.

.

METODY

METODY

OBLICZENIOWE

OBLICZENIOWE

METODY

METODY

OBLICZENIOWE

OBLICZENIOWE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

LITERATURA

LITERATURA

1. KLEIBER M.

1. KLEIBER M.

(red): Komputerowe

(red): Komputerowe

metody mechaniki ciał stałych. PWN, W-

metody mechaniki ciał stałych. PWN, W-

wa ,1995

wa ,1995

2. ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L

2. ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L

. : The

. : The

finite element method, vol.1, 2000

finite element method, vol.1, 2000

3. RAKOWSKI G., KACPRZYK Z

3. RAKOWSKI G., KACPRZYK Z

.: Metoda

.: Metoda

elementów skończonych w mechanice

elementów skończonych w mechanice

konstrukcji, W-wa, 2005

konstrukcji, W-wa, 2005

4. CICHOŃ Cz

4. CICHOŃ Cz

.: Metody obliczeniowe,

.: Metody obliczeniowe,

Pol. Św., Kielce, 2005

Pol. Św., Kielce, 2005

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

5.

5.

RADWAŃSKA M

RADWAŃSKA M

.: Metody komputerowe w

.: Metody komputerowe w

wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji,

wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji,

Pol. Krak., Kraków,2004

Pol. Krak., Kraków,2004

6. SADECKA L

6. SADECKA L

.: Metoda różnic skończonych w

.: Metoda różnic skończonych w

zagadnieniach mechaniki konstrukcji i podłoża,

zagadnieniach mechaniki konstrukcji i podłoża,

Pol. Opol., Opole, 2010

Pol. Opol., Opole, 2010

7. SADECKA L

7. SADECKA L

.: Rozwiązywanie zadań z mechaniki

.: Rozwiązywanie zadań z mechaniki

budowli metodą różnic i elementów skończonych

budowli metodą różnic i elementów skończonych

w środowisku programów

w środowisku programów

maple

maple

i

i

matlab,

matlab, Pol.

Opol., Opole,2011

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Zagadnienia fizyki matematycznej czy

Zagadnienia fizyki matematycznej czy

techniki, takie na przykład jak

techniki, takie na przykład jak

poszukiwanie rozkładu pól

poszukiwanie rozkładu pól

temperatury, przemieszczenia,

temperatury, przemieszczenia,

naprężenia i odkształcenia to

naprężenia i odkształcenia to

zagadnienia brzegowe lub brzegowo-

zagadnienia brzegowe lub brzegowo-

początkowe (zależne od czasu).

początkowe (zależne od czasu).

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Zagadnienia takie opisane są

Zagadnienia takie opisane są

najczęściej

najczęściej

układem równań

układem równań

różniczkowych i warunkami na

różniczkowych i warunkami na

brzegu obszaru

brzegu obszaru

w przypadku

w przypadku

zagadnienia brzegowego, oraz

zagadnienia brzegowego, oraz

dodatkowo, warunkami w danej

dodatkowo, warunkami w danej

chwili , dla zagadnień brzegowo-

chwili , dla zagadnień brzegowo-

początkowych zależnych od czasu.

początkowych zależnych od czasu.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Każde zagadnienie brzegowe można w

Każde zagadnienie brzegowe można w

sposób ogólny opisać równaniem

sposób ogólny opisać równaniem

operatorowym:

operatorowym:

określonym w obszarze V z warunkami

określonym w obszarze V z warunkami

brzegowymi

brzegowymi

0

)

(



 f

u

A

(1)

p

u

F



)

(

q

u

G



)

(

danymi na części odpowiednio

1

S

2

S

i

brzegu

2

1

S

S

S





METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W równaniu (1)

W równaniu (1)

A

oznacza pewien
operator

różniczkowy.

Przykłady
operatorów

:

-operator Laplace’a

2

2

2

2

2

2

z

y

x

A



















- operator biharmoniczny

4

4

2

2

4

4

4

2

y

y

x

x

A





















METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W równaniu (1):

W równaniu (1):

u

u

– funkcja będąca

– funkcja będąca

dokładnym

dokładnym

rozwiązaniem

rozwiązaniem

równania (1) , (poszukiwana)

równania (1) , (poszukiwana)

f

f

– funkcja dana w obszarze V

– funkcja dana w obszarze V

W ogólności zagadnienie brzegowe może

W ogólności zagadnienie brzegowe może

mieć charakter

mieć charakter

liniowy lub nieliniowy

liniowy lub nieliniowy

–

–

odpowiednio będzie operatorem liniowym

odpowiednio będzie operatorem liniowym

lub nieliniowym

lub nieliniowym

.

