Modele obciążeń

Modele obciążeń

Rodzaje obciążeń:

• obciążenia stałe (ang. dead load ), D

• obciążenia zmienne (ang. live load ), L

• obciążenia śniegiem (ang. snow load ), S

• obciążenia wiatrem (ang. wind load ), W

i inne

Siły wewnętrzne w elemencie konstrukcyjnym wywołane
obciążeniami:

Q = Q(A, B, C)

gdzie:

A – przyczyna obciążenia

(ciężar własny materiału, ciężar pokrywy śnieżnej na gruncie, prędkość
wiatru ...)
– zmienna losowa

B – sposób oddziaływania obciążenia na konstrukcję

(współczynnik kształtu dachu, współczynnik areodynamiczny ...)

– zmienna losowa lub stała

C – przeliczenie obciążenia na siły wewnętrzne w elemencie

konstrukcyjnym

(zależy od przyjętego modelu i metod analizy konstrukcji)
– zmienna losowa lub stała

Modele obciążeń

Modele obciążeń

Q(A,B,C)=ABC
Parametry statystyczne zmiennej Q:



Q

= ? 

Q

= ?

Rozwijamy funkcję Q(A,B,C)=ABC w szereg Taylora
wokół wartości średnich zmiennych A, B i C

Modele obciążeń

Modele obciążeń

































C

,

,

B

,

,

A

,

,

C

B

A

C

C

Q

B

B

Q

A

A

Q

,

,

Q

C

,

B

,

A

Q

C

B

A

C

B

A

C

B

A





























































C

B

A

C

B

A

,

,

Q



















C

B

,

,

C

B

A

A

Q





















C

A

,

,

C

B

A

B

Q





















B

A

,

,

C

B

A

C

Q

































C

B

A

B

A

C

A

C

B

C

B

A

B

C

A

A

C

B

C

B

A

2

C

B

A

C

B

A

C

,

B

,

A

Q

































































Modele obciążeń

Modele obciążeń





C

B

A

B

A

C

A

C

B

2

C

B

A

C

,

B

,

A

Q



























C

B

A

C

B

A

C

B

A

B

C

A

A

C

B

Q

2























































2
C

2

B

A

2

B

2

C

A

2

A

2

C

B

2
Q











































2

C

2

B

2

A

2
C

2
C

2

B

2

B

2

A

2

A

2

C

B

A

2
C

2

B

A

2

B

2

C

A

2

A

2

C

B

2

Q

Q

2

Q

V

V

V

V









































































2

C

2

B

2

A

Q

V

V

V

V







C

B

A

Q











A

C

C

B

B

n

A

n

n

n

C

B

A

n

Q

Q

A

A

A

C

B

A

Q































Modele obciążeń

Modele obciążeń

• Obciążenia stałe w czasie: D
• Obciążenia zmienne w czasie: L, S, W

i inne

Ociążenia zmienne w czasie opisują dwie zmienne losowe:

Q

apt

– obciążenie przeciętne

obciążenie przeciętne

, wartość obciążenia,

które występuje w dowolnie wybranej chwili czasu
(ang. arbitrary-point-in-time )

Q

max

– obciążenia maksymalne

obciążenia maksymalne

, największa wartość obciążenia,

które może wystąpić w ciągu 25, 50, 100 lat
(t.j. w przewidywanym okresie eksploatacji konstrukcji)

Eksperyment (symulacja Monte Carlo):

Wygenerowano 50 razy po 100 wartości zmiennej
losowej X
o rozkładzie normalnym, 

X

= 1000, 

X

= 250.

Z każdych 100 wyników x

1

, x

2

, ... x

100

wybrano

największy.

Otrzymano 50 wartości zmiennej losowej Y.





100

2

1

X

,

X

,

X

max

Y





Przykład

Przykład

1

1

Obciążenia przeciętne - Q

Obciążenia przeciętne - Q

apt

apt

Przykład

Przykład

1

1

i

x

i

y

X

F

Y

F

X

f

Y

f

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

0

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00

x empir.

y empir.

norm.

extrem.I

X

X

Z

X











 

i

1

i

p

z







1

N

i

p

i





i

x

X

X

X

X

,

1

Z

X

,

0

Z

















 





u

x

e

X

e

x

F











 









u

x

p

ln

ln

i

i











 





 

























1

u

X

,

1

p

ln

ln

u

X

,

0

p

ln

ln

i

i

i

x

 





i

p

ln

ln 



1

N

i

p

i





Przykład

Przykład

1

1

i

y

i

y

Przykład

Przykład

2

2

Wyniki pomiarów największych rocznych wartości
ciężaru pokrywy śnieżnej na gruncie w N/m

2

,

Rzeszów zima 1950/1951-2004/2005 (J.A. Żurański, ITB)
(próba N=55 elementów)

N/m

2

Przykład

Przykład

2

2

 

i

1

i

p

z







 





i

p

ln

ln 



i

s

i

s

F

dF

F 

dF

F 

F

dF

F 

dF

F 

Wyniki pomiarów największych rocznych wartości
ciężaru pokrywy śnieżnej na gruncie w N/m

2

,

Rzeszów zima 1950/1951-2004/2005 (J.A. Żurański, ITB)
(próba N=55 elementów)

