a =6, b b=8

Obliczyć amplitudę i fazę prądu płynącego w obwodzie.

Wyznaczyć moc czynną, bierną i pozorną dostarczaną

przez źródło i w poszczególnych elementach. Częstotliwość

źródła wynosi 100b [Hz], amplituda 10a [V].

R=a=6ΩL=10b=80 mH

e(t)=E

sin(t)

f=100b=800 Hz; ω=2πf=5027 s

-1

=10a=60 V

=ωL=5027·80·10

-3

=402 Ω

149

402















402









sin

0149

cos











VAr

sin

067

cos

dost













mVA

VAr

067



VAr







Zadanie 1.

5[Ω]

=325V

f=50Hz

5[mH]

Obliczyć wskazania przyrządów przyjmując, że są to przyrządy
idealne.

ω=2πf=2π50=314s

-1

230

325



Wskazania woltomierza:

5Ω

E=230V

=ωL= ω5·10

-3

=314·5·10

-3

=1.57Ω













Wskazania amperomierza:

Wskazania watomierza:







Zadanie2.
Dla odbiornika energii elektrycznej podano: U

=230V,

=2kVA i cosφ

=0.8. Podać moc czynną i bierną pobieraną przez

ten odbiornik.

cosφ

=2·0.8=1.6kW

kVAr

cos

sin



















Równoległy obwód rezonansowy

e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

e(t)-u

(t)=0 → u

(t)=e(t)=E

sin(ωt)

 
 

 















sin

cos

 









 

sin

cos

sin























e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

(t)+u

(t)=e(t)

Przyjmując: i

(t)=I

sin(ωt+)

mamy:

Przyjmując podobnie jak w obwodzie RL:









lub

 

sin

cos













gdzie

 







mamy:





 

sin















Warunkiem spełnienia równości jest:









a więc prądy są:

 











sin

 























sin

Prąd źródła i(t) jest: i(t)=i

(t)+i

(t)

czyli:

































sin





 

   

 

   

























































sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

Przekształcamy tak aby otrzymać wyrażenie jak po
stronie lewej:

Przyjmując:

 

cos

sin

















– nazywamy modułem admitancji.

Podnosząc do kwadratu i biorąc pod uwagę, że

 

sin

cos









mamy:

 

sin













 

cos

sin













czyli

 













sin

Ponieważ

 

sin

cos













więc

 























cos

Jeżeli to φ=0 i wtedy mamy:

e(t)=E

sin(ωt) oraz i(t)= E

sin(ωt)

oznacza to, że prąd i napięcie są w fazie.

Zjawisko takie nazywamy rezonansem.









Zbadajmy kiedy:

 

















Pulsacja ω=0 jest nie interesująca, więc dzieląc przez ωC
mamy

 







Wprowadzając:

 - oporność krytyczna

mamy:

 









2
kr

Powyższe równanie jest spełnione dla rzeczywistych

wartości pulsacji ω, jeżeli: lub R<R

kr.



Tak więc warunkiem aby w obwodzie równoległym
był możliwy rezonans jest:

R 

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to pulsacja

rezonansowa ω

jest:

gdzie















Częstotliwość rezonansowa f

=ω

/(2π) jest:







Ze względu na fakt, że obwód składa się z dwóch

równoległych gałęzi rezonans nazywa się skrótowo

rezonansem równoległym

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

R>R

(t)

i(t)

e(t)

0 200400600800

1000

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





R>R

(ω)

mLR

(ω)

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

(t)

i(t)

e(t)

R=R

0 200400600800

1000

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





(ω)

mLR

(ω)

R=R

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.1R

ω=314.643s

-1

0 200400600800

1000

I0 

 

Im 

 

 C

 Em





(ω)

mLR

(ω)

R=0.1R

ω=314.643s

-1

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.001R

Dobroć jest zdefiniowana:





Podstawiając:











mamy:







Jeżeli R

>>R, to i ω

=ω



Zastosowanie metody amplitud zespolonych do obliczeń

liniowych obwodów prądu zmiennego

Przyjmujemy:

 





 









I, U – amplituda zespolona odpowiednio prądu, napięcia













gdzie I moduł natężenia prądu
U moduł napięcia

2
i





2
i





Przyrządy typu amperomierz, woltomierz mierzą moduł

odpowiednio natężenia prądu, napięcia.

