lub

przyjmowane jest za „wartość pomiaru” Δx

nie jest „błędem pomiarowym” („błędem

wartości pomiaru”); jest to

błąd pojedynczego

pomiaru

, charakteryzujący takie same warunki

pomiaru.

Błąd wartości pomiaru będzie zależny

również od krotności pomiarów

n

:

-

błąd wartości średniej („błąd

pomiarowy”).

Ostatecznie:

Charakterystyka

metrologiczna

Pod pojęciem charakterystyka

metrologiczna rozumie się ogół
wiadomości o błędach układu
pomiarowego przedstawionych w
pewien uporządkowany sposób.

Różnorodność przyrządów i

rozmaitość ich zastosowań
powodują, że nie istnieje jednolity
sposób opracowywania
charakterystyk metrologicznych.

Istnieją pewne zalecenia normatywne,

producenci aparatury korzystają z
różnych wariantów charakterystyk,
upraszczając je w dość dowolny
sposób.

Charakterystyka

metrologiczna

Rozkład prawdopodobieństwa błędu
niestałości

Przebieg błędu niestałości i jego
prognoza

Klasa

niedokładności

Klasa niedokładności przyrządu

(systemu

pomiarowego) określa nam zakres, którego nie
może przekroczyć błąd podstawowy w całym
zakresie pomiarowym.

Sprawdzanie wskazań przeprowadza się w

warunkach odniesienia w punktach skali
przyrządu opisanych cyframi. Punkty te oznacza
się

x

j

, j = 1, ..., k

. Wynikiem sprawdzania jest

zbiór błędów

{D

j

}.

Układ pomiarowy spełnia

wymagania klasy niedokładności, gdy

|D

j

|  D

dop

dla

j = 1, ..., k

.

Adiustacją

nazywa się wykonanie ściśle

określonych stosowną instrukcją
czynności regulacji (kalibrowania) układu
pomiarowego, przy wykorzystaniu
wzorca jako niezbędnego elementu
pomocniczego, sprowadzające błąd do
zadanej wartości (najczęściej do zera).

Oczywiście, gdy np. przyrząd nie ma
możliwości regulacji zamiast adiustacji
można przeprowadzić zwykłe
wzorcowanie.

Wzorcowanie

, jest to zbiór operacji

ustalających relację między
wartościami wielkości mierzonej
wskazanymi przez przyrząd
pomiarowy a odpowiednimi
wartościami wielkości, realizowanymi
przez wzorce jednostki miary.

- legalizacja

jest sprawdzeniem,

stwierdzeniem i poświadczeniem przez organ

administracji miar (wyłącznie), że przyrząd

pomiarowy spełnia wymagania przepisów

metrologicznych,

- uwierzytelnienie

jest to sprawdzenie,

stwierdzenie i poświadczenie, że przyrząd

pomiarowy spełnia wymagania metrologiczne

i ustalone w przepisach, normach i

zaleceniach międzynarodowych lub innych

właściwych dokumentach, a jego wskazania

zostały odniesione do państwowych wzorców

jednostek miar i są z nimi zgodne w

granicach określonych błędów pomiarów.

- Legalizacja i uwierzytelnienie,

ma na

celu sporządzenie oficjalnego dowodu

potwierdzającego możliwość stosowania

danego przyrządu pomiarowego. Jeżeli

wymaga tego przepis nadrzędny lub

kontrakt z klientem (umowa, zamówienie,

zlecenie), wówczas legalizacji/

uwierzytelnienia dokonać musi uprawniona

jednostka i ta jednostka "wystawia"

stosowny

dokument: legalizujący

(np. pod

rygorem spełnienia ściśle określonych

warunków eksploatacyjnych) użytkowanie

przyrządu, oraz

zapewniający

wiarygodność

wyników pomiaru (i

oczywiście monitorowania).

Funkcja błędu

Jeżeli pomiary pewnej wielkości x narażone są na
wpływ wielu niewielkich i przypadkowych zaburzeń, to
rozkład wyników jest rozkładem normalnym.
Całka funkcji gęstości prawdopodobieństwa opisującej
rozkład normalny, oznaczana czasem jako erf(t) i
obliczana zgodnie ze wzorem:

nosi nazwę

funkcji błędu

lub

normalnej całki błędu

i

określa prawdopodobieństwo tego, że wartość
pomiaru znajdzie się w promieniu t odchyleń
standardowych od wartości prawdziwej X.















t

X

t

X

X

x

x

f

t

d

)

(

)

erf(

,