Slajd
1/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty wykresu
funkcji
Wykład 10
Slajd
1/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty wykresu
funkcji
Wykład 10
Slajd
2/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica niewłaściwa funkcji w
punkcie – def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
�
=+�
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do +,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
granicę
niewłaściwą +.
0
lub
( )
.
x x
f x
�
����+�
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
�
=- �
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do - ,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
granicę
niewłaściwą - .
0
lub
( )
.
x x
f x
�
����- �
Slajd
3/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica lewostronna
niewłaściwa funkcji w punkcie –
def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S
-
punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
-
�
=+�
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S
-
i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do +,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
lewostronną granicę niewłaściwą +.
0
lub
( )
.
x x
f x
-
�
����+�
Zapis:
0
lim ( )
x x
f x
-
�
=- �
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S
-
i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do - ,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
lewostronną granicę niewłaściwą - .
0
lub
( )
.
x x
f x
-
�
����- �
Slajd
4/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica prawostronna
niewłaściwa funkcji w punkcie –
def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S
+
punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
+
�
=+�
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S
+
i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do +,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
prawostronną granicę niewłaściwą +.
0
lub
( )
.
x x
f x
+
�
����+�
Zapis:
0
lim ( )
x x
f x
+
�
=- �
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach należących do
S
+
i zbieżnego do x
0
,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny
do - ,
to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x
0
prawostronną granicę niewłaściwą - .
0
lub
( )
.
x x
f x
+
�
����- �
Slajd
5/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Wybrane granice
niewłaściwe
Granica
Uogólnienie
Zapis
symbolicz
ny
x
x
1
lim
0
x
x
1
lim
0
x
x
ln
lim
0
0
0
1
Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim
.
( )
x x
x x
u x
u x
u x
�
�
=
>
=+�
0
0
1
Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim
.
( )
x x
x x
u x
u x
u x
�
�
=
<
=- �
0
0
Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim ln ( )
.
x x
x x
u x
u x
u x
�
�
=
>
=- �
1
0
+
� �=+�
� �
� �
1
0
-
� �=- �
� �
� �
ln0
+
�
�=- �
�
�
We wszystkich warunkach występujących w kolumnie:
"Uogólnienie" przejście graniczne x x
0
może być
zastąpione dowolnym innym.
Slajd
6/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
4
lim
.
2
4
x
x
x
-
�
-
2
4
lim
2
4
x
x
x
-
�
� �
=� �
-
� �
8
0
Gdy x < 2, to mianownik jest
ujemny.
-
= -
Slajd
7/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
1
5
2
lim
.
1
x
x
x
+
�
+
-
2
1
5
2
lim
1
x
x
x
+
�
+
� �
=� �
-
� �
7
0
Gdy x > 1, to mianownik jest
dodatni.
+
= +
Slajd
8/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
1
5
2
lim
.
1
x
x
x
-
�-
+
-
2
1
5
2
lim
1
x
x
x
-
�-
+
� �
=� �
-
� �
-
3
0
Gdy x < - 1, to mianownik jest
dodatni.
+
= -
Slajd
9/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
0
4
2
lim
.
1
x
x
x
e
+
�
-
-
0
4
2
lim
1
x
x
x
e
+
�
-
� �
=� �
-
� �
-
2
0
Gdy x > 0, to
e
x
> 1, czyli mianownik
jest dodatni.
+
= -
Slajd
10/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
2
3
2
1
lim
.
2
3
x
x
x
x
+
�-
+
+ -
2
2
3
2
1
lim
2
3
x
x
x
x
+
�-
+
� �
=� �
+ -
� �
19
0
-
= -
-3
1
X
_
Gdy x > -3 (nieznacznie),
to mianownik jest
ujemny.
Slajd
11/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptota pionowa wykresu
funkcji
Jeżeli obie granice jednostronne
funkcji f w punkcie x
0
są
niewłaściwe, to prostą x = x
0
nazywamy asymptotą pionową
(obustronną lub dwustronną)
wykresu funkcji.
y =f(x)
x
0
Y
X
x = x
0
y =f(x)
x
0
Y
X
x = x
0
0
lim ( )
x x
f x
�
=+�
0
lim ( )
x x
f x
�
=- �
y =f(x)
x
0
Y
X
x = x
0
0
0
lim ( )
lim ( )
x x
x x
f x
f x
-
�
+
�
=+�
=- �
y =f(x)
x
0
Y
X
x = x
0
0
0
lim ( )
lim ( )
x x
x x
f x
f x
-
�
+
�
=- �
=+�
Slajd
12/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty pionowe
jednostronne
niewłaściwa jest wyłącznie ta pierwsza, to prostą x
= x
0
nazywamy asymptotą pionową lewostronną,
Jeżeli spośród z granic:
0
0
lim ( ), lim ( )
x x
x x
f x
f x
-
+
�
�
niewłaściwa jest wyłącznie ta druga, to prostą x = x
0
nazywamy asymptotą pionową prawostronną.
