Stabilność liniowych układów automatyki

Liniowy układ automatyki będziemy uważać za stabilny, jeśli przy

dowolnych warunkach początkowych zerowych wymuszeniach (zerowych

sygnałach sterujących i zakłócających) sygnał błędu e dąży do wartości

zero, gdy t . Dla zamkniętego układu automatyki mamy:

E(p)(1+K(p)) = (p)Z

k

(p).





n

k

zk

K

0

Podstawiając w równaniu Z

k

(p) = 0, możemy przedstawić lewą stronę

równania jako E(p) pomnożone przez pewien wielomian. Uwzględniając to,

że iloczynowi p

(i)

E(p) odpowiada w dziedzinie funkcji czasu

e

(i)

=

otrzymujemy dla rozpatrywanego przypadku następujące równanie

różniczkowe:

a

0

e

(n)

+ a

1

e

(n-1)

+ … + a

n

e = 0,

rozwiązania tego równania przy dowolnych warunkach początkowych mają

postać:

i

i

dt

e

d

e(t) =





n

k

k

C

1

t

k

p

e

gdzie C

k

– stałe zależne od warunków początkowych, p

k

– są pierwiastkami

równania charakterystycznego, które w rozważanym przypadku ma postać:

1 + K(p) = 0

jeżeli wszystkie pierwiastki równania mają części rzeczywiste ujemne

R

e

[p

k

] < 0,

e(t) = 0

wtedy układ jest stabilny.
Jeżeli natomiast dowolny z pierwiastków p ma część rzeczywistą
dodatnią

R

e

[p

k

] > 0,

e(t) ≠ 0

i wtedy układ jest niestabilny

lim





t

lim





t

Jeżeli równanie ma pierwiastki wielokrotne to pojawiają się wyrazy
typu :

t

l

t

k

p

e

l – liczba całkowita.

Funkcja t

l

rośnie wolniej niż funkcja wykładnicza. Jeżeli więc spełniony jest

warunek

R

e

[p

k

] < 0,

lim





t

t

k

p

e

t

l

= 0

= 0.

Warunek ten jest koniecznym i wystarczającym
warunkiem stabilności.

Stabilność układu automatycznej regulacji – niezbędny warunek pracy

układu automatycznej regulacji

mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go

ze stanu równowagi sam powraca do tego stanu.

Ponieważ stan równowagi może być różnie interpretowany stosuje się także

definicję stabilności wg Laplace'a która mówi, że układ liniowy jest stabilny,

jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (

zakłócenie

) o ograniczonej wartości jest

ograniczona.

Klasyczne kryteria stabilności układów
ciągłych

•

Kryterium biegunów

Wszystkie pierwiastki

równania charakterystycznego

(Równanie

charakterystyczne — równanie, powstające w wyniku przyrównania

mianownika

transmitancji operatorowej

do zera)

a

0

e

(n)

+ a

1

e

(n-1)

+ … + a

n

e = 0,

układu zamkniętego powinny być ujemne, czyli znajdować się w lewej

półpłaszczyźnie

płaszczyzny zmiennej zespolonej s

.

•Kryterium odpowiedzi skokowej

Układ zamknięty

w odpowiedzi na

skok jednostkowy

(

funkcją

nieciągłą

która

przyjmuje wartość 0 dla ujemnych argumentów i wartość 1 w pozostałych

przypadkach) powinien osiągać

stan ustalony

(w którym opis tego układu jest

niezależny od zmiennej

czasu

. Należy zwrócić uwagę, iż nie oznacza to braku

ruchu

, przepływu

ciepła

itp., a jedynie niezmienność tych wielkości w czasie.) w

czasie dążącym do nieskończoności.

•Kryterium Hurwitza – podaje warunki, jakie powinny spełniać

współczynniki równania algebraicznego, aby pierwiastki tego

równania miały części rzeczywiste ujemne.

