METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY

OBLICZENIOWE

METODY

OBLICZENIOWE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

LITERATURA

1. KLEIBER M.

(red): Komputerowe

metody mechaniki ciał stałych. PWN, W-

wa ,1995

2. ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L

. : The

finite element method, vol.1, 2000

3. RAKOWSKI G., KACPRZYK Z

.: Metoda

elementów skończonych w mechanice

konstrukcji, W-wa, 2005

4. CICHOŃ Cz

.: Metody obliczeniowe,

Pol. Św., Kielce, 2005

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

RADWAŃSKA M

.: Metody komputerowe w

wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji,

Pol. Krak., Kraków,2004

6. SADECKA L

.: Metoda różnic skończonych w

zagadnieniach mechaniki konstrukcji i podłoża,

Pol. Opol., Opole, 2010

7. SADECKA L

.: Rozwiązywanie zadań z mechaniki

budowli metodą różnic i elementów skończonych

w środowisku programów

maple

matlab,

matlab, Pol.

Opol., Opole,2011

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Zagadnienia fizyki matematycznej czy

techniki, takie na przykład jak

poszukiwanie rozkładu pól

temperatury, przemieszczenia,

naprężenia i odkształcenia to

zagadnienia brzegowe lub brzegowo-

początkowe (zależne od czasu).

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Zagadnienia takie opisane są

najczęściej

układem równań

różniczkowych i warunkami na

brzegu obszaru

w przypadku

zagadnienia brzegowego, oraz

dodatkowo, warunkami w danej

chwili , dla zagadnień brzegowo-

początkowych zależnych od czasu.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Każde zagadnienie brzegowe można w

sposób ogólny opisać równaniem

operatorowym:

określonym w obszarze V z warunkami

brzegowymi

)

(



 f

(1)



)

(



)

(

danymi na części odpowiednio

brzegu





METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W równaniu (1)

oznacza pewien
operator

różniczkowy.

Przykłady
operatorów

-operator Laplace’a













- operator biharmoniczny













METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W równaniu (1):

– funkcja będąca

dokładnym

rozwiązaniem

równania (1) , (poszukiwana)

– funkcja dana w obszarze V

W ogólności zagadnienie brzegowe może

mieć charakter

liniowy lub nieliniowy

–

odpowiednio będzie operatorem liniowym

lub nieliniowym

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Określenie funkcji u jako dokładnego

rozwiązania równania (1) dotyczy z reguły

wąskiej klasy zagadnień, dla których:

- operator jest liniowy,

- obszar u jest regularny,

warunki brzegowe ciągłe i elementarne.

Uzyskane rozwiązania są ścisłe w sensie

matematycznym

, często nazywa się je

rozwiązaniami zamkniętymi.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Dla obszarów o

złożonych kształtach czy

nieciągłych warunkach brzegowych

metody ścisłe w wyniku stosowania

których uzyskuje się funkcję jako

dokładne rozwiązanie równania

operatorowego (1) prowadzą do

długich i

żmudnych obliczeń, często też w takich

przypadkach nie ma rozwiązań w klasie

funkcji elementarnych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Przykładowo:

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

obwodzie – obciążona równomiernie na

całym obszarze lub obciążona w środku siłą

skupioną-

istnieją rozwiązania zamknięte

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

jednej krawędzi, na drugiej zamocowana, na

pozostałych swobodna – dowolnie obciążona-

nie istnieją rozwiązania zamknięte

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Pozostają wówczas do dyspozycji

metody

przybliżone rozwiązania równania (1).

Metody przybliżone:

-kosztem zmniejszonej dokładności

obliczeń prowadzą szybciej lub w ogóle

umożliwiają uzyskanie rezultatu.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Generalnie przy

przybliżonym

rozwiązywaniu równania (1) można

wyróżnić

dwa podejścia:

bazuje na oryginalnym równaniu

operatorowym

bazuje na warunku minimum

funkcjonału zagadnienia.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Niezależnie od podejścia,

metody

przybliżone

można podzielić na:

metody analityczne

, czyli takie, przy

użyciu których uzyskuje się rozwiązanie

równania (1) w postaci funkcji

metody numeryczne

, kiedy rozwiązanie

jest zbiorem wartości funkcji w

wybranych punktach obszaru .

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W metodach analitycznych

traktuje się ciało

jako continuum trójwymiarowe, czyli

rozpatruje się

model kontynualny

ciała.