Slajd
13/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Uwaga praktyczna
Funkcja posiada asymptotę pionową x = x
0
(jednostronną lub obustronną) wtedy, gdy
przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji
w punkcie jest niewłaściwa.
W przypadku funkcji elementarnej sytuacja
taka może się zdarzyć, jedynie w punkcie x
0
nie
należącym do dziedziny, w którego sąsiedztwie
funkcja jest określona.
Slajd
14/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:
2
1
( )
.
(
3)
f x
x
=
-
D = R \ {3}
2
3
1
lim
(
3)
x
x
-
�
� �
=� �
-
� �
1
0
Mianownik jest dodatni (w
zbiorze D).
+
= +
2
3
1
lim
(
3)
x
x
+
�
� �
=� �
-
� �
1
0
+
= +
Ponieważ obie granice w punkcie są
niewłaściwe, to prosta x = 3 jest
asymptotą pionową obustronną.
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x = 3
Slajd
15/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:
2
( )
.
2
x
f x
x
=
-
D = R \ {2}
2
2
lim
2
x
x
x
-
�
� �
=� �
-
� �
4
0
Dla x < 2 mianownik jest
ujemny.
-
= -
Ponieważ obie granice w punkcie są
niewłaściwe, to prosta x = 2 jest
asymptotą pionową obustronną.
2
2
lim
2
x
x
x
+
�
� �
=� �
-
� �
4
0
Dla x > 2 mianownik jest
dodatni.
+
= +
-
1
1
2
3
4
5
-
8
-
4
4
8
1
2
1
6
2
0
x = 2
Slajd
16/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:
2
2
( )
.
1
x
x
f x
x
+ -
=
-
D = R \ {1}
2
1
2
lim
1
x
x
x
x
-
�
+ -
� �
=� �
-
� �
0
0
symbol
nieoznaczony
1
(
1)(
2)
lim
1
x
x
x
x
-
�
-
+
=
-
1
lim (
2) 3
x
x
-
�
=
+ =
Podobnie
2
1
2
lim
3.
1
x
x
x
x
+
�
+ -
=
-
Ponieważ w punkcie istnieje granica
właściwa, to asymptoty pionowej nie
ma.
-1
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
4
5
6
Slajd
17/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica właściwa funkcji w plus
nieskończoności – def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a; + ).
Zapisujemy wtedy
lim ( )
.
x
f x
g
�+�
=
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do tego przedziału i zbieżnego do
+
, ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do
g , to o funkcji mówimy, że posiada w plus
nieskończoności
granicę g.
Slajd
18/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica właściwa funkcji w minus
nieskończoności – def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-
; a).
Zapisujemy wtedy
lim ( )
.
x
f x
g
�- �
=
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do tego przedziału i zbieżnego do -
, ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do g ,
to o funkcji mówimy, że posiada w minus
nieskończoności
granicę g.
Slajd
19/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Wybrane granice właściwe w
punktach niewłaściwych
Granica
Uogólnienie
Zapis
symbolicz
ny
1
lim
0
x
x
�+�
=
1
lim
0
x
x
�- �
=
lim
0
x
x
e
�- �
=
...
...
1
Jeżeli lim ( )
, to lim
0.
( )
x
x
u x
u x
�
�
=+�
=
...
...
1
Jeżeli lim ( )
, to lim
0.
( )
x
x
u x
u x
�
�
=- �
=
( )
...
...
Jeżeli lim ( )
, to lim
0.
u x
x
x
u x
e
�
�
=- �
=
1
0
� �=
� �
+�
� �
1
0
� �=
� �
- �
� �
0
e
- �
� �=
� �
Zapis x … w powyższej tabelce oznacza dowolne z
przejść granicznych:
2
arctg
lim
x
x
2
arctg
lim
x
x
...
...
Jeżeli lim ( )
, to limarctg ( )
.
2
x
x
u x
u x
p
�
�
=+�
=
...
...
Jeżeli lim ( )
, to limarctg ( )
.