.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Określenie funkcji u jako dokładnego

Określenie funkcji u jako dokładnego

rozwiązania równania (1) dotyczy z reguły

rozwiązania równania (1) dotyczy z reguły

wąskiej klasy zagadnień, dla których:

wąskiej klasy zagadnień, dla których:

- operator jest liniowy,

- operator jest liniowy,

- obszar u jest regularny,

- obszar u jest regularny,

-

warunki brzegowe ciągłe i elementarne.

warunki brzegowe ciągłe i elementarne.

Uzyskane rozwiązania są ścisłe w sensie

Uzyskane rozwiązania są ścisłe w sensie

matematycznym

matematycznym

, często nazywa się je

, często nazywa się je

rozwiązaniami zamkniętymi.

rozwiązaniami zamkniętymi.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Dla obszarów o

Dla obszarów o

złożonych kształtach czy

złożonych kształtach czy

nieciągłych warunkach brzegowych

nieciągłych warunkach brzegowych

,

,

metody ścisłe w wyniku stosowania

metody ścisłe w wyniku stosowania

których uzyskuje się funkcję jako

których uzyskuje się funkcję jako

dokładne rozwiązanie równania

dokładne rozwiązanie równania

operatorowego (1) prowadzą do

operatorowego (1) prowadzą do

długich i

długich i

żmudnych obliczeń, często też w takich

żmudnych obliczeń, często też w takich

przypadkach nie ma rozwiązań w klasie

przypadkach nie ma rozwiązań w klasie

funkcji elementarnych

funkcji elementarnych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Przykładowo:

Przykładowo:

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

obwodzie – obciążona równomiernie na

obwodzie – obciążona równomiernie na

całym obszarze lub obciążona w środku siłą

całym obszarze lub obciążona w środku siłą

skupioną-

skupioną-

istnieją rozwiązania zamknięte

istnieją rozwiązania zamknięte

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

-Płyta kwadratowa swobodnie podparta na

jednej krawędzi, na drugiej zamocowana, na

jednej krawędzi, na drugiej zamocowana, na

pozostałych swobodna – dowolnie obciążona-

pozostałych swobodna – dowolnie obciążona-

nie istnieją rozwiązania zamknięte

nie istnieją rozwiązania zamknięte

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Pozostają wówczas do dyspozycji

Pozostają wówczas do dyspozycji

metody

metody

przybliżone rozwiązania równania (1).

przybliżone rozwiązania równania (1).

Metody przybliżone:

Metody przybliżone:

-kosztem zmniejszonej dokładności

-kosztem zmniejszonej dokładności

obliczeń prowadzą szybciej lub w ogóle

obliczeń prowadzą szybciej lub w ogóle

umożliwiają uzyskanie rezultatu.

umożliwiają uzyskanie rezultatu.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Generalnie przy

Generalnie przy

przybliżonym

przybliżonym

rozwiązywaniu równania (1) można

rozwiązywaniu równania (1) można

wyróżnić

wyróżnić

dwa podejścia:

dwa podejścia:

1.

1.

bazuje na oryginalnym równaniu

bazuje na oryginalnym równaniu

operatorowym

operatorowym

2.

2.

bazuje na warunku minimum

bazuje na warunku minimum

funkcjonału zagadnienia.

funkcjonału zagadnienia.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Niezależnie od podejścia,

Niezależnie od podejścia,

metody

metody

przybliżone

przybliżone

można podzielić na:

można podzielić na:

-

-

metody analityczne

metody analityczne

, czyli takie, przy

, czyli takie, przy

użyciu których uzyskuje się rozwiązanie

użyciu których uzyskuje się rozwiązanie

równania (1) w postaci funkcji

równania (1) w postaci funkcji

-

-

metody numeryczne

metody numeryczne

, kiedy rozwiązanie

, kiedy rozwiązanie

jest zbiorem wartości funkcji w

jest zbiorem wartości funkcji w

wybranych punktach obszaru .

wybranych punktach obszaru .

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W metodach analitycznych

W metodach analitycznych

traktuje się ciało

traktuje się ciało

jako continuum trójwymiarowe, czyli

jako continuum trójwymiarowe, czyli

rozpatruje się

rozpatruje się

model kontynualny

model kontynualny

ciała.

ciała.