W metodach numerycznych

ciało traktuje

się jako

skończony zbiór punktów

, między

którymi zakłada się funkcyjny opis

zmienności poszukiwanego pola.

Rozpatruje się zatem

model dyskretny

ciała

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

MODEL KONTYNUALNY

MODEL DYSKRETNY

DYSKRETYZACJA

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Proces przejścia od modelu kontynualnego

do modelu dyskretnego-

dyskretyzacja.

Dyskretyzacja może odbywać się:



na drodze matematycznej

- tzw.

dyskretyzacja matematyczna



na drodze fizycznej

przez podział

rozpatrywanego continuum na

skończoną liczbę części - tzw.

dyskretyzacja fizyczna.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Punktem wyjścia stosowania metod numerycznych

jest

utworzenie modelu dyskretnego.

Uzyskane w wyniku stosowania tych metod

rozwiązanie ma charakter dyskretny

– znane są

wartości poszukiwanej funkcji (przybliżone) w

punktach (tzw. węzłach) modelu dyskretnego.

Generalnie przy zagęszczeniu punktów węzłowych

modelu dyskretnego zbliża się on do modelu

kontynualnego, odnosi się to także do rozwiązania.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Przy stosowaniu metod analitycznych

otrzymujemy

rozwiązanie ( przybliżone) w

postaci funkcji

(w postaci wzoru na

poszukiwaną funkcję).

Pozwala to na określenie przybliżonej

wartości poszukiwanej funkcji w każdym

punkcie obszaru.

Przy stosowaniu metod numerycznych

otrzymujemy

rozwiązanie w postaci zbioru

wartości poszukiwanej funkcji w wybranych

(zadanych) punktach.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W obecnej dobie wobec powszechności i

dużych mocy obliczeniowych komputerów

dominują

metody numeryczne – MES, MRS,

MEB.

Nie jest możliwe podanie jednolitego kryterium

użyteczności zastosowania każdej z wyżej

wymienionych metod komputerowych

danego zagadnienia.

W dużej mierze jest to uwarunkowane

specyfiką rozpatrywanego problemu jak

również doświadczeniem i intuicją tego, kto

decyduje się na wybór tej, a nie innej

metody numerycznej.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Najbardziej uniwersalna metoda - MES.

Przy zastosowaniu danej metody

komputerowej

wyniki odnoszą się nie do

układu rzeczywistego, ale do modelu

obliczeniowego (dyskretnego), który tylko

tę rzeczywistość modeluje

zbiór założeń dotyczących procesów i zjawisk,
które zachodzą w układzie -

model fizyczny.

formułujemy równania, które wyrażają zasadnicze
własności modelu fizycznego w sposób matematyczny –

model matematyczny

tworzymy

model obliczeniowy

rzeczywistego

obiektu przy uwzględnieniu własności danej
metody numerycznej

Przełożenie zależności matematycznych modelu
obliczeniowego na język wewnętrzny EMC –

program komputerowy

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Właściwa interpretacja wyników obliczeń

programu

komputerowego jest możliwa

jedynie przy

znajomości zastosowanego w

tym programie modelu obliczeniowego

Ocena adekwatności otrzymanych

rezultatów

może odbyć się albo

na drodze

porównania z rozwiązaniem ścisłym

(zazwyczaj niedostępnym) ,

albo

na drodze

weryfikacji doświadczalnej

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Programy, w których użyto

różnych modeli

obliczeniowych

tego samego obiektu

rzeczywistego prowadzić będą

różniących się od siebie wyników.

Nawet jednak

przy tych samych modelach

obliczeniowych

mogą pojawiać się

rozbieżności w wynikach, wynikające ze

stosowania różnych technik numerycznych,

na przykład różnych procedur

rozwiązywania układu równań.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



MRS, MES, MEB

– schemat

postępowania



Równania różniczkowe cząstkowe

(MRS)

- Budowa siatki węzłów i przyjęcie

wybranych schematów różnicowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Zastąpienie równań różniczkowych przez

równania różnicowe

dla kolejnych węzłów

obszaru

modyfikacja układu równań –

wprowadzenie warunków brzegowych

rozwiązanie układu równań liniowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

macierz rzadka, pasmowa, zwykle

symetryczna

obliczenia dodatkowe

na przykład

pochodnych poszukiwanej funkcji w

węzłach

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Problem minimalizacji funkcjonału

(MES)