Według kryterium Hurwitza zachodzi to wówczas:

•wszystkie współczynniki równania istnieją i są większe od zera

a

0

> 0, a

1

> 0, …, a

n

> 0,

•wszystkie podwyznaczniki (aż do rzędu n-1) wyznacznika

utworzonego ze współczynników równania w sposób podany

poniżej są większe od zera

Δ

n

=

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

0

...

0

...

...

4

2

0

5

3

1

6

4

2

0

7

5

3

1

czyli

Δ

1

= a

1

> 0,

Δ

2

=

2

0

3

1

a

a

a

a

>0,

Δ

3

= >0

...

...

...

0

3

1

4

2

0

5

3

1

a

a

a

a

a

a

a

a

aż do rzędu
n-1

Dodatnia wartość współczynników jest koniecznym warunkiem stabilności

(dla wielomianów 1 i 2 stopnia jest również warunkiem dostatecznym).

Jeżeli któryś z podwyznaczników jest równy zeru to równanie może mieć

między innymi pierwiastki czysto urojone i wtedy mówimy, że układ znajduje

się na granicy stabilności (w przebiegu e(t) występują drgania o stałej

amplitudzie). Jeżeli któryś z współczynników jest ujemny albo któryś z

podwyznaczników jest mniejszy od zera, to układ jest nie stabilny.

•Kryterium Michajłowa

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma wszystkie pierwiastki

w lewej półpłaszczyźnie

płaszczyzny

zmiennej zespolonej s, jeśli przyrost

argumentu równania charakterystycznego w postaci widmowej M(jω) przy

zmianie pulsacji ω od 0 do wynosi nπ / 2, gdzie n jest stopniem równania.

Płaszczyzna zmiennej zespolonej s - geometryczna reprezentacja

współrzędnych

zespolonych

, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną.

Można ją określić jako zmodyfikowany

kartezjański układ współrzędnych

, z

częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną

reprezentowaną przez oś "y".

W

teorii sterowania

, płaszczyznę zespoloną określa się mianem płaszczyzny "s".

Używana jest do graficznego przedstawienia pierwiastków

równania charakterystycznego

, występującego w postaci wielomianu o

niewiadomej w postaci zmiennej zespolonej "s" (stąd nazwa), symbolizującej

tranformatę Laplace'a

.

Dodatkowo, płaszczyznę tę używa się do badania

stabilności układu

metodą

Nyquista, która polega na analizie

charakterystyki amplitudowo-fazowej

układu

opisanego

transmitancją operatorową

.

Odpowiednikiem płaszczyzny "s" w czasie ciągłym jest płaszczyzna "z" w czasie

dyskretnym, gdzie użyta jest

transformata Z

zamiast transmormaty Laplace'a.

•Kryterium Nyquista

Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli

charakterystyka amplitudowo-fazowa

układu otwartego

nie obejmuje punktu (-1, j0).

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

- układu to, w

automatyce

, wykres

transmitancji widmowej

tego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Można

ją wyznaczyć doświadczalnie, dokonując

pomiarów

(w

stanie ustalonym

)

amplitudy

oraz

przesunięcia fazowego

sygnału

wyjściowego układu, gdy

sygnałem

wejściowym jest

sygnał

sinusoidalny o stałej amplitudzie i częstotliwości.

Jeśli układ otwarty jest stabilny, to zamknięty układ

jest

stabilny wówczas, gdy charakterystyka

amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje

punktu (-1,j0), przy czym termin „obejmuje”

oznacza, że rozpatrujemy wektor, którego początek

znajduje się w punkcie (-1,j0), koniec zaś na

charakterystyce amplitudo-fazowej w punkcie

odpowiadającym wybranej wartości pulsacji ω.

Na wykresie umieszcza się punkty odpowiadające wartościom transmitancji

widmowej dla kolejnych wartości pulsacji ω є (0 ; ∞) . Kierunek strzałki

oznacza kierunek wzrostu ω.

Na osi rzędnych odłożona zostaje wartość części urojonej, a na osi odciętych

wartość części rzeczywistej transmitancji widmowej. Charakterystyki

amplitudowo-fazowe układów realizowalnych fizycznie, dążą do początku

układu współrzędnych.

Analiza

Każdemu pierwiastkowi p

k

równania

1+ K(p) = 0,

można podporządkować jeden punkt na płaszczyźnie zmiennej zespolonej p.

Jeżeli oznaczymy

p

k

= δ

k

+ jω

k

,

to współrzędne punktu odpowiadającego pierwiastkowi p

k

są (δ

k

, ω

k

).

Operując pojęciem płaszczyzny p, można warunek stabilności

Re[p

k

] > 0

lim e(t) = 0,

określić jako warunek znajdowania się wszystkich pierwiastków równania

1+ K(p) = 0,

na lewej płaszczyźnie zmiennej p.

Istota kryterium Nyquista polega na kontroli położenia pierwiastków p

k

,

poprzez odwzorowanie płaszczyzny p na płaszczyznę K.

Funkcję transformującą jest funkcja przejścia badanego układu w stanie

otwartym, to znaczy, że funkcja K(p).

Aby znaleźć na płaszczyźnie punkt K punkt odpowiadający punktowi p

x

płaszczyzny p, należy wstawić wartość p

x

do funkcji K(p), a z otrzymanego

wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną według relacji

K(p) = Re [K(p

x

)] + j Im [K(p

x

)].

Wartości Re [K(p

x

)] i Im [K(p

x

)] są współrzędnymi punktu odpowiadającego

na płaszczyźnie K punktowi p

x

płaszczyzny p.

Jeżeli p

x

jest jednym z pierwiastków równania K(p) + 1 = 0, czyli jeżeli K(p

k

)

= -1, to takiemu punktowi p

k

płaszczyzny p odpowiada na płaszczyźnie K

punkt o współrzędnych (-1,j0).

Po dokonaniu omawianej transformacji wszystkie punkty p

k

płaszczyzny p

przejdą zatem w jeden punkt o współrzędnych (-1,j0) na płaszczyźnie K.

Dla sprawdzenia stabilności wystarczy zatem skontrolować czy na

płaszczyźnie K punkt

(-1,j0) znajduje się w obszarze odpowiadającym lewej półpłaszczyźnie

zmiennej p lub

– jest równoważne – czy znajduje się poza obszarem odpowiadającym

prawej półpłaszczyźnie zmiennej p.

Dokonujemy w tym celu odwzorowania brzegów prawej półpłaszczyzny

zmiennej p, dzieląc je na trzy części tak jak to przedstawiono dla

przypadku funkcji transformującej

K(p) = k/(1 + pT).

Półprosta 1 (ω = 0  ω = - ∞) przechodzi po transformacji w krzywą I, wykres K(jω)
dla ω zmieniającego się od 0 do ∞.

Półprosta 3 (ω = - ∞  ω = 0) przechodzi po transformacji w krzywą III, wykres
K(jω) dla ω zmieniającego się od - ∞ do 0.

Półprosta 2 (ω = 0) przechodzi po transformacji w punkt II o współrzędnych (0,0)

czyli początek układu. Jest tak dlatego, że K(jω) = 0.

Wykres K(jω) nazywany charakterystyką częstotliwościową otwartego układu

regulacji. Jest to krzywa symetryczna względem osi Re[K(p)]. Funkcje K(jω) i K(-

jω) są bowiem funkcjami sprzężonymi i zachodzą związki:

Re [K(jω)] = Re [K(-jω)],

Im[K(jω)] = - Im [K(-jω)],

Jeżeli zatem znamy przebieg funkcji K(jω) dla ω = 0 aż do ω = ∞ , czyli jeżeli

znamy odcinek I charakterystyki częstotliwościowej, to odcinek III możemy

narysować bez obliczeń jako lustrzane odbicie krzywej względem osi Re [K(p)].

Na podstawie przeprowadzonej analizy można powiedzieć, że układ automatyki

będzie po zamknięciu stabilny, jeżeli punkt (-1, j0) leży na płaszczyźnie K „na

zewnątrz” charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego. Przez wyrażenie

„na zewnątrz” rozumie się „w obszarze odpowiadającym lewej półpłaszczyźnie

zmiennej p”.