W metodach numerycznych

W metodach numerycznych

ciało traktuje

ciało traktuje

się jako

się jako

skończony zbiór punktów

skończony zbiór punktów

, między

, między

którymi zakłada się funkcyjny opis

którymi zakłada się funkcyjny opis

zmienności poszukiwanego pola.

zmienności poszukiwanego pola.

Rozpatruje się zatem

Rozpatruje się zatem

model dyskretny

model dyskretny

ciała

ciała

.

.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

.

.

MODEL KONTYNUALNY

MODEL DYSKRETNY

DYSKRETYZACJA

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Proces przejścia od modelu kontynualnego

Proces przejścia od modelu kontynualnego

do modelu dyskretnego-

do modelu dyskretnego-

dyskretyzacja.

dyskretyzacja.

Dyskretyzacja może odbywać się:

Dyskretyzacja może odbywać się:



na drodze matematycznej

na drodze matematycznej

- tzw.

- tzw.

dyskretyzacja matematyczna

dyskretyzacja matematyczna



na drodze fizycznej

na drodze fizycznej

przez podział

przez podział

rozpatrywanego continuum na

rozpatrywanego continuum na

skończoną liczbę części - tzw.

skończoną liczbę części - tzw.

dyskretyzacja fizyczna.

dyskretyzacja fizyczna.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Punktem wyjścia stosowania metod numerycznych

Punktem wyjścia stosowania metod numerycznych

jest

jest

utworzenie modelu dyskretnego.

utworzenie modelu dyskretnego.

Uzyskane w wyniku stosowania tych metod

Uzyskane w wyniku stosowania tych metod

rozwiązanie ma charakter dyskretny

rozwiązanie ma charakter dyskretny

– znane są

– znane są

wartości poszukiwanej funkcji (przybliżone) w

wartości poszukiwanej funkcji (przybliżone) w

punktach (tzw. węzłach) modelu dyskretnego.

punktach (tzw. węzłach) modelu dyskretnego.

Generalnie przy zagęszczeniu punktów węzłowych

Generalnie przy zagęszczeniu punktów węzłowych

modelu dyskretnego zbliża się on do modelu

modelu dyskretnego zbliża się on do modelu

kontynualnego, odnosi się to także do rozwiązania.

kontynualnego, odnosi się to także do rozwiązania.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Klasyfikacja metod przybliżonych

Klasyfikacja metod przybliżonych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Przy stosowaniu metod analitycznych

Przy stosowaniu metod analitycznych

otrzymujemy

otrzymujemy

rozwiązanie ( przybliżone) w

rozwiązanie ( przybliżone) w

postaci funkcji

postaci funkcji

(w postaci wzoru na

(w postaci wzoru na

poszukiwaną funkcję).

poszukiwaną funkcję).

Pozwala to na określenie przybliżonej

Pozwala to na określenie przybliżonej

wartości poszukiwanej funkcji w każdym

wartości poszukiwanej funkcji w każdym

punkcie obszaru.

punkcie obszaru.

Przy stosowaniu metod numerycznych

Przy stosowaniu metod numerycznych

otrzymujemy

otrzymujemy

rozwiązanie w postaci zbioru

rozwiązanie w postaci zbioru

wartości poszukiwanej funkcji w wybranych

wartości poszukiwanej funkcji w wybranych

(zadanych) punktach.

(zadanych) punktach.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W obecnej dobie wobec powszechności i

W obecnej dobie wobec powszechności i

dużych mocy obliczeniowych komputerów

dużych mocy obliczeniowych komputerów

dominują

dominują

metody numeryczne – MES, MRS,

metody numeryczne – MES, MRS,

MEB.

MEB.

Nie jest możliwe podanie jednolitego kryterium

Nie jest możliwe podanie jednolitego kryterium

użyteczności zastosowania każdej z wyżej

użyteczności zastosowania każdej z wyżej

wymienionych metod komputerowych

wymienionych metod komputerowych

do

do

danego zagadnienia.

danego zagadnienia.

W dużej mierze jest to uwarunkowane

W dużej mierze jest to uwarunkowane

specyfiką rozpatrywanego problemu jak

specyfiką rozpatrywanego problemu jak

również doświadczeniem i intuicją tego, kto

również doświadczeniem i intuicją tego, kto

decyduje się na wybór tej, a nie innej

decyduje się na wybór tej, a nie innej

metody numerycznej.

metody numerycznej.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Najbardziej uniwersalna metoda - MES.