Podział obszaru na podobszary

(elementy skończone) i przyjęcie

odpowiednich funkcji

aproksymujących na elementach-

funkcji kształtu

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



- Budowa macierzy sztywności

kolejnych elementów. Formowanie

równań dla elementów



- Budowa globalnego układu równań



- Modyfikacja układu równań –

wprowadzenia warunków brzegowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



- rozwiązanie układu równań liniowych



- macierz rzadka, pasmowa, zwykle

symetryczna



- obliczenia dodatkowe na przykład

pochodnych funkcji wewnątrz

elementów skończonych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



Całkowe równania brzegowe (MEB)

Podział brzegu na segmenty

(elementy brzegowe) , założenie

odpowiednich funkcji

aproksymujących na elementach-

funkcji kształtu

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

budowa dyskretnej reprezentacji

równania

całkowego dla kolejnych węzłów brzegu

formowanie globalnego układu równań

modyfikacja układu równań – wprowadzenie

warunków brzegowych

rozwiązanie układu równań liniowych

macierz pełna, niesymetryczna

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

obliczenia uzupełniające na przykład

poszukiwanej funkcji i jej pochodnych w

wybranych punktach obszaru

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Zalety MES

- uniwersalność, duża biblioteka elementów

skończonych różnych typów

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

zastosowanie w zagadnieniach

liniowych i nieliniowych

możliwość programowania tej metody

w językach Fortran (najczęściej) i C

otrzymywanie symetrycznej macierzy

pasmowej (mały wpływ błędów

zaokrągleń na wyniki)

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Wady MES

aproksymacja przemieszczeń

wielomianami niskiego stopnia

między brzegami elementów

naruszona jest ciągłość odkształceń i

naprężeń

konieczność zagęszczania w

obszarach koncentracji naprężeń

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

metoda dość uciążliwa w zagadnieniach

przestrzennych (otrzymuje się duże zadania),

w tym przypadku może być lepsza metoda

elementów brzegowych (MEB)

Analiza MES

liniowa (

liniowa geometrycznie-

dla układu

pomija się odkształcenia w równaniach

równowagi, zależności między obciążeniami i

siłami wewnętrznymi są liniowe,

liniowa

fizycznie

(związki liniowe naprężenie-

odkształcenie))

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

nieliniowa (geometrycznie – duże

odkształcenia), fizycznie - nieliniowe

związki naprężenie-odkształcenie)

Obliczenia zadań nieliniowych

są

nieporównywalnie trudniejsze od

liniowych. Rozwiązywanie takich

zadań wymaga dobrej znajomości

zjawisk i stosowanych metod

obliczeniowych.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W problemach nieliniowych spotkać się

można z niejednoznacznością

rozwiązania

lub z brakiem rozwiązania.

Systemy MES

Do najbardziej znanych systemów MES

można zaliczyć

programy naukowe

ABAQUS, Pro-MECHANICA, ANSYS,

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ADINA, (MSC/NASTRAN)

oraz programy inżynierskie

NASTRAN, COSMOS, ROBOT, ALGOR

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ABAQUS

- składa się z wielu narzędzi.

Umożliwia to optymalne dobieranie

wymaganych opcji do własnych potrzeb.

Służy do analizy nieliniowej układów w

zakresie skomplikowanych badań

inżynierskich. Stosowany w zagadnieniach

mechaniki ciała stałego i płynów oraz do

oceny wytrzymałościowej elementów

maszyn i konstrukcji. Stosuje się go

również podczas badań sejsmicznych i

geotechnicznych oraz w akustyce.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ADINA

- jest programem

przeznaczonym przede wszystkim do

analizy naprężeń w ciałach stałych

oraz strukturach statycznych i

dynamicznych. Umożliwia

modelowanie zarówno liniowego jak i

wysoce nieliniowego zachowania

obiektów, uwzględniając duże

odkształcenia, nieliniowość materiału

oraz analizę kontaktową

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

MSC/NASTRAN

- jest programem

rozwiązującym skomplikowane

problemy inżynierskie. Przy pomocy

tego programu można rozwiązywać :

liniowa statykę, przepływy ciepła,

akustykę, dokonywać analizy

kompozytów.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Architektura programów

wykorzystujących MES oparta jest na

koncepcji bibliotek

, co pozwala na

łączenie dowolnych elementów.

Użytkownik może tworzyć dowolne

kombinacje elementów skończonych,

materiałów, procedur analizy i

sekwencji obciążeń.

Document Outline