Statystyka 

- Opisowa analiza zjawisk 
masowych

Opracowanie na podstawie :
„Statystyka” Mieczysław Sobczyk”

Magdalena Kaźmierczak
Anna Dobraś
Aneta Kaptur
Magda Przybył
Ewa Janowska
Andrzej Wowk

Miary asymetrii



Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie 

tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości, 

ale również to, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się 

powyżej, czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. 

     Problem ten wiąże się z oceną asymetrii (skośności) rozkładu.



Asymetrię rozkładu najłatwiej jest określić poprzez porównanie 

dominanty, mediany i średniej arytmetycznej.



W rozkładach symetrycznych wszystkie średnie (    , D, Me) 

są równe. W rozkładach asymetrycznych wymienione średnie 

kształtują się na różnych poziomach. 



Jeśli spełniona jest nierówność:    > Me>D, to rozkład 

charakteryzuje się asymetrią prawostronną.



Jeżeli zaś zachodzi nierówność:   < Me<D, to mówimy o asymetrii 

lewostronnej.

x

x

x

Miary asymetrii



Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik asymetrii (skośności) 
określany wzorem:

  W

s

=       - D



Wskaźnik skośności jest bezwzględną miarą asymetrii 
posiadającą miano badanej cechy. Z tego względu nie można go 
używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach, w których 
wartość zmiennej jest wyrażona w różnych jednostkach miary. 
Wskaźnik skośności określa jedynie kierunek asymetrii 
(prawostronna czy lewostronna), nie wskazując jej siły.



Miarą określającą zarówno kierunek jak i siłę asymetrii jest 
współczynnik asymetrii ( As) 

x

Miary asymetrii



Wartości współczynników asymetrii z reguły 

zawierają się w granicach: 

-1     As     +1



Jedynie przy bardzo silnej asymetrii przekraczają 

one nieznacznie wartość ±1.



Im większa jest wartość bezwzględna 

współczynnika skośności, tym silniejsza jest 

asymetria badanego rozkładu.





Miary asymetrii



Siłę i kierunek asymetrii można również mierzyc, 
posługując się momentem centralnym rzędu 
trzeciego.



Momentem centralnym trzeciego stopnia (r-tego 
rzędu) nazywamy średnią arytmetyczną z 
odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od 
średniej arytmetycznej podniesionych do r-tej 
potęgi.

Miary asymetrii



Miarą natężenia koncentracji (skupienia) 
poszczególnych obserwacji wokół średniej  jest 
moment centralny czwartego rzędu.  

Miary asymetrii

Miary koncentracji



Statystycznego opisu struktury zjawisk masowych 
można również dokonać pod względem koncentracji.



Rozróżniamy dwa rodzaje koncentracji:



 koncentrację rozumianą jako nierównomierny 
podział zjawiska w zbiorowości,



Koncentrację zbiorowości wokół średniej (tzw. 
kurtoza)

Miary koncentracji



Ze zjawiskiem koncentracji pierwszego rodzaju 
mamy do czynienia wówczas, gdy występuje 
nierównomierny rozdział łącznego funduszu cechy 
( np.dochodu, produkcji) pomiędzy poszczególne 
jednostki zbiorowości (np.indywidualne osoby czy 
zakłady produkcyjne).

Miary koncentracji



Stosuje się zwykle dwie metody badania siły 

koncentracji zjawisk: graficzną i analityczną.



Metoda graficzna- polega na wykreśleniu tzw. 

wieloboku koncentracji Lorenza. W tym celu 

na osi odciętych odmierza się skumulowane 

częstości względne (w %),natomiast na osi 

rzędnych – procentowe skumulowane częstości 

względne łącznego funduszu cechy.Łącząc punkty 

o tych współrzędnych otrzymujemy tzw.krzywą 

Lorenza.

Miary koncentracji



W przypadku równomiernego rozdziału łącznego 
funduszu cechy pomiędzy jednostki zbiorowości 
wszystkie punkty leżałyby na przekątnej kwadratu 
o boku 100. Dlatego przekątna kwadratu nosi 
nazwę linii równomiernego rozdziału.



Powierzchnia zawarta między linią równomiernego 
rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza jest 
powierzchnią koncentracji.

Miary koncentracji



Stosunek pola zawartego między linią równomiernego 
rozdziału a krzywą koncentracji Lorenza (a) do pola 
połowy kwadratu nosi nazwę współczynnika 
koncentracji Lorenza: 

 k=  

    Jeśli k=0, to mamy do czynienia z brakiem 

koncentracji, jeśli k=1 występuje koncentracja 
zupełna.

5000

a

Podsumowanie



Statystyczna analiza struktury powinna być 
przeprowadzona kompleksowo, tzn. z 
jednoczesnym uwzględnieniem dużej liczby 
charakterystyk możliwych do obliczenia w danym 
typie rozkładu. Każda grupa charakterystyk 
(miary średnie, miary zróżnicowania, asymetrii i 
koncentracji) opisuje bowiem rozkład z innego 
punktu widzenia.