Najbardziej uniwersalna metoda - MES.

Przy zastosowaniu danej metody

Przy zastosowaniu danej metody

komputerowej

komputerowej

wyniki odnoszą się nie do

wyniki odnoszą się nie do

układu rzeczywistego, ale do modelu

układu rzeczywistego, ale do modelu

obliczeniowego (dyskretnego), który tylko

obliczeniowego (dyskretnego), który tylko

tę rzeczywistość modeluje

tę rzeczywistość modeluje

.

.

zbiór założeń dotyczących procesów i zjawisk,
które zachodzą w układzie -

model fizyczny.

formułujemy równania, które wyrażają zasadnicze
własności modelu fizycznego w sposób matematyczny –

model matematyczny

tworzymy

model obliczeniowy

rzeczywistego

obiektu przy uwzględnieniu własności danej
metody numerycznej

Przełożenie zależności matematycznych modelu
obliczeniowego na język wewnętrzny EMC –

program komputerowy

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Właściwa interpretacja wyników obliczeń

Właściwa interpretacja wyników obliczeń

programu

programu

komputerowego jest możliwa

komputerowego jest możliwa

jedynie przy

jedynie przy

znajomości zastosowanego w

znajomości zastosowanego w

tym programie modelu obliczeniowego

tym programie modelu obliczeniowego

.

.

Ocena adekwatności otrzymanych

Ocena adekwatności otrzymanych

rezultatów

rezultatów

może odbyć się albo

może odbyć się albo

na drodze

na drodze

porównania z rozwiązaniem ścisłym

porównania z rozwiązaniem ścisłym

(zazwyczaj niedostępnym) ,

(zazwyczaj niedostępnym) ,

albo

albo

na drodze

na drodze

weryfikacji doświadczalnej

weryfikacji doświadczalnej

.

.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Programy, w których użyto

Programy, w których użyto

różnych modeli

różnych modeli

obliczeniowych

obliczeniowych

tego samego obiektu

tego samego obiektu

rzeczywistego prowadzić będą

rzeczywistego prowadzić będą

do

do

różniących się od siebie wyników.

różniących się od siebie wyników.

Nawet jednak

Nawet jednak

przy tych samych modelach

przy tych samych modelach

obliczeniowych

obliczeniowych

mogą pojawiać się

mogą pojawiać się

rozbieżności w wynikach, wynikające ze

rozbieżności w wynikach, wynikające ze

stosowania różnych technik numerycznych,

stosowania różnych technik numerycznych,

na przykład różnych procedur

na przykład różnych procedur

rozwiązywania układu równań.

rozwiązywania układu równań.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



MRS, MES, MEB

MRS, MES, MEB

– schemat

– schemat

postępowania

postępowania



Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe

(MRS)

(MRS)

- Budowa siatki węzłów i przyjęcie

- Budowa siatki węzłów i przyjęcie

wybranych schematów różnicowych

wybranych schematów różnicowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

.

.

Węzły siatki dyskretyzacyjnej

Węzły siatki dyskretyzacyjnej

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

.

.

-

-

Zastąpienie równań różniczkowych przez

Zastąpienie równań różniczkowych przez

równania różnicowe

równania różnicowe

dla kolejnych węzłów

dla kolejnych węzłów

obszaru

obszaru

-

-

modyfikacja układu równań –

modyfikacja układu równań –

wprowadzenie warunków brzegowych

wprowadzenie warunków brzegowych

-

-

rozwiązanie układu równań liniowych

rozwiązanie układu równań liniowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

.

.

-

macierz rzadka, pasmowa, zwykle

macierz rzadka, pasmowa, zwykle

symetryczna

symetryczna

-

-

obliczenia dodatkowe

obliczenia dodatkowe

na przykład

na przykład

pochodnych poszukiwanej funkcji w

pochodnych poszukiwanej funkcji w

węzłach

węzłach

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

.

.