Aby określić rozkład prawdopodobieństwa obciążenia
maksymalnego
t.j. występującego raz na 25, 50, 100 lat, należałoby wybierać
wartości największe nie z 1 roku, lecz z 25, 50, 100 lat
i powtarzać to np. N=30 razy (próba N=30 elementów)

Lub:

Zmienna losowa Y, o dystrybyancie F

Y

nie przekroczy pewnej

wartości y
w ciagu m lat, jeżeli nie przekroczy jej ani w roku pierwszym,
ani w drugim, ... ani w m-tym.
Jeżeli każde z ww. zdarzeń losowych jest niezależne:

P( Y<y przez m lat ) =
P( Y<y przez 1-szy rok  Y<y przez 2-gi rok ...  Y<y przez m-ty

rok ) =
P(Y<y przez 1-szy rok ) P(Y<y przez 2-gi rok )  ... P(Y<y przez

m-ty rok ) =
F

Y

(y)  F

Y

(y) ...  F

Y

(y) = F

Y

m

(y)

W przypadku rozkładu ekstremalnego typu I
F

Y

m

(y) ma rozkład ekstrem. t I:

Obciążenia maksymalne (wyjątkowe) - Q

Obciążenia maksymalne (wyjątkowe) - Q

max

max

 













m

ln

u

u

m

m

Przykład

Przykład

3

3

 

i

1

i

p

z







1

N

i

p

i





i

y

i

y

 





i

p

ln

ln 



1

N

i

p

i





f

Q

f



Q

obciążenie

średnie

Q

n

obciążenie

obliczeniowe

Q

n

obciążenie

projektowe

(nominalne)

Modele obciążeń

Modele obciążeń

n

Q

Q

Q







Q

Q

Q

V







Obciążenia stałe:

D – rozkład normalny

D

n

D





W normach:

więc

1

D

n

D

D









W praktyce:

D

n

D





więc

05

,

1

D





1

,

0

V

D



Obciążenia zmienne:

L

apt

– rozkład normalny, L

max

– rozkład ekstremalny t.I

max

L

n

L





W normach:

więc

1

L

n

Lmax

Lmax









max

L

Lapt







więc

1

L

n

Lapt

Lapt









Lapt

max

L

V

V



Obciążenia śniegiem i wiatrem:

A

apt

, A

max

– rozkład ekstremalny t.I

W normach:









T

1

p

,

A

A

P

p

,

p

1

F

A

n

1

A

n













n

max

A

Aapt

A









więc

1

max

A

Aapt









max

L

Lapt







więc

Aapt

max

A

V

V



obciążenie

stałe

obciążenie

zmienne

długotrwałe

obciążenie

zmienne

krótkotrwałe

śnieg

trzęsienie

ziemi

wiatr

czas

czas

czas

czas

czas

czas

zima

lato

n lat

0,5 minuty

kilka lat

kilka godzin lub dni

Kombinacje obciążeń

Kombinacje obciążeń

Całkowite obciążenie działające na konstrukcję Q jest sumą
szeregu składników; niektóre z nich są zmienne w czasie.

n

2

1

Q

Q

Q

Q









Jeżeli jedno ze składników obciążenia osiągnie wartość maksymalną Q

i

= Q

max i

to pozostałe składniki przyjmują wartości przeciętne Q

j

= Q

apt j

, gdzie ji.

Najbardziej niekorzystna kombinacja obciążeń Q wynosi:

































n

2

1

n

2

1

n

2

1

max

apt

apt

apt

max

apt

apt

apt

max

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

max

Q









Kombinacje obciążeń - reguła Turkstry

Kombinacje obciążeń - reguła Turkstry

n

2

1

Q

Q

Q

Q









Zmienna Q ma w przybliżeniu rozkład taki, jak zmienna Q

max

i

z najbardziej niekorzystnej kombinacji obciążeń lub rozkład normalny.





















































n

max

2

apt

1

apt

n

apt

2

max

1

apt

n

apt

2

apt

1

max

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

max























j

k

2
Qapt

2
Qmax

2
Q

i

i

Na element konstrukcyjny działa obciążenie stałe D, zmienne L i śnieg S.

Siły wewnętrzne od poszczególnych składników obciążenia są zmiennymi losowymi
o parametrach:

Obliczyć parametry statystyczne siły wewnętrznej od obciążenia całkowitego.

Przykład 4

Przykład 4



D

=30 

Lmax

=60



Lapt

=15



Smax

=10 

Sapt

= 5



D

=3 

Lmax

=12



Lapt

=6



Smax

=5



Sapt

= 2

95

10

15

5

60

max

30

max

max

apt

apt

max

S

L

S

L

D

Q



























































max

apt

apt

max

S

L

S

L

max

D

Q

157

2

12

3

2

2

2

2
S

2

L

2

D

2
Q

apt

max























S

L

D

Q







53

,

12

157

Q







Przykład 5

Przykład 5

Na element konstrukcyjny działa obciążenie stałe D, zmienne L, śnieg S i wiatr W.

Q

n



Q

V

Q



Qmax

V

Qmax



Qapt

V

Qapt

D

40

1,05

0,10

L

40

1,00

0,18

0,24

0,65

S

10

0,82

0,26

0,20

0,87

W

10

0,78

0,36

0

0

Obliczyć parametry statystyczne siły wewnętrzynej od obciążenia całkowitego.

n

Q

Q

Q







Q

Q

Q

V





