Mechanika Techniczna

II

Ćwiczenie nr VI

UGIĘCIA BELEK STATYCZNIE

NIEWYZNACZALNYCH

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie linii ugięcia belki

statycznie niewyznaczalnej i porównanie wyników
teoretycznych z doświadczalnymi.

Podstawy teoretyczne

zagadnienia statycznie

niewyznaczalnego przy zginaniu

Metoda całkowania równania różniczkowego linii

ugięcia belki. Rozważmy belkę statycznie niewyznaczalną
obciążoną siłami czynnymi (rys. 1).

Rys.1. Belka statycznie

niewyznaczalna

Ugięcie belki wyznaczono z całkowania uproszczonego
równania różniczkowego osi odkształconej belki Eulera

(1)

gdzie:
M(x)- równanie momentu zginającego,
E– moduł Younga,

I

z

– moment bezwładności powierzchni przekroju względem

osi obojętnej, która przechodzi przez jego środek ciężkości
przekroju i prostopadłej do płaszczyzny działania sił.

Warunki równowagi dla belki przestawionej na rys. 1

zapisano równaniami algebraicznymi

(2)

gdzie:

- trzy niewiadome.

 

z

EJ

x

M

dx

y

d

y







2

2

"

B

B

A

M

R

R

,

,

0







P

R

R

B

A

0

3







B

B

M

Pa

a

R

Układ jest jedno-krotnie statycznie niewyznaczalny.

Równanie różniczkowe lini ugięcia belki i jego całki z
zachowaniem warunków metody Clebscha zapisano
następująco:

B

B

z

M

x

R

y

EJ





"

)

2

(

a

x

P 



C

x

M

x

R

y

EJ

B

B

z







2

2

'

2

)

2

(

2

a

x

P





D

Cx

x

M

x

R

y

EJ

B

B

Z









2

6

2

3





6

2

3

a

x

P 



a

x 2

0





a

x

a

3

2





(3)

Dla belki przedstawionej na rys. 1 można napisać następujące
warunki brzegowe

.

0

,

3

,

0

,

0

,

0

,

0

'













y

a

x

y

x

y

x

Po uwzględnieniu warunków brzegowych (4) otrzymano

.

0

,

0





D

C

(4)

Po podstawieniu stałych do wzoru (3) otrzymano wzory na
linie ugięcia belki w dowolnym przekroju

]

6

)

2

(

2

6

[

1

3

2

3

2

0

2

3

a

x

a

a

x

B

B

z

a

x

P

x

M

x

R

EJ

y

















(5)

Opis stanowiska badawczego

Schemat stanowiska przedstawiono na rys. 2. Belka

stalowa utwierdzona w przekroju B jest obciążona
ciężarkami 2 w przekroju C. Pomiar ugięcia (5) dokonano
czujnikiem zegarowym 4 umocowanym w przesuwnej
podstawce 3.

Przebieg ćwiczenia

Ćwiczenie polega na wykonaniu pomiarów następujących
czynności:

•

a) zmierzyć długość belki

•

b) zmierzyć wymiary przekroju poprzecznego

•

c) określić punkty przyłożenia obciążeń

•

d) określić maksymalną strzałkę ugięcia doświadczalnie

•

e) porównać wyniki doświadczalne z teoretycznymi oraz
zestawić w tabelkach.

Dane liczbowe:

}

,

{

h

b

F 

}

,

,

{

2

1

n

l

l

l

l 

}

,

,

{

2

1

n

P

P

P

P 

12

3

bh

I

z



Uzyskane wyniki pomiarów należy zapisać w tablicy
nr 1

Tabela 1

Procentowa różnica pomiędzy ugięciami teoretycznymi

i doświadczalnymi określa błąd względny (uśredniony)

%

1

n

n

i

i











(6)

Treść sprawozdania

a) opis stanowiska z rysunkiem
b) wzory obliczone z wyjaśnieniem
c) tabelki z wynikami pomiarów i obliczeń
d) wykres

e) określić maksymalną strzałkę ugięcia

doświadczalnie

f) analiza błędu

g) dyskusja wyników.

)

(

max

P

f

f

d



d

y

d

y

2

"

)

(

max

y

dla

f

%

100

max

max

max

t

d

t

f

f

f







(7)

,
gdzie

LITERATURA

1.

Praca zbiorowa: Wernerowski K., Siołkowski B., Holka H.:

Laboratorium z kinematyki i dynamiki, WSI, Bydgoszcz 1973.

2.

Jakowluk A.: Mechanika techniczna i ośrodków ciągłych, Ćwiczenia

laboratoryjne, PWN, Warszawa 1977.

3.

Wernerowski K., Topoliński A.: Zbiór zadań z kinematyki, dynamiki i

drgań, Wydawnictwo Uczelniane ATR, Bydgoszcz 1984.

4.

Botwin M.: Mechanika i wytrzymałość materiałów. PWN, Warszawa.

5.

Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wyrzymałość materiałów. WNT, Warszawa.

6.

Misiak J.: Mechanika techniczna, t. 1; Statyka i wytrzymałość

materiałów. WNT, Warszawa.

7.

Siuta W.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa.

8.

Zielnica J.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. Politechniki

Poznańskiej.