2
x
x
u x
u x
p
�
�
=- �
=-
2
)
(
arctg
]
[
2
)
(
arctg
]
[
0
0
0
,
,
,
,
.
x
x x
x
x
x
x
x
-
+
�
�
�
� - � � +�
Slajd
20/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Ważne granice
1
1
lim 1
oraz
lim 1
.
x
x
x
x
e
e
x
x
�- �
�+�
�
�
�
�
+
=
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
1
( )
1
x
f x
x
�
�
= +
�
�
�
�
y e
=
Slajd
21/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
5
lim
.
4
x
x
�+�
+
2
5
lim
4
x
x
�+�
� �
=� �
+
� �
5
+
= 0
Slajd
22/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
-
4
lim
.
x
x
e
+
�- �
[
]
2
-
4
lim
x
x
e
+
�- �
=
e
-
= 0.
Slajd
23/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
4
lim arctg
.
2
x
x
x
x
�+�
+
+
2
4
lim arctg
arctg
2
x
x
x
x
�+�
+
+�
�
�
=�
�
+
+�
�
�
Symbol
nieoznaczony
2
4
lim arctg
1
x
x
x
�+�
+
=
=
+
arctg
arctg(
)
1
2
[
] [
]
p
+�
=
=
+� =
Slajd
24/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
4
lim arctg
.
2
x
x
x
x
�- �
+
+
2
4
lim arctg
arctg
2
x
x
x
x
�- �
+
+�
�
�
=�
�
+
- �
�
�
Symbol
nieoznaczony
2
4
lim arctg
1
x
x
x
�- �
+
=
=
+
arctg
arctg(- )
1
2
[
] [
]
p
- �
=
=
� =-
Slajd
25/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptota pozioma wykresu
funkcji
Jeżeli obie granice funkcji f w punktach
niewłaściwych są równe liczbie g, to prostą y = g
nazywamy asymptotą poziomą (obustronną lub
dwustronną) wykresu funkcji.
y =f(x)
Y
X
y = g
lim ( )
, lim ( )
.
x
x
f x
g
f x
g
�+�
�- �
=
=
Slajd
26/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty poziome
jednostronne
równa pewnej liczbie g jest wyłącznie ta pierwsza,
to prostą y = g
nazywamy asymptotą poziomą
lewostronną,
Jeżeli spośród z granic:
lim ( ), lim ( )
x
x
f x
f x
�- �
�+�
równa pewnej liczbie h jest wyłącznie ta druga, to
prostą y = h
nazywamy asymptotą poziomą
prawostronną,
Slajd
27/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty poziome
jednostronne
lim ( )
, lim ( )
.
x
x
f x
g
f x
h
�- �
�+�
=
=
Asymptoty poziome jednostronne mogą być
różne:
y =f(x)
Y
X
y = g
y = h
lub może istnieć tylko jedna:
lim ( )
x
f x
g
�- �
=
y =f(x)
Y
X
y = g
lim ( )
x
f x
h
�+�
=
y =f(x)
Y
X
y = h
Slajd
28/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:
2
2
3
1
( )
.
4
x
x
f x
x
-
+
=
+
2
2
3
1
lim
4
x
x
x
x
�+�
-
+
�
� �
=� �
�
+
� �
D = R
3
1
2
4
2
1
lim
1
x
x
x
x
�+�
- +
=
+
= 1
symbol
nieoznaczony
2
2
3
1
lim
4
x
x
x
x
�- �
-
+
�
� �
=� �
�
+
� �
3
1
2
4
2
1
lim
1
x
x
x
x
�- �
- +
=
+
= 1
symbol
nieoznaczony
-12
-8
-4
4
8
12
-1
1
2
y = 1
2
2
3
1
( )
4
x
x
f x
x
-
+
=
+
Ponieważ w
punktach
niewłaściwych
istnieje ta sama
granica właściwa, to
wykres funkcji
posiada asymptotę
poziomą
y = 1
.
Slajd
29/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:
10 3
10 2
( )
.
x
x
f x
e
+
-
=
10 3
10 2
lim
[ ]
x
x
x
e
e
+
�
-
�
�+�
=
3
10
2
10
lim
x
x
x
e
+
-
�+�
=
symbol nieoznaczony w
wykładniku
e
=
Identycznie, gdy x -
.
10 3
10 2
lim
x
x
x
e
e
+
-
�- �
=
-12
-8
-4
4
8
12
-1
1
2
3
4
X
Y
y =
e
10 3
10 2
( )
.
x
x
f x
e
+
-
=
D = R \
{
1
/
5
}
Ponieważ w punktach niewłaściwych istnieje ta sama
granica właściwa, to wykres funkcji posiada asymptotę
poziomą
y = e
.
