Slajd

1/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptoty wykresu

funkcji

Wykład 10

Slajd

2/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w

punkcie – def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

�

=+�

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do +,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

granicę

niewłaściwą +.

0

lub

( )

.

x x

f x

�

����+�

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

�

=- �

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do - ,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

granicę

niewłaściwą - .

0

lub

( )

.

x x

f x

�

����- �

Slajd

3/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica lewostronna

niewłaściwa funkcji w punkcie –

def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S

-

punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

-

�

=+�

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S

-

i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do +,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

lewostronną granicę niewłaściwą +.

0

lub

( )

.

x x

f x

-

�

����+�

Zapis:

0

lim ( )

x x

f x

-

�

=- �

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S

-

i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do - ,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

lewostronną granicę niewłaściwą - .

0

lub

( )

.

x x

f x

-

�

����- �

Slajd

4/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica prawostronna

niewłaściwa funkcji w punkcie –

def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S

+

punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

+

�

=+�

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S

+

i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do +,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

prawostronną granicę niewłaściwą +.

0

lub

( )

.

x x

f x

+

�

����+�

Zapis:

0

lim ( )

x x

f x

+

�

=- �

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach należących do

S

+

i  zbieżnego do x

0

,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny

do - ,

to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x

0

prawostronną granicę niewłaściwą - .

0

lub

( )

.

x x

f x

+

�

����- �

Slajd

5/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Wybrane granice

niewłaściwe

Granica

Uogólnienie

Zapis

symbolicz

ny









x

x

1

lim

0









x

x

1

lim

0









x

x

ln

lim

0

0

0

1

Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim

.

( )

x x

x x

u x

u x

u x

�

�

=

>

=+�

0

0

1

Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim

.

( )

x x

x x

u x

u x

u x

�

�

=

<

=- �

0

0

Jeżeli lim ( ) 0 i ( ) 0, to lim ln ( )

.

x x

x x

u x

u x

u x

�

�

=

>

=- �

1

0

+

� �=+�

� �

� �

1

0

-

� �=- �

� �

� �

ln0

+

�

�=- �

�

�

We wszystkich warunkach występujących w kolumnie:
"Uogólnienie" przejście graniczne x  x

0

może być

zastąpione dowolnym innym.

Slajd

6/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

4

lim

.

2

4

x

x

x

-

�

-

2

4

lim

2

4

x

x

x

-

�

� �

=� �

-

� �

8
0

Gdy x < 2, to mianownik jest

ujemny.

-

= - 

Slajd

7/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

1

5

2

lim

.

1

x

x

x

+

�

+

-

2

1

5

2

lim

1

x

x

x

+

�

+

� �

=� �

-

� �

7
0

Gdy x > 1, to mianownik jest

dodatni.

+

= + 

Slajd

8/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

1

5

2

lim

.

1

x

x

x

-

�-

+

-

2

1

5

2

lim

1

x

x

x

-

�-

+

� �

=� �

-

� �

-
3

0

Gdy x < - 1, to mianownik jest

dodatni.

+

= - 

Slajd

9/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

0

4

2

lim

.

1

x

x

x

e

+

�

-

-

0

4

2

lim

1

x

x

x

e

+

�

-

� �

=� �

-

� �

-
2

0

Gdy x > 0, to

e

x

> 1, czyli mianownik

jest dodatni.

+

= - 

Slajd

10/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

2

3

2

1

lim

.

2

3

x

x

x

x

+

�-

+

+ -

2

2

3

2

1

lim

2

3

x

x

x

x

+

�-

+

� �

=� �

+ -

� �

19

0

-

= - 

-3

1

X

_

Gdy x > -3 (nieznacznie),

to mianownik jest

ujemny.

Slajd

11/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota pionowa wykresu

funkcji

Jeżeli obie granice jednostronne
funkcji f w punkcie x

0

są

niewłaściwe, to prostą x = x

0

nazywamy asymptotą pionową
(obustronną lub dwustronną)
wykresu funkcji.

y =f(x)

x

0

Y

X

x = x

0

y =f(x)

x

0

Y

X

x = x

0

0

lim ( )

x x

f x

�

=+�

0

lim ( )

x x

f x

�

=- �

y =f(x)

x

0

Y

X

x = x

0

0

0

lim ( )

lim ( )

x x

x x

f x

f x

-

�

+

�

=+�

=- �

y =f(x)

x

0

Y

X

x = x

0

0

0

lim ( )

lim ( )

x x

x x

f x

f x

-

�

+

�

=- �

=+�

Slajd

12/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptoty pionowe

jednostronne

niewłaściwa jest wyłącznie ta pierwsza, to prostą x
= x

0

nazywamy asymptotą pionową lewostronną,

Jeżeli spośród z granic:

0

0

lim ( ), lim ( )

x x

x x

f x

f x

-

+

�

�

niewłaściwa jest wyłącznie ta druga, to prostą x = x

0

nazywamy asymptotą pionową prawostronną.