Interpretacja graficzna na płaszczyźnie zespolonej

Wskaz (fazor) prądu





=Icosφ

=Isinφ

tg 



Wskaz (fazor) napięcia





=Usinφ

=Ucosφ

tg 



Umowa dotycząca obliczania kąta fazowego

z=a+jb=ze

jφ

=z(cosφ+jsinφ)

360





a>0, b≥0





arctg



a<0, b≥0

kąt φ

liczony przez kalkulator ≤0

φ=φ

φ=π+φ

a<0, b<0





arctg



≥0

φ=π+φ

a>0, b<0

φ=2π+φ

Uwaga praktyczna Obliczając kąt należy wybrać sposób liczenia
kąta. Najwygodniej obliczenia prowadzić w stopniach .

Związki między amplitudą zespoloną prądu a amplitudą

zespoloną spadku napięcia na:

Rezystancja:

U=RI

interpretacja graficzna na płaszczyźnie zespolonej

















Indukcyjność:

U=jωLI



































=ωL –reaktancja indukcyjna

=90

U=jX

Pojemność:



































- reaktancja pojemnościowa

U=-jX

-90

Postępowanie w przypadku obliczania obwodu prądu zmiennego

e(t)=Ecos(t)

lub E, f
ω=2πf

Dany obwód

E – wartość skuteczna

 E

– amplituda, wartość

maksymalna

1.Obliczamy dla danej pulsacji reaktancje znajdujące się w

obwodzie:

oraz





2 . Rysujemy obwód dla amplitud zespolonych

-jX

3. Nanosimy amplitudy zespolone prądów i piszemy w-1
równań Kirchhoffa dla bilansu prądów w węzłach





4. Nanosimy strzałki amplitud zespolonych spadku napięcia
    zawsze w kierunku przeciwnym do kierunku amplitudy
    zespolonej prądu płynącego przez element i dla g-w+1 oczek
    niezależnych piszemy oczkowe bilanse amplitud zespolonych

spadków napięć i źródeł





-jX

Dla obwodu mamy: U

+ U

5. Wprowadzamy związki między amplitudami spadków napięć
a prądami na poszczególnych elementach.
W naszym przykładzie: U

=RI, U

=jX

I i U

=-jX

Po podstawieniu do układu równań otrzymanego na podstawie
I i II prawa Kirchhoffa otrzymujemy równania dla zespolonych
amplitud prądów.













Wprowadzając impedancję Z:











mamy:

I 

a zapisując:



Z 

gdzie

















arctg



mamy:







Uwaga! Amperomierz w obwodzie zmierzy prąd I:

I 

Interpretacja graficzna za pomocą wskazów (fazorów):

=RI

=jX

=-jX

Przykład

=0.5mH

~ 230V, 50Hz

0.1Ω

500μF

2Ω

=20mH

1. Obliczamy reaktancje w obwodzie dla amplitud zespolonych

ω=2πf ω=314 s

-1



157

314











314











500

314









Obwód dla amplitud zespolonych

230V

0.1

j0.157

j6.28

-j6.37

lub

220V

0.1+j0.157

-j6.37

2+j6.28

Jeden węzeł

niezależny w-1=1,

a więc z I prawa

Kirchhoffa:

3 niewiadome

prądy

g=3

o=g-w+1=2

dwa równania

II prawo Kirchhoffa:

+U=E

oczko 1:

oczko 2: U

-U

Związki między amplitudami zespolonymi prądów i spadków

napięć dostarczają następnych 3 równań:

U=(0.1+j0.157)I

=-j6.37I

=(2+j6.28)I

Podstawiając mamy:









