Statystyka

- Opisowa analiza zjawisk
masowych

Opracowanie na podstawie :
„Statystyka” Mieczysław Sobczyk”

Magdalena Kaźmierczak
Anna Dobraś
Aneta Kaptur
Magda Przybył
Ewa Janowska
Andrzej Wowk

Miary asymetrii



Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie

tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości,

ale również to, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się

powyżej, czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy.

Problem ten wiąże się z oceną asymetrii (skośności) rozkładu.



Asymetrię rozkładu najłatwiej jest określić poprzez porównanie

dominanty, mediany i średniej arytmetycznej.



W rozkładach symetrycznych wszystkie średnie ( , D, Me)

są równe. W rozkładach asymetrycznych wymienione średnie

kształtują się na różnych poziomach.



Jeśli spełniona jest nierówność: > Me>D, to rozkład

charakteryzuje się asymetrią prawostronną.



Jeżeli zaś zachodzi nierówność: < Me<D, to mówimy o asymetrii

lewostronnej.

x

x

x

Miary asymetrii



Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik asymetrii (skośności)
określany wzorem:

W

s

= - D



Wskaźnik skośności jest bezwzględną miarą asymetrii
posiadającą miano badanej cechy. Z tego względu nie można go
używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach, w których
wartość zmiennej jest wyrażona w różnych jednostkach miary.
Wskaźnik skośności określa jedynie kierunek asymetrii
(prawostronna czy lewostronna), nie wskazując jej siły.



Miarą określającą zarówno kierunek jak i siłę asymetrii jest
współczynnik asymetrii ( As)

x

Miary asymetrii



Wartości współczynników asymetrii z reguły

zawierają się w granicach:

-1 As +1



Jedynie przy bardzo silnej asymetrii przekraczają

one nieznacznie wartość ±1.



Im większa jest wartość bezwzględna

współczynnika skośności, tym silniejsza jest

asymetria badanego rozkładu.





Miary asymetrii



Siłę i kierunek asymetrii można również mierzyc,
posługując się momentem centralnym rzędu
trzeciego.



Momentem centralnym trzeciego stopnia (r-tego
rzędu) nazywamy średnią arytmetyczną z
odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od
średniej arytmetycznej podniesionych do r-tej
potęgi.

Miary asymetrii



Miarą natężenia koncentracji (skupienia)
poszczególnych obserwacji wokół średniej jest
moment centralny czwartego rzędu.

Miary asymetrii

Miary koncentracji



Statystycznego opisu struktury zjawisk masowych
można również dokonać pod względem koncentracji.



Rozróżniamy dwa rodzaje koncentracji:



koncentrację rozumianą jako nierównomierny
podział zjawiska w zbiorowości,



Koncentrację zbiorowości wokół średniej (tzw.
kurtoza)

Miary koncentracji



Ze zjawiskiem koncentracji pierwszego rodzaju
mamy do czynienia wówczas, gdy występuje
nierównomierny rozdział łącznego funduszu cechy
( np.dochodu, produkcji) pomiędzy poszczególne
jednostki zbiorowości (np.indywidualne osoby czy
zakłady produkcyjne).

Miary koncentracji



Stosuje się zwykle dwie metody badania siły

koncentracji zjawisk: graficzną i analityczną.



Metoda graficzna- polega na wykreśleniu tzw.

wieloboku koncentracji Lorenza. W tym celu

na osi odciętych odmierza się skumulowane

częstości względne (w %),natomiast na osi

rzędnych – procentowe skumulowane częstości

względne łącznego funduszu cechy.Łącząc punkty

o tych współrzędnych otrzymujemy tzw.krzywą

Lorenza.

Miary koncentracji



W przypadku równomiernego rozdziału łącznego
funduszu cechy pomiędzy jednostki zbiorowości
wszystkie punkty leżałyby na przekątnej kwadratu
o boku 100. Dlatego przekątna kwadratu nosi
nazwę linii równomiernego rozdziału.



Powierzchnia zawarta między linią równomiernego
rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza jest
powierzchnią koncentracji.

Miary koncentracji



Stosunek pola zawartego między linią równomiernego
rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza (a) do pola
połowy kwadratu nosi nazwę współczynnika
koncentracji Lorenza:

k=

Jeśli k=0, to mamy do czynienia z brakiem

koncentracji, jeśli k=1 występuje koncentracja
zupełna.

5000

a

Podsumowanie



Statystyczna analiza struktury powinna być
przeprowadzona kompleksowo, tzn. z
jednoczesnym uwzględnieniem dużej liczby
charakterystyk możliwych do obliczenia w danym
typie rozkładu. Każda grupa charakterystyk
(miary średnie, miary zróżnicowania, asymetrii i
koncentracji) opisuje bowiem rozkład z innego
punktu widzenia.