Problem minimalizacji funkcjonału

Problem minimalizacji funkcjonału

(MES)

(MES)

-

-

Podział obszaru na podobszary

Podział obszaru na podobszary

(elementy skończone) i przyjęcie

(elementy skończone) i przyjęcie

odpowiednich funkcji

odpowiednich funkcji

aproksymujących na elementach-

aproksymujących na elementach-

funkcji kształtu

funkcji kształtu

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



- Budowa macierzy sztywności

- Budowa macierzy sztywności

kolejnych elementów. Formowanie

kolejnych elementów. Formowanie

równań dla elementów

równań dla elementów



- Budowa globalnego układu równań

- Budowa globalnego układu równań



- Modyfikacja układu równań –

- Modyfikacja układu równań –

wprowadzenia warunków brzegowych

wprowadzenia warunków brzegowych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



- rozwiązanie układu równań liniowych

- rozwiązanie układu równań liniowych



- macierz rzadka, pasmowa, zwykle

- macierz rzadka, pasmowa, zwykle

symetryczna

symetryczna



- obliczenia dodatkowe na przykład

- obliczenia dodatkowe na przykład

pochodnych funkcji wewnątrz

pochodnych funkcji wewnątrz

elementów skończonych

elementów skończonych

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE



Całkowe równania brzegowe (MEB)

Całkowe równania brzegowe (MEB)

-

-

Podział brzegu na segmenty

Podział brzegu na segmenty

(elementy brzegowe) , założenie

(elementy brzegowe) , założenie

odpowiednich funkcji

odpowiednich funkcji

aproksymujących na elementach-

aproksymujących na elementach-

funkcji kształtu

funkcji kształtu

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

podział brzegu na elementy

podział brzegu na elementy

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

budowa dyskretnej reprezentacji

budowa dyskretnej reprezentacji

równania

równania

całkowego dla kolejnych węzłów brzegu

całkowego dla kolejnych węzłów brzegu

-

formowanie globalnego układu równań

formowanie globalnego układu równań

-

-

modyfikacja układu równań – wprowadzenie

modyfikacja układu równań – wprowadzenie

warunków brzegowych

warunków brzegowych

-

-

rozwiązanie układu równań liniowych

rozwiązanie układu równań liniowych

-

-

macierz pełna, niesymetryczna

macierz pełna, niesymetryczna

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

-

-

obliczenia uzupełniające na przykład

obliczenia uzupełniające na przykład

poszukiwanej funkcji i jej pochodnych w

poszukiwanej funkcji i jej pochodnych w

wybranych punktach obszaru

wybranych punktach obszaru

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Zalety MES

Zalety MES

- uniwersalność, duża biblioteka elementów

- uniwersalność, duża biblioteka elementów

skończonych różnych typów

skończonych różnych typów

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

-

-

zastosowanie w zagadnieniach

zastosowanie w zagadnieniach

liniowych i nieliniowych

liniowych i nieliniowych

-

-

możliwość programowania tej metody

możliwość programowania tej metody

w językach Fortran (najczęściej) i C

w językach Fortran (najczęściej) i C

-

-

otrzymywanie symetrycznej macierzy

otrzymywanie symetrycznej macierzy

pasmowej (mały wpływ błędów

pasmowej (mały wpływ błędów

zaokrągleń na wyniki)

zaokrągleń na wyniki)

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Wady MES

Wady MES

-

-

aproksymacja przemieszczeń

aproksymacja przemieszczeń

wielomianami niskiego stopnia

wielomianami niskiego stopnia

-

-

między brzegami elementów

między brzegami elementów

naruszona jest ciągłość odkształceń i

naruszona jest ciągłość odkształceń i

naprężeń

naprężeń

-

-

konieczność zagęszczania w

konieczność zagęszczania w

obszarach koncentracji naprężeń

obszarach koncentracji naprężeń

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

-

-

metoda dość uciążliwa w zagadnieniach

metoda dość uciążliwa w zagadnieniach

przestrzennych (otrzymuje się duże zadania),

przestrzennych (otrzymuje się duże zadania),

w tym przypadku może być lepsza metoda

w tym przypadku może być lepsza metoda

elementów brzegowych (MEB)

elementów brzegowych (MEB)

Analiza MES

Analiza MES

-

-

liniowa (

liniowa (

liniowa geometrycznie-

liniowa geometrycznie-

dla układu

dla układu

pomija się odkształcenia w równaniach

pomija się odkształcenia w równaniach

równowagi, zależności między obciążeniami i

równowagi, zależności między obciążeniami i

siłami wewnętrznymi są liniowe,

siłami wewnętrznymi są liniowe,

liniowa

liniowa

fizycznie

fizycznie

(związki liniowe naprężenie-

(związki liniowe naprężenie-

odkształcenie))

odkształcenie))

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

-

-

nieliniowa (geometrycznie – duże

nieliniowa (geometrycznie – duże

odkształcenia), fizycznie - nieliniowe

odkształcenia), fizycznie - nieliniowe

związki naprężenie-odkształcenie)

związki naprężenie-odkształcenie)

Obliczenia zadań nieliniowych

Obliczenia zadań nieliniowych

są

są

nieporównywalnie trudniejsze od

nieporównywalnie trudniejsze od

liniowych. Rozwiązywanie takich

liniowych. Rozwiązywanie takich

zadań wymaga dobrej znajomości

zadań wymaga dobrej znajomości

zjawisk i stosowanych metod

zjawisk i stosowanych metod

obliczeniowych.

obliczeniowych.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Przyczyny nieliniowości

Przyczyny nieliniowości

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

W problemach nieliniowych spotkać się

W problemach nieliniowych spotkać się

można z niejednoznacznością

można z niejednoznacznością

rozwiązania

rozwiązania

lub z brakiem rozwiązania.

lub z brakiem rozwiązania.

Systemy MES

Systemy MES

Do najbardziej znanych systemów MES

Do najbardziej znanych systemów MES

można zaliczyć

można zaliczyć

programy naukowe

programy naukowe

:

:

ABAQUS, Pro-MECHANICA, ANSYS,

ABAQUS, Pro-MECHANICA, ANSYS,

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ADINA, (MSC/NASTRAN)

ADINA, (MSC/NASTRAN)

oraz programy inżynierskie

oraz programy inżynierskie

:

:

NASTRAN, COSMOS, ROBOT, ALGOR

NASTRAN, COSMOS, ROBOT, ALGOR

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ABAQUS

ABAQUS

- składa się z wielu narzędzi.

- składa się z wielu narzędzi.

Umożliwia to optymalne dobieranie

Umożliwia to optymalne dobieranie

wymaganych opcji do własnych potrzeb.

wymaganych opcji do własnych potrzeb.

Służy do analizy nieliniowej układów w

Służy do analizy nieliniowej układów w

zakresie skomplikowanych badań

zakresie skomplikowanych badań

inżynierskich. Stosowany w zagadnieniach

inżynierskich. Stosowany w zagadnieniach

mechaniki ciała stałego i płynów oraz do

mechaniki ciała stałego i płynów oraz do

oceny wytrzymałościowej elementów

oceny wytrzymałościowej elementów

maszyn i konstrukcji. Stosuje się go

maszyn i konstrukcji. Stosuje się go

również podczas badań sejsmicznych i

również podczas badań sejsmicznych i

geotechnicznych oraz w akustyce.

geotechnicznych oraz w akustyce.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

ADINA

ADINA

- jest programem

- jest programem

przeznaczonym przede wszystkim do

przeznaczonym przede wszystkim do

analizy naprężeń w ciałach stałych

analizy naprężeń w ciałach stałych

oraz strukturach statycznych i

oraz strukturach statycznych i

dynamicznych. Umożliwia

dynamicznych. Umożliwia

modelowanie zarówno liniowego jak i

modelowanie zarówno liniowego jak i

wysoce nieliniowego zachowania

wysoce nieliniowego zachowania

obiektów, uwzględniając duże

obiektów, uwzględniając duże

odkształcenia, nieliniowość materiału

odkształcenia, nieliniowość materiału

oraz analizę kontaktową

oraz analizę kontaktową

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

MSC/NASTRAN

MSC/NASTRAN

- jest programem

- jest programem

rozwiązującym skomplikowane

rozwiązującym skomplikowane

problemy inżynierskie. Przy pomocy

problemy inżynierskie. Przy pomocy

tego programu można rozwiązywać :

tego programu można rozwiązywać :

liniowa statykę, przepływy ciepła,

liniowa statykę, przepływy ciepła,

akustykę, dokonywać analizy

akustykę, dokonywać analizy

kompozytów.

kompozytów.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Architektura programów

Architektura programów

wykorzystujących MES oparta jest na

wykorzystujących MES oparta jest na

koncepcji bibliotek

koncepcji bibliotek

, co pozwala na

, co pozwala na

łączenie dowolnych elementów.

łączenie dowolnych elementów.

Użytkownik może tworzyć dowolne

Użytkownik może tworzyć dowolne

kombinacje elementów skończonych,

kombinacje elementów skończonych,

materiałów, procedur analizy i

materiałów, procedur analizy i

sekwencji obciążeń.

sekwencji obciążeń.

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

METODY OBLICZENIOWE-ZAGADNIENIA WSTĘPNE

DZIEKUJĘ

DZIEKUJĘ