Slajd

13/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Uwaga praktyczna

Funkcja posiada asymptotę pionową x = x

0

(jednostronną lub obustronną) wtedy, gdy
przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji
w punkcie jest niewłaściwa.

W przypadku funkcji elementarnej sytuacja
taka może się zdarzyć, jedynie w punkcie x

0

nie

należącym do dziedziny, w którego sąsiedztwie
funkcja jest określona.

Slajd

14/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:

2

1

( )

.

(

3)

f x

x

=

-

D = R \ {3}

2

3

1

lim

(

3)

x

x

-

�

� �

=� �

-

� �

1
0

Mianownik jest dodatni (w

zbiorze D).

+

= + 

2

3

1

lim

(

3)

x

x

+

�

� �

=� �

-

� �

1
0

+

= + 

Ponieważ obie granice w punkcie są
niewłaściwe, to prosta x = 3 jest
asymptotą pionową obustronną.

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x = 3

Slajd

15/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:

2

( )

.

2

x

f x

x

=

-

D = R \ {2}

2

2

lim

2

x

x

x

-

�

� �

=� �

-

� �

4
0

Dla x < 2 mianownik jest

ujemny.

-

= - 

Ponieważ obie granice w punkcie są
niewłaściwe, to prosta x = 2 jest
asymptotą pionową obustronną.

2

2

lim

2

x

x

x

+

�

� �

=� �

-

� �

4
0

Dla x > 2 mianownik jest

dodatni.

+

= + 

-

1

1

2

3

4

5

-

8

-

4

4

8

1
2

1
6

2
0

x = 2

Slajd

16/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty pionowe wykresu
funkcji:

2

2

( )

.

1

x

x

f x

x

+ -

=

-

D = R \ {1}

2

1

2

lim

1

x

x

x

x

-

�

+ -

� �

=� �

-

� �

0
0

symbol
nieoznaczony

1

(

1)(

2)

lim

1

x

x

x

x

-

�

-

+

=

-

1

lim (

2) 3

x

x

-

�

=

+ =

Podobnie

2

1

2

lim

3.

1

x

x

x

x

+

�

+ -

=

-

Ponieważ w punkcie istnieje granica
właściwa, to asymptoty pionowej nie
ma.

-1

1

2

3

4

5

-1

1

2

3

4

5

6

Slajd

17/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica właściwa funkcji w plus

nieskończoności – def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a; + ).

Zapisujemy wtedy

lim ( )

.

x

f x

g

�+�

=

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do tego przedziału i  zbieżnego do
+



, ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do

g , to o funkcji mówimy, że posiada w plus
nieskończoności

granicę g.

Slajd

18/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica właściwa funkcji w minus

nieskończoności – def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-
; a).

Zapisujemy wtedy

lim ( )

.

x

f x

g

�- �

=

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do tego przedziału i  zbieżnego do -
 , ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do g ,

to o funkcji mówimy, że posiada w minus
nieskończoności

granicę g.

Slajd

19/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Wybrane granice właściwe w

punktach niewłaściwych

Granica

Uogólnienie

Zapis

symbolicz

ny

1

lim

0

x

x

�+�

=

1

lim

0

x

x

�- �

=

lim

0

x

x

e

�- �

=

...

...

1

Jeżeli lim ( )

, to lim

0.

( )

x

x

u x

u x

�

�

=+�

=

...

...

1

Jeżeli lim ( )

, to lim

0.

( )

x

x

u x

u x

�

�

=- �

=

( )

...

...

Jeżeli lim ( )

, to lim

0.

u x

x

x

u x

e

�

�

=- �

=

1

0

� �=

� �

+�

� �

1

0

� �=

� �

- �

� �

0

e

- �

� �=

� �

Zapis x  … w powyższej tabelce oznacza dowolne z

przejść granicznych:

2

arctg

lim









x

x

2

arctg

lim











x

x

...

...

Jeżeli lim ( )

, to limarctg ( )

.

2

x

x

u x

u x

p

�

�

=+�

=

...

...

Jeżeli lim ( )

, to limarctg ( )

.

2

x

x

u x

u x

p

�

�

=- �

=-

2

)

(

arctg

]

[







2

)

(

arctg

]

[









0

0

0

,

,

,

,

.

x

x x

x

x

x

x

x

-

+

�

�

�

� - � � +�

Slajd

20/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Ważne granice

1

1

lim 1

oraz

lim 1

.

x

x

x

x

e

e

x

x

�- �

�+�

�

�

�

�

+

=

+

=

�

�

�

�

�

�

�

�

1

( )

1

x

f x

x

�

�

= +

�

�

�

�

y e

=

Slajd

21/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

5

lim

.

4

x

x

�+�

+

2

5

lim

4

x

x

�+�

� �

=� �

+

� �

5

+

= 0

Slajd

22/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

-

4

lim

.

x

x

e

+

�- �

[

]

2

-

4

lim

x

x

e

+

�- �

=

e

-

= 0.

Slajd

23/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

4

lim arctg

.

2

x

x

x

x

�+�

+

+

2

4

lim arctg

arctg

2

x

x

x

x

�+�

+

+�

�

�

=�

�

+

+�

�

�

Symbol

nieoznaczony

2

4

lim arctg

1

x

x

x

�+�

+

=

=

+

arctg

arctg(

)

1

2

[

] [

]

p

+�

=

=

+� =

Slajd

24/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

4

lim arctg

.

2

x

x

x

x

�- �

+

+

2

4

lim arctg

arctg

2

x

x

x

x

�- �

+

+�

�

�

=�

�

+

- �

�

�

Symbol

nieoznaczony

2

4

lim arctg

1

x

x

x

�- �

+

=

=

+

arctg

arctg(- )

1

2

[

] [

]

p

- �

=

=

� =-

Slajd

25/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota pozioma wykresu

funkcji

Jeżeli obie granice funkcji f w punktach
niewłaściwych są równe liczbie g, to prostą y = g
nazywamy asymptotą poziomą (obustronną lub
dwustronną) wykresu funkcji.

y =f(x)

Y

X

y = g

lim ( )

, lim ( )

.

x

x

f x

g

f x

g

�+�

�- �

=

=

Slajd

26/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptoty poziome

jednostronne

równa pewnej liczbie g jest wyłącznie ta pierwsza,
to prostą y = g

nazywamy asymptotą poziomą

lewostronną,

Jeżeli spośród z granic:

lim ( ), lim ( )

x

x

f x

f x

�- �

�+�

równa pewnej liczbie h jest wyłącznie ta druga, to
prostą y = h

nazywamy asymptotą poziomą

prawostronną,

Slajd

27/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptoty poziome

jednostronne

lim ( )

, lim ( )

.

x

x

f x

g

f x

h

�- �

�+�

=

=

Asymptoty poziome jednostronne mogą być
różne:

y =f(x)

Y

X

y = g

y = h

lub może istnieć tylko jedna:

lim ( )

x

f x

g

�- �

=

y =f(x)

Y

X

y = g

lim ( )

x

f x

h

�+�

=

y =f(x)

Y

X

y = h

Slajd

28/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:

2

2

3

1

( )

.

4

x

x

f x

x

-

+

=

+

2

2

3

1

lim

4

x

x

x

x

�+�

-

+

�

� �

=� �

�

+

� �

D = R

3

1

2

4

2

1

lim

1

x

x

x

x

�+�

- +

=

+

= 1

symbol
nieoznaczony

2

2

3

1

lim

4

x

x

x

x

�- �

-

+

�

� �

=� �

�

+

� �

3

1

2

4

2

1

lim

1

x

x

x

x

�- �

- +

=

+

= 1

symbol
nieoznaczony

-12

-8

-4

4

8

12

-1

1

2

y = 1

2

2

3

1

( )

4

x

x

f x

x

-

+

=

+

Ponieważ w
punktach
niewłaściwych
istnieje ta sama
granica właściwa, to
wykres funkcji
posiada asymptotę
poziomą

y = 1

.

Slajd

29/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:

10 3
10 2

( )

.

x
x

f x

e

+
-

=

10 3
10 2

lim

[ ]

x

x

x

e

e

+

�

-

�

�+�

=

3

10

2

10

lim

x

x

x

e

+

-

�+�

=

symbol nieoznaczony w
wykładniku

e

=

Identycznie, gdy x  -

.

10 3

10 2

lim

x

x

x

e

e

+

-

�- �

=

-12

-8

-4

4

8

12

-1

1

2

3

4

X

Y

y =
e

10 3
10 2

( )

.

x
x

f x

e

+
-

=

D = R \
{

1

/

5

}

Ponieważ w punktach niewłaściwych istnieje ta sama
granica właściwa, to wykres funkcji posiada asymptotę
poziomą

y = e

.

Slajd

30/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome
funkcji:

( )

arctg(2

5).

f x

x

p

= +

+

-12

-8

-4

4

8

12

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

lim[

arctg(2

5)]

x

x

p

�+�

+

+

=

3

2 2

p

p

p

= + =

lim[

arctg(2

5)]

x

x

p

�- �

+

+

=

2

2

p

p

p

= -

=

( )

arctg(2

5)

f x

x

p

= +

+

2

y

p

=

3
2

y

p

=

Ponieważ w punktach niewłaściwych istnieje różne granice
właściwe, to wykres funkcji posiada asymptotę poziomą
lewostronną

y =



/

2

oraz asymptotę poziomą

prawostronną

y =

3



/

2

.

D = R

arctg(

)

[

]

p +

+�

arctg(

)

[

]

p +

- �

Slajd

31/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w plus

nieskończoności – def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a; + ).

Zapisujemy wtedy

(

)

lim ( )

,

lim ( )

.

x

x

f x

f x

�+�

�+�

=+�

=- �

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do tego przedziału i  zbieżnego do +,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do + (-

), to o funkcji mówimy, że posiada w plus

nieskończoności

granicę niewłaściwą + (-  ).

Slajd

32/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Granica niewłaściwa funkcji w

minus nieskończoności – def.

Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (- ; a).

Zapisujemy wtedy

(

)

lim ( )

,

lim ( )

.

x

x

f x

f x

�- �

�- �

=+�

=- �

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do tego przedziału i  zbieżnego do - ,

ciąg wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do + (-

), to o funkcji mówimy, że posiada w minus

nieskończoności

granicę niewłaściwą + (-  ).

Slajd

33/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Wybrane granice niewłaściwe w

punktach niewłaściwych

Granica

Uogólnienie

Zapis

symbolicz

ny

lim

x

x

e

�+�

=+�

lim ln

x

x

�+�

=+�

( )

...

...

Jeżeli lim ( )

, to lim

.

u x

x

x

u x

e

�

�

=+�

=+�

...

...

Jeżeli lim ( )

, to limln ( )

.

x

x

u x

u x

�

�

=+�

=+�

[ ]

e

+�

=+�

ln(

)

[

]

+� =+�

Zapis x  … w powyższej tabelce oznacza dowolne

z przejść granicznych:

0

0

0

,

,

,

,

.

x

x x

x x

x x

x

-

+

�

�

�

� - � � +�

Slajd

34/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

lim

.

5

x

x

x

x

�+�

+

+

symbol nieoznaczony

2

lim

5

x

x

x

x

�+�

+

�

� �

=� �

+

�

� �

1

lim

5

1

x

x

x

x

�+�

+

=

+

1

+�

� �

=

=+�

� �

� �

Slajd

35/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

2

4

1

lim

.

x

x

x

x

e

+

+

�+�

Symbol nieoznaczony w

wykładniku

2

4

1

lim

[ ]

x

x

x

x

e

e

+

�

+

�

�+�

=

4 1

1

1

lim

x

x

x

e

+

+

�+�

=

1

[ ] [ ]

e

e

+�

+�

=

=

=+�

Slajd

36/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Obliczy
ć:

lim ln(

4 ).

x

x

e

x

�+�

+

lim ln(

4 )

ln(

)

[

]

x

x

e

x

e

+�

�+�

+

=

+�

ln(

)

[

]

=

+�+�

ln(

)

[

]

=

+�

=+�

=+�

Slajd

37/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota ukośna

lewostronna

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (-
; a).

lim[ ( ) (

)] 0.

x

f x

mx n

�- �

-

+

=

Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy
asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji
y = f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy

lim[ ( ) (

)] 0

x

f x

mx n

�- �

-

+

=

y =f(x)

Y

X

y = mx +
n

Slajd

38/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota ukośna

prawostronna

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a;
+ ).

lim[ ( ) (

)] 0.

x

f x

mx n

�+�

-

+

=

Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy
asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji
y = f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy

lim[ ( ) (

)] 0

x

f x

mx n

�+�

-

+

=

y =f(x)

Y

X

y = mx + n

Slajd

39/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota ukośna

obustronna

lim[ ( ) (

)] 0

x

f x

mx n

�+�

-

+

=

Jeżeli prosta y = mx + n jest jednocześnie
asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną
krzywej krzywej.y = f(x), to nazywamy ją asymptotą
ukośną (obustronną).

lim[ ( ) (

)] 0

x

f x

mx n

�- �

-

+

=

y =f(x)

Y

X

y = mx +
n

Slajd

40/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Asymptoty ukośne a asymptoty

poziome

Uwaga.

Asymptoty poziome można traktować jako
szczególny przypadek asymptot ukośnych (gdy m =
0).

Slajd

41/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Współczynniki asymptoty

ukośnej - wzory

Jeżeli istnieją skończone granice:

( )

lim

oraz

lim( ( )

),

x

x

f x

m

n

f x

mx

x

�- �

�- �

=

=

-

to prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną
lewostronną wykresu funkcji y = f(x).

Slajd

42/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Współczynniki asymptoty

ukośnej - wzory

Jeżeli istnieją skończone granice:

( )

lim

oraz

lim( ( )

),

x

x

f x

m

n

f x

mx

x

�+�

�+�

=

=

-

to prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną
prawostronną wykresu funkcji y = f(x).

Slajd

43/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Istotna uwaga

Wykres funkcji może mieć:

co najwyżej jedną asymptotę ukośną

lewostronną (wliczając w to asymptotę poziomą
lewostronną)

oraz

co najwyżej jedną prawostronną (wliczając w to
poziomą prawostronną).

Slajd

44/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:

3

2

6

4

( )

.

1

x

x

f x

x

-

+

=

+

Badamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej
lewostronnej:

3

3

( )

6

4

lim

lim

[ ]

x

x

f x

x

x

m

x

x x

�- �

�- �

-

+

�

=

=

=

�

+

2

3

6

4

1

lim

1

1

1

x

x

x

x

�- �

-

+

=

=

+

3

2

6

4

lim[ ( )

] lim(

)

1

x

x

x

x

n

f x mx

x

x

�- �

�- �

-

+

=

-

=

-

+

3

3

2

6

4

lim

1

x

x

x

x x

x

�- �

-

+ - -

=

=

+

2

7

4

lim

[ ]

1

x

x

x

�- �

-

+

�

=

=

�

+

2

2

7

1

lim

0

1

1

x

x x

x

�- �

-

+

=

=

+

D = R

Slajd

45/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:

3

2

6

4

( )

.

1

x

x

f x

x

-

+

=

+

Poszukując asymptoty ukośnej prawostronnej
mamy:

3

3

( )

6

4

lim

lim

[ ]

x

x

f x

x

x

m

x

x x

�+�

�+�

-

+

�

=

=

=

�

+

2

3

6

4

1

lim

1

1

1

x

x

x

x

�+�

-

+

=

=

+

3

2

6

4

lim[ ( )

] lim(

)

1

x

x

x

x

n

f x mx

x

x

�+�

�+�

-

+

=

-

=

-

+

3

3

2

6

4

lim

1

x

x

x

x x

x

�+�

-

+ - -

=

=

+

2

7

4

lim

[ ]

1

x

x

x

�+�

-

+

�

=

=

�

+

2

2

7

1

lim

0

1

1

x

x x

x

�+�

-

+

=

=

+

m = 1, n
= 0

Prosta y = x jest asymptotą ukośną obustronną
badanej funkcji.

D = R

Slajd

46/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:

( )

arctg .

f x

x

x

= +

Badamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej
lewostronnej:

( )

arctg

lim

lim

x

x

f x

x

x

m

x

x

�- �

�- �

+

=

=

arctg

lim(1

)

x

x

x

�- �

=

+

lim[ ( )

] lim[(

arctg )

]

x

x

n

f x mx

x

x

x

�- �

�- �

=

-

=

+

-

=

lim arctg

arctg(

)

2

[

]

x

x

p

�- �

=

=

- � =-

D = R

2

1

1 0

1

[

] [ ]

p

-

= +

= + =

- �

Slajd

47/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji

Przykład

Wyznaczyć asymptoty ukośne wykresu
funkcji:

( )

arctg .

f x

x

x

= +

Poszukując asymptoty ukośnej prawostronnej
mamy:

( )

arctg

lim

lim

x

x

f x

x

x

m

x

x

�+�

�+�

+

=

=

arctg

lim(1

)

x

x

x

�+�

=

+

lim[ ( )

] lim[(

arctg )

]

x

x

n

f x mx

x

x

x

�+�

�+�

=

-

=

+

-

=

lim arctg

arctg(

)

2

[

]

x

x

p

�+�

=

=

+� =

D = R

2

1

1 0

1

[

] [ ]

p

= +

= + =

+�

Wykres funkcji posiada asymptotę ukośną
prawostronną i lewostronną

Proste te są do siebie równoległe, gdyż mają ten sam
współczynnik kierunkowy.

2





x

y

.

2

y x

p

= -

Slajd

48/ 48

T. Kowalski. W.10: Asymptoty wykresu funkcji