Slajd
30/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:
( )
arctg(2
5).
f x
x
p
= +
+
-12
-8
-4
4
8
12
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
lim[
arctg(2
5)]
x
x
p
�+�
+
+
=
3
2 2
p
p
p
= + =
lim[
arctg(2
5)]
x
x
p
�- �
+
+
=
2
2
p
p
p
= -
=
( )
arctg(2
5)
f x
x
p
= +
+
2
y
p
=
3
2
y
p
=
Ponieważ w punktach niewłaściwych istnieje różne granice
właściwe, to wykres funkcji posiada asymptotę poziomą
lewostronną
y =
/
2
oraz asymptotę poziomą
prawostronną
y =
3
/
2
.
D = R
arctg(
)
[
]
p +
+�
arctg(
)
[
]
p +
- �
Slajd
31/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica niewłaściwa funkcji w plus
nieskończoności – def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a; + ).
Zapisujemy wtedy
(
)
lim ( )
,
lim ( )
.
x
x
f x
f x
�+�
�+�
=+�
=- �
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do tego przedziału i zbieżnego do +,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do + (-
), to o funkcji mówimy, że posiada w plus
nieskończoności
granicę niewłaściwą + (- ).
Slajd
32/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Granica niewłaściwa funkcji w
minus nieskończoności – def.
Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (- ; a).
Zapisujemy wtedy
(
)
lim ( )
,
lim ( )
.
x
x
f x
f x
�- �
�- �
=+�
=- �
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do tego przedziału i zbieżnego do - ,
ciąg wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do + (-
), to o funkcji mówimy, że posiada w minus
nieskończoności
granicę niewłaściwą + (- ).
Slajd
33/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Wybrane granice niewłaściwe w
punktach niewłaściwych
Granica
Uogólnienie
Zapis
symbolicz
ny
lim
x
x
e
�+�
=+�
lim ln
x
x
�+�
=+�
( )
...
...
Jeżeli lim ( )
, to lim
.
u x
x
x
u x
e
�
�
=+�
=+�
...
...
Jeżeli lim ( )
, to limln ( )
.
x
x
u x
u x
�
�
=+�
=+�
[ ]
e
+�
=+�
ln(
)
[
]
+� =+�
Zapis x … w powyższej tabelce oznacza dowolne
z przejść granicznych:
0
0
0
,
,
,
,
.
x
x x
x x
x x
x
-
+
�
�
�
� - � � +�
Slajd
34/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
lim
.
5
x
x
x
x
�+�
+
+
symbol nieoznaczony
2
lim
5
x
x
x
x
�+�
+
�
� �
=� �
+
�
� �
1
lim
5
1
x
x
x
x
�+�
+
=
+
1
+�
� �
=
=+�
� �
� �
Slajd
35/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
2
4
1
lim
.
x
x
x
x
e
+
+
�+�
Symbol nieoznaczony w
wykładniku
2
4
1
lim
[ ]
x
x
x
x
e
e
+
�
+
�
�+�
=
4 1
1
1
lim
x
x
x
e
+
+
�+�
=
1
[ ] [ ]
e
e
+�
+�
=
=
=+�
Slajd
36/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Obliczy
ć:
lim ln(
4 ).
x
x
e
x
�+�
+
lim ln(
4 )
ln(
)
[
]
x
x
e
x
e
+�
�+�
+
=
+�
ln(
)
[
]
=
+�+�
ln(
)
[
]
=
+�
=+�
=+�
Slajd
37/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptota ukośna
lewostronna
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-
; a).
lim[ ( ) (
)] 0.
x
f x
mx n
�- �
-
+
=
Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy
asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji
y = f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
lim[ ( ) (
)] 0
x
f x
mx n
�- �
-
+
=
y =f(x)
Y
X
y = mx +
n
Slajd
38/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptota ukośna
prawostronna
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a;
+ ).
lim[ ( ) (
)] 0.
x
f x
mx n
�+�
-
+
=
Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy
asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji
y = f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
lim[ ( ) (
)] 0
x
f x
mx n
�+�
-
+
=
y =f(x)
Y
X
y = mx + n
Slajd
39/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptota ukośna
obustronna
lim[ ( ) (
)] 0
x
f x
mx n
�+�
-
+
=
Jeżeli prosta y = mx + n jest jednocześnie
asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną
krzywej krzywej.y = f(x), to nazywamy ją asymptotą
ukośną (obustronną).
lim[ ( ) (
)] 0
x
f x
mx n
�- �
-
+
=
y =f(x)
Y
X
y = mx +
n
Slajd
40/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Asymptoty ukośne a asymptoty
poziome
Uwaga.