230

157















Z I równania podstawiamy:













230

157















mamy:













230

157











Operację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych najwygodniej

wykonać przechodząc do postaci wykładniczej

-j6.37=6.37e

j270

jarctg

exp

















197





lub jeżeli chcemy ściśle stosować regułę 0≤φ<360, to 360-197.67
i mamy

162

I 

Przechodząc do postaci wykładniczej: 0.1-j6.21=6.21e

j270.92

i podstawiając

mamy:





230

157





197





lub

162

I 

i mamy:





230

157





bo: 270.92+162.33-360=73.25

Sumując mamy:





230

157









230

157





Dla wykonania dodawania lub odejmowania liczb zespolonych

muszą one być w postaci algebraicznej

czyli:





sin

cos









i otrzymujemy:





230





i ostatecznie:

230









220V

Amperomierz A

wskaże 35 A

270

197









Amperomierz A

wskaże 36 A

270

333























Amperomierz A

wskaże 10.9 A

220V





186

157











Voltomierz V wskaże: 2.03 V





360

270

229

















Voltomierz V

wskaże: 229.3 V

Moc w metodzie amplitud zespolonych obliczamy z zależności:



 I

gdzie I

- sprzężona amplituda zespolona prądu,

U – amplituda zespolona spadku napięcia,

S = P+jQ – zespolona mocy pozorna,

P – moc czynna,

Q – moc bierna.

Zespolona moc pozorna dostarczana przez źródło:

dost

2507

230











Moc pozorna S

dost

=2.5kVA, moc czynna P

dost

=2.43kW

i moc bierna Q

dost

=-0.597kVAr

7636

2433

8014

229

8255

229

270





































Moc czynna pobrana przez obwód P

pob

=10.5+2433=2.44kW

Moc bierna pobrana przez obwód Q

pob

=19.4-8255+7636=-0.6kVAr

Moc pozorna pobrana przez obwód

kVA

2
pob

pob







Moc pozorna S

dost

=2.5kVA, moc czynna P

dost

=2.43kW

i moc bierna Q

dost

=-0.597kVAr

230V

0.1

j0.157

j6.28

-j6.37

Przedstawienie graficzne na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Kreślenie rozpoczynamy zakładając, że prąd I

jest dany

j6.28I

=jU

/6.37

0.1I

j0.157I

Szeregowe połączenie impedancji

Impedancja zastępcza Z





Ogólnie dla K szeregowo połączonych impedancji mamy:





zast

Obliczanie impedancji zastępczej dla połączenia szeregowego

obliczamy mając wszystkie impedancje w postaci algebraicznej

= R

+jX

Równoległe połączenie impedancji

Zastępcza impedancja Z

jest:





Ogólnie jeżeli mamy K impedancji połączonych równolegle, to:





zast

W przypadku równoległego połączenia impedancji wygodnym
jest wprowadzenie admitancji Y, którą definiujemy:

Y 

Znając impedancję w postaci algebraicznej Z=R+jX można
obliczyć admitancję Y=G+jB bez zamiany na postać wykładniczą

korzystając z zależności:









Część rzeczywistą admitancji G nazywamy przewodnością





a część urojoną B nazywamy susceptancją:







Dla obliczenia zastępczej admitancji w połączeniu równoległym

K admitancji mamy zależność:





zast

a impedancję zastępczą obliczamy z zależności:

zast









Zastosowanie metody upraszczania sieci do obliczania

obwodu prądu zmiennego

Dany jest obwód:

E=230V

=0.1+j0.2

=10-j30

=5+j10

=12-j15

=10-j10

=20+j10

Dla obliczenia impedancji Z

zastępującej równolegle połączone

impedancje Z

i Z

obliczamy:

100

400

100



























































Szeregowe połączenie impedancji , i

zastępujemy impedancją :



















otrzymujemy obwód:

Obliczamy zastępczą impedancję Z

dla równoległego połączenia

i Z

i mamy:

0404

0438

0104

0338

729

900

100





































0404

0438

0404

0438



















i obwód jest

Zastępcza impedancja obwodu Z

jest:















230

gdzie Z

=16.73e

j318.05

a prąd I jest:

318

230





Moc pozorna dostarczana do obwodu jest:

S=EI

=230·13.75e

j318.05

=3162.5e

j318.05

=2352-j2094

=3.16kVA, P

=2.35kW, Q

=-2.09kVAr

Dla obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach wykonujemy
obliczenia wracając przez kolejne etapy:

I=16.79e

j317.32

·13.75e

-j318.05

=230.9e

-j0.73

=12.34-j11.38=16.79e

j317.32

=10-j30=31.62e

j288.43

=27-j8.33=28.26e

j342.85

289

288

230





343

342

230





=10-j3.33=10.26e

j341.58

=10.26e

j341.58

·8.17e

-j343.85

=83.82e

-j2.27

=8.17e

-j343.85

=10-j10=14.14e

j315

=20+j10=22.36e

j26.57

317

315









Moce pobierane przez odbiorniki

=I·Z

·I

=(0.1+j0.2)·(13.75)

=18.9+j37.8



 

























141

281

352

1001

801

667

333

1599

532











































Całkowita moc pobrana:

pob

=2320-j2105

pob

=3.13kVA, P

pob

=2.32kW, Q

pob

=-2.1kVAr

Moc dostarczona:

=3.16kVA, P

=2.35kW, Q

=-2.09kVAr

Zadanie

Odbiornik o danych znamionowych: U

=230V, S

=1.5kVA, cosφ

=0.3

podłączono przewodem o długości 500m do sieci o napięciu 240V.

Rezystancja jednostkowa zastosowanego przewodu wynosi

9Ω/km, a indukcyjność jednostkowa 0.25mH/km.

Wyznaczyć napięcie na odbiorniku i moc pobieraną.

Przyjmujemy schemat zastępczy odbiornika w postaci:

odb

Znając moc i napięcie znamionowe odbiornika wyznaczamy

prąd znamionowy z zależności:

I 

230

1500







Znając prąd i napięcie znamionowe wyznaczamy moduł

impedancji odbiornika Z

odb

Z 



230

odb







odb

+jX

odb

co możemy przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:

odb

cosφ

odb

sinφ

odb

=35.3·0.3=10.6Ω,



odb









Obliczamy rezystancję i reaktancję przewodu zasilającego:

=0.5·9=4.5Ω, X

=314(0.5·0.25·10

-3

)=0.0393Ω

Mamy schemat zastępczy naszego układu:

zas

+jX

odb

+jX

odb

zas

240

















odb

·I

Amplituda zespolona napięcia na odbiorniku jest:

odb

=(10.6+j33.7)·6.49e

-j65.89

=35.3·6.49e

j(72.54-65.89)

odb

=229e

j6.65

Napięcie na odbiorniku wynosi 229V

Moc pobierana przez odbiornik jest:

odb

=229·6.49e

j(6.65+65.89)

odb

=1486e

j72.54

Moc pozorna S

odb

=1.49kVA, moc czynna P

odb

=447W,

moc bierna Q

odb

=1.42kVAr

Document Outline

Slide 1
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Slide 11
Slide 12
Slide 13
Slide 14
Slide 15
Slide 16
Slide 17
Slide 18
Slide 19
Slide 20
Slide 21
Slide 22
Slide 23
Slide 24
Slide 25
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Slide 30
Slide 31
Slide 32
Slide 33
Slide 34
Slide 35
Slide 36
Slide 37
Slide 38
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
Slide 43
Slide 44
Slide 45
Slide 46
Slide 47
Slide 48
Slide 49
Slide 50
Slide 51
Slide 52
Slide 53
Slide 54
Slide 55
Slide 56
Slide 57
Slide 58
Slide 59
Slide 60
Slide 61
Slide 62
Slide 63
Slide 64