ANALIZA

DYNAMICZNA

MANIPULATORÓW

JAKO

MECHANIZMÓW

PRZESTRZENNYCH

Chwilowy stan przestrzennego ruchu ogniwa i określają:

 wektor prędkości kątowej członu

 wektor prędkości liniowej





T

Oiz

Oiy

Oix

Oiz

Oiy

Oix

Oi

v

v

v

v

v

v

v































T

iz

iy

ix

iz

iy

ix

i

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω































T

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

z

y

x

z

y

x

r



























punktu O

i

, w którym przyjęto początek układu współrzędnych

x

i

y

i

z

i

związanego z członem i

Jeśli ponadto dane są

• masa ogniwa

m

i

• wektor położenia środka masy

względem układuOx

i

y

i

z

i

• macierz tensora bezwładności członu

[J]

Oi,

to można wyznaczyć wektory pędu i momentu pędu – krętu
członu względem punktu O

i

wg następujących zależności

)

r

ω

v

(

m

p

Si

i

Oi

i

i















(równanie wektorowe pędu)

)

v

r

(

m

ω

H

Oi

Si

i

i

Oi

Oi













[J]

(równanie wektorowe krętu)

Jeśli osie układu

x

i

y

i

z

i

pokrywają się z osiami symetrii ogniwa, to macierz tensora
bezwładności























2

2

2

0

0

0

0

0

0

[J]

iz

iy

ix

i

Oi

k

k

k

m

Wypadkową siłę i wypadkowy moment sił bezwładności
względem punktu O

i

wyznacza się według równań

dynamiki Newtona, które można zapisać w postaci
wektorowej

i

i

i

i

p

ω

p

F















(równanie wektorowe sił)

i

Oi

Oi

i

Oi

Oi

p

v

H

ω

H

M























(równanie wektorowe momentów sił)

iz

iy

iy

iz

ix

ix

p

p

p

F









 



ix

iz

iz

ix

iy

iy

p

p

p

F









 



iy

ix

ix

iy

iz

iz

p

p

p

F









 



(równania skalarowe sił)

lub w postaci skalarowej

iy

Oiz

iz

Oiy

Oiz

iy

Oiy

iz

Oix

Oix

p

v

p

v

H

ω

H

ω

H

M









 

iz

Oix

ix

Oiz

Oix

iz

Oiz

ix

Oiy

Oiy

p

v

p

v

H

ω

H

ω

H

M









 

ix

Oiy

iy

Oix

Oiy

ix

Oix

iy

Oiz

Oiz

p

v

p

v

H

ω

H

ω

H

M









 

(równania skalarowe momentów sił)

Równania wektorowe i skalarowe pędów oraz
wektorowe i skalarowe sił i momentów sił opisują

dynamikę ruchu członu manipulatora robota

w układzie współrzędnych związanych z tym członem
w punkcie O

i

i przy czym położenie punktu O

i

i orientację

układu x

i

y

i

z

i

można przyjąć tak, aby uwzględnić więzy

nałożone na ogniwo i

Współrzędne wektora prędkości punktu O

i

w układzie x

i

y

i

z

i

związanym z ogniwem i można wyznaczyć ze wzoru

i

Oi

iO

iO

i

Oi

)

r

(

T

T

)

v

(







1





gdzie:

i

iO

...A

A

A

T

2

1



E

T

T

iO

iO





 1





T

i

Oi

)

r

(

1

0

0

0

1

0

0

0































Współrzędne wektora prędkości kątowej członu w
układzie x

i

y

i

z

i

można wyznaczyć z zależności

i

iO

i

i

ω

T

)

ω

(





1





1

1

2

1

32

2

1

21

1

1



















i,i

i

i

ω

...A

A

A

...

...

ω

A

A

ω

A

ω

ω











Na rysunku przedstawiono schemat rozkładu sił działających
na ogniwo i oraz sił i momentów sił oddziaływania ogniw
w parach obrotowych. Przyjęto oznaczenia (***)

,i

i

R

1





- wektor siły oddziaływania ogniwa i - 1 na ogniwo i





1

1





Oi

,i

i

M



- wektor momentu sił oddziaływania ogniwa
i – 1 na ogniwo i względem punktu O

i-1

,i

i

R

1





- wektor siły oddziaływania ogniwa i + 1 na ogniwo i





Oi

,i

i

M

1





- wektor momentu sił oddziaływania ogniwa
i + 1 na ogniwo i

i

F



- wektor siły wypadkowej

Oi

M



- wektor wypadkowego momentu względem
punktu O

i

sił działających na ogniwo i

Równania równowagi dynamicznej ogniwa i w
układzie odniesienia związanym z tym ogniwem
przy uwzględnieniu ogólnego równania dynamiki
wynikającego z zasady d’Alemberta są następujące:

• w odniesieniu do sił

0

A

1

1

1













,i

i

i

,i

i

i

R

F

R







• w odniesieniu do momentów sił









 

0

A

A

A

1

1

1

1

1

1

1

1





























,i

i

i

i

Oi

i

Oi

,i

i

Oi

Oi

,i

i

i

R

r

M

M

M











W przypadku gdy para łącząca ogniwa i – 1 z i jest
parą obrotową, wtedy składowa momentu





z

,i)

i

M

1





skierowana wzdłuż osi pary jest równa momentowi
napędowemu lub momentowi oporu ruchu.

W przypadku pary przesuwnej składowa reakcji

,i,z

i

R

1





skierowana wzdłuż osi przesuwu jest równa sile
napędowej lub sile oporu przesuwu w tej parze.

Gdy dane są wymiary schematu kinematycznego
mechanizmu,

rozkłady

mas

ogniw

oraz

przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie ogniwa
napędowego, wtedy z równań równowagi
dynamicznej można wyznaczyć siły i momenty
reakcji w parach kinematycznych oraz siłę
względnie moment napędowy zapewniający ruch
mechanizmu manipulatora robota z żądaną
prędkością, wyrównoważyć robota statycznie i
dynamicznie.