Asymptoty poziome można traktować jako
szczególny przypadek asymptot ukośnych (gdy m =
0).
Slajd
41/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Współczynniki asymptoty
ukośnej - wzory
Jeżeli istnieją skończone granice:
( )
lim
oraz
lim( ( )
),
x
x
f x
m
n
f x
mx
x
�- �
�- �
=
=
-
to prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną
lewostronną wykresu funkcji y = f(x).
Slajd
42/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Współczynniki asymptoty
ukośnej - wzory
Jeżeli istnieją skończone granice:
( )
lim
oraz
lim( ( )
),
x
x
f x
m
n
f x
mx
x
�+�
�+�
=
=
-
to prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną
prawostronną wykresu funkcji y = f(x).
Slajd
43/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Istotna uwaga
Wykres funkcji może mieć:
co najwyżej jedną asymptotę ukośną
lewostronną (wliczając w to asymptotę poziomą
lewostronną)
oraz
co najwyżej jedną prawostronną (wliczając w to
poziomą prawostronną).
Slajd
44/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:
3
2
6
4
( )
.
1
x
x
f x
x
-
+
=
+
Badamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej
lewostronnej:
3
3
( )
6
4
lim
lim
[ ]
x
x
f x
x
x
m
x
x x
�- �
�- �
-
+
�
=
=
=
�
+
2
3
6
4
1
lim
1
1
1
x
x
x
x
�- �
-
+
=
=
+
3
2
6
4
lim[ ( )
] lim(
)
1
x
x
x
x
n
f x mx
x
x
�- �
�- �
-
+
=
-
=
-
+
3
3
2
6
4
lim
1
x
x
x
x x
x
�- �
-
+ - -
=
=
+
2
7
4
lim
[ ]
1
x
x
x
�- �
-
+
�
=
=
�
+
2
2
7
1
lim
0
1
1
x
x x
x
�- �
-
+
=
=
+
D = R
Slajd
45/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:
3
2
6
4
( )
.
1
x
x
f x
x
-
+
=
+
Poszukując asymptoty ukośnej prawostronnej
mamy:
3
3
( )
6
4
lim
lim
[ ]
x
x
f x
x
x
m
x
x x
�+�
�+�
-
+
�
=
=
=
�
+
2
3
6
4
1
lim
1
1
1
x
x
x
x
�+�
-
+
=
=
+
3
2
6
4
lim[ ( )
] lim(
)
1
x
x
x
x
n
f x mx
x
x
�+�
�+�
-
+
=
-
=
-
+
3
3
2
6
4
lim
1
x
x
x
x x
x
�+�
-
+ - -
=
=
+
2
7
4
lim
[ ]
1
x
x
x
�+�
-
+
�
=
=
�
+
2
2
7
1
lim
0
1
1
x
x x
x
�+�
-
+
=
=
+
m = 1, n
= 0
Prosta y = x jest asymptotą ukośną obustronną
badanej funkcji.
D = R
Slajd
46/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:
( )
arctg .
f x
x
x
= +
Badamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej
lewostronnej:
( )
arctg
lim
lim
x
x
f x
x
x
m
x
x
�- �
�- �
+
=
=
arctg
lim(1
)
x
x
x
�- �
=
+
lim[ ( )
] lim[(
arctg )
]
x
x
n
f x mx
x
x
x
�- �
�- �
=
-
=
+
-
=
lim arctg
arctg(
)
2
[
]
x
x
p
�- �
=
=
- � =-
D = R
2
1
1 0
1
[
] [ ]
p
-
= +
= + =
- �
Slajd
47/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji
Przykład
Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:
( )
arctg .
f x
x
x
= +
Poszukując asymptoty ukośnej prawostronnej
mamy:
( )
arctg
lim
lim
x
x
f x
x
x
m
x
x
�+�
�+�
+
=
=
arctg
lim(1
)
x
x
x
�+�
=
+
lim[ ( )
] lim[(
arctg )
]
x
x
n
f x mx
x
x
x
�+�
�+�
=
-
=
+
-
=
lim arctg
arctg(
)
2
[
]
x
x
p
�+�
=
=
+� =
D = R
2
1
1 0
1
[
] [ ]
p
= +
= + =
+�
Wykres funkcji posiada asymptotę ukośną
prawostronną i lewostronną
Proste te są do siebie równoległe, gdyż mają ten sam
współczynnik kierunkowy.
2
x
y
.
2
y x
p
= -
Slajd
48/ 48
T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji