ZAAWANSOWANY MODEL
VaR
Małgorzata Murdzia
Katarzyna Jędrzejek
ZAAWANSOWANY MODEL
VaR
Małgorzata Murdzia
Katarzyna Jędrzejek
Założenia dla metod
podstawowych
Metoda VaR
Analityczna
Historyczna
Monte
Carlo
Współczynnik
ryzyka/Rozkłady
aktywa
Normalny
Brak założenia
Normalny
Rozkład P&L
Analityczny
(Normalny)
Empiryczny
(Historyczny)
Empiryczny
(Symulacja)
Wymagana macierz
kowariancji?
TAK
NIE
TAK
Współczynnik
ryzyka/Zwroty
aktywa
TAK
TAK
TAK
ZAŁOŻENIA ROZKŁADU
STANDARDOWEGO
• Zwroty są niezależne i o tym samym
rozkładzie normalnym
• Założenie o normalności wymaga
skośności i kurtozy równej zero (to
jest rzadki przypadek)
Zwroty USD/JPY od
01.01.1996 do 31.06.2004
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0
500
1000
1500
2000
Przykład zwroty USD/JPY
Liczba obserwacji
2161
Średni zwrot
2.60047x10
-5
Odchylenie standardowe za dzień
0.718%
Zmienność
11.35%
Skośność
-0.8255
Kurtoza
6.241
Liczba obserwacji poniżej dolnej
granicy 99% przedziału ufności
48 wobec 22 oczekiwanych
• Średnia dziennych zwrotów jest bliska
zeru
• Ryzyko wyrażone na dwa sposoby:
odchylenie standardowe za dzień i
zmienność
• Skośność jest ujemna
• Kurtoza jest dodatnia co wskazuje na
ciężkie ogony w stosunku do rozkładu
normalnego
dzień
za
e
standardow
odchylenie
b
dni
b
z
e
standardow
odchylenie
Ujemna skośność i dodatnia kurtoza
powoduje, że prawdopodobieństwo ze
zwrotów jest lepsze od
przewidzianego przez rozkład
normalny. Wówczas wielkość VaR z
wysokim poziomem ufności obliczane
zgodnie z założeniem o normalności
będzie nieprawidłowe i w rezultacie
zapasy kapitału mogą być nie
wystarczające do zabezpieczenia.
Zgodnie z rozkładem normalnym,
dolna granica 99% przedziału ufności
zdefiniowana jest przez średnią
mniejszą od 2.33 odchylenia
standardowego. W naszym przypadku
dolna granica równa się
–2.33 x 0.00718=-0.0167
1% obserwowanych zwrotów będzie
niższy niż na wykresie. Z 2161
obserwacji tylko 22 zwrotów powinno
leżeć poniżej dolnego ogona (w
rzeczywistości jest ich 48)
• Dane finansowe naruszają
założenie o rozkładzie normalnym
• Jeżeli zwroty są identycznie
rozłożone to parametry rozkładu
(wariancja i średnia) powinny być
stałe
• Jeśli zwroty są niezależne to zwroty
z poprzedzającego dnia nie
powinny mieć wpływu na zwrot z
dnia aktualnego
• Analiza doświadczalna rynku
finansowego pokazuje że założenie
o niezależności zwrotów jest
bezpodstawne. Wysoki zwrot
prawdopodobnie następuje po
innym wysokim zwrocie. Zjawisko
to nazywa się „efektem
falowania zmienności” lub
„efektem grupowania
zmienności”
MODEL GRUPOWANIA
ZMIENNOŚCI
• Ruchoma wykładnicza średnia
ważona EWMA (exponentially
weighted moving average)
• GARCH (generalised autoagressive
conditional heteroscedasticity )
ogólny model autoregresji z
heteroskedastycznością warunkową
EMWA
Wariancja obliczana w i-tym dniu
λ - „wygładzanie stałej”
r
i-1
– zwrot z dnia i-1
Gdy λ jest dodatnia to dzisiejsza wariancja
jest dodatnio skorelowana z wczorajszą
wariancją
2
1
2
1
2
ˆ
)
1
(
ˆ
i
i
i
r
• Im wyższy parametr λ tym
wariancja ma wyższą tendencję do
utrzymywania się po wstrząsie na
rynku
• Wariancja EMWA reaguje
natychmiast na wstrząsy rynku
• Im większe 1- λ tym większa
będzie wielkość reakcji na wstrząs
zwrotu
Model zmienności GARCH opiera się na
danych statystycznych firmy, natomiast
model zmienności EMWA nie, gdyż:
• Nie ma procedury estymacji wygładzonej
stałej, wartość λ się zakłada (zazwyczaj
stosowana jest λ =0.94)
• Dla pewnego portfela obliczana wariancja
może być ujemna, gdy macierz
kowariancji jest pół określona. Dlatego
dla EMWA nie można używać różnej
wartości λ dla różnych aktywów do
wyznaczania macierzy kowariancji
Model EMWA nie jest odpowiedni dla
estymowania ewolucji rynku dla
horyzontu czasowego dłuższego niż
kilka dni
b
b
/
250
ˆ
dni
b
horyzontu
dla
t
czasie
EMWA w
zmienno
śm
Estymowa
t
Standaryzowane zwroty
USD/JPY (02.1996-087.2004)
e
standardow
odchylenie
zwrot
wany
standaryzo
Zwrot
Liczba obserwacji
2140
Skośność
-0.1974
Kurtoza
0.2727
Liczba obserwacji poniżej
dolnej granicy 99%
przedziału ufności
29 wobec 21 oczekiwanych
Model GARCH
Równanie na warunkową średnią i
wariancję
Parametry α, β, ω są estymowane za
pomocą metody największej
wiarygodności
c- średnia
0
,
,
0
2
1
2
1
2
i
i
i
i
i
c
r
Gdy wtedy mówi się, że
zmienność jest średnio
powracająca (mean-reverting) i
stosunek powrotu średniej jest
odwrotnie powiązany z tą sumy,
czyli wariancja będzie zwykle
bliska steady-state wariancji
definiowanej w następujący sposób
1
1
2
Przykład: model GARCH dla
USD/JPY
Obliczamy model GARCH(1,1) dla dziennych
zwrotów. Warunkowa wariancja obliczana
metodą największej wiarogodności:
Warunkowa wariancja jest stała
(współczynnik stałości=0.955710) i nie
szczególnie reagująca w porównaniu z innymi
rynkami (współczynnik reakcji =0.03684) ,
stały okres (3.78x10
-7
) jest mały
2
1
2
1
7
2
95571
.
0
03684
.
0
10
78
.
3
t
t
t
Steady-state wariancja
Zmienność = =11,24%
(wynik bliski zmienności = 11,35%)
250
5
7
2
10
07
,
5
95571
,
0
03684
,
0
1
10
78
,
3
Grupowanie zmienności i
VaR
Wybór miary zmienności ma duży
wpływ na miarę ryzyka i
konsekwencje dla odpowiedniego
kapitału. Złe obliczenie zmienności
grupowanej może spowodować, że
instytucja finansowa weźmie zbyt
wysokie ryzyko (albo będzie trzymać
niewystarczającą ilość kapitału) w
okresie kryzysu na rynku.
Obliczanie VaR używając
EMWA
Równanie dla kowariancji między
aktywami 1 i 2 :
r
1,t-1
,r
2,t-1
zwroty z dnia wcześniejszego
dla aktywa 1 i 2
λ =0,94
1
,
12
1
,
2
1
,
1
,
12
ˆ
)
1
(
ˆ
t
t
t
t
r
r
VaR b-dni - metoda
analityczna
Z
α
- dystrybuanta
rozkładu
standardowego normalnego dla
wartości krytycznej α
P -wartość bieżąca portfela
σ -przewidywane odchylenie
standardowe z
b-dni ze zwrotów portfela
P
Z
VaR
b
,
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe oblicza się używając
macierzy kowariancji zwrotów z b-dni następująco
1. Reprezentacja poziomu aktywów
w=(w
1
,..., w
n
) wektor wag portfela
V - przewidywana macierz kowariancji zwrotów
aktywa z b-dni
wektor kwoty inwestowanej w każde aktywo
Vw
w
T
,
Pw
p
gdzie
Vp
p
Z
VaR
T
b
2. Reprezentacja poziomu czynnika
ryzyka
gdzie wektor wrażliwości
portfela
V - przewidywana macierz kowariancji
zwrotów czynnika ryzyka z b-dni
gdzie
wektor wrażliwości dla
każdego czynnika ryzyka
V
T
)
,...
(
1
n
Vp
p
Z
VaR
T
b
,
P
p
Przykład
Inwestujemy 1m $ w aktywo 1 i 2m $
w aktywo 2
Obliczyć 5% 10-dniowego VaR-u.
P=(1,2)
T
zmienność
0,002
0,005,
,
01
,
0
12
2
2
2
1
005
,
0
002
,
0
002
,
0
01
,
0
V
$
014
,
1
10
3207
,
0
VaR
dniowy
-
10
%
5
$
3207
,
0
19
,
0
645
,
1
VaR
dniowy
-
1
%
5
$
19
,
0
038
,
0
L
&
P
m
m
m
Vp
p
T
Przewidywanie zmienności z
GARCH
Zakładamy:
Średni zwrot =0
Wariancja warunkowa dana wzorem:
Steady-state wariancja =0.0001
2
1
2
1
6
2
88
.
0
07
.
0
10
0
.
5
t
t
t
0001663
,
0
0001698
,
0
)
88
,
0
07
,
0
(
10
5
0001698
,
0
00006
,
0
88
,
0
)
04
,
0
(
07
,
0
10
5
00006
,
0
%,
4
6
2
2
2
6
2
1
2
t
t
t
t
Przewidywane zmienności z
GARCH
ZMIENNOŚĆ Z 10 DNI=
DZIEŃ
WARIANCJA
ZMIENNOŚĆ
T+1
0,0001698
20,6%
T+2
0,0001663
20,4%
T+3
0,0001630
20,2%
T+4
0,0001598
20,0%
T+5
0,0001569
19,8%
T+6
0,0001540
19,6%
T+7
0,0001513
19,4%
T+8
0,0001487
19,3%
T+9
0,0001463
19,1%
T+10
0,0001440
19,0%
HORYZONT 10 DNI
0,0015601
19,7%
%
7
,
19
10
250
10
1
2
i
i
VaR z rozkładem t-Studenta
• Rozkład t-Studenta jest możliwym
kandydatem opisywania stopy zwrotu
instrumentów finansowych ze względu na
„grube ogony”. Obecnie nie jest on
najlepszym kandydatem, ponieważ
zakłada on, że stopy zwrotu są iid.
Przyjmując, że dzienne stopy zwrotu mają
rozkład t-Studenta zakładamy, że
są niezależne od wcześniejszych stóp.
VaR z rozkładem t-Studenta
• Rozkład t-Studenta pozostaje dość
popularny wśród profesionalnych
managerów ryzyka. Standardowy test
t-Studenta ma tylko jeden
parametr v , oznaczający liczbę stopni
swobody. Rozkład ten został stworzony
do pracowania z małymi próbami,
gdzie liczba stopni swobody jest o
jeden mniejsza od rozmiaru próby.
• Dla standardowego rozładu t-
Studenta zachodzi:
• Odchylenie standardowe jest równe 0
• Wariancja jest równa
• Skośność jest równa 0
• Kurtoza jest równa
2
4
)
2
(
3
• Używając VaR będziemy pracować z
dużym zbiorem danych i postaramy się
sztucznie dobrać parametr v pasujący do
kształtu ogonów rozkładu t (tj. dobrze
dopasowany do wzoru na kurtozę).
Ponieważ obserwowana wariancja nie
będzie równa będzie konieczne
oszacować wariancję. Generalnie nie
będzie konieczne oszacować średnią jako
średnią stopę zwrotu (dzienną, tygodniową
czy inną) bliską 0.
2
• Dowd w 2002 roku wyjaśnił następująco jak można
przystosować standardowy rozkład t-Studenta do
obliczenia VaR dla pojedynczego aktywu:
• Wybrać parametr stopni swobody dobrze
dopasowany do wzoru na kutrozę :
• Wariancja empiryczna powinna być bliska
• Wybrać odpowiednią wartość krytyczną z
rozkładu t dla pożądanego poziomu ufności (np.
0,01) i wybranych wcześniej stopni swobody
• Kontynuować obliczenia z VaR używając np.
metod analitycznych.
4
)
2
(
3
2
VaR z mieszanym rozkładem
normalnym
• Funkcja gęstości mieszanego rozkładu normalnego,
np. złożonego z dwóch funkcji gęstości rozkładu
normalnego
i ma funkcję
gęstości
parametr p może być rozumiany jako
prawdopodobieństwo tego, że obserwacja x wpływa
na gęstość f
1
(x). W rezultacie mamy, że raz
x ma odchylenie standardowe µ
1
i wariancję drugi
raz x ma odchylenie standardowe µ
2
i wariancję .
)
,
;
(
)
(
2
1
1
1
x
x
f
)
,
;
(
)
(
2
2
2
2
x
x
f
)
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
x
f
p
x
pf
x
g
2
1
2
2
• Rozważmy mieszany rozkład normalny o
zerowym odchyleniu standardowym
swoich składników, tzn. µ
1
=µ
2
=0. W tym
przypadku wariancja wynosi
• Skośność jest równa 0 zaś kurtoza
2
2
2
1
)
1
(
)
2
(
p
p
wariancja
NM
2
2
2
2
1
4
2
4
1
]
)
1
(
[
)
1
(
3
)
2
(
p
p
p
p
kurtoza
NM
• Kurtoza jest zawsze większa od 3,
więc mieszany rozkład normalny z
dwoma składnikami o zerowym
odchyleniu standardowym daje
nam funkcję gęstości, której
wykres ma wyżej wierzchołek i
grubsze ogony niż rozkład
normalny o tej samej wariancji.
• Dla przykładu powyższy rysunek
przedstawia wykres czterech funkcji
gęstości:
3 spośród nich to gęstości rozkładu
normalnego o zerowym odchyleniu
standardowym ze zmiennością 5%, 10%
(szare) i 7,906%(czerwony)
Mieszany rozkład normalny (na rys. czarny),
składa się z dwóch pierwszych funkcji
gęstości z wagą prawdopodobieństwa 0.5
• Wariancja mieszanego rozkładu wynosi
0,5*5
2
+0,5*10
2
=62,5. Ponieważ
7,906
2
=62.5 to mieszany rozkład ma
taką samą zmienność jak rozkład
normalny narysowany na czerwono.
Jednakże jego kurtoza wynosi 4,87.
Innymi słowy kurtoza jest za duża o
1,87 co jest znacznie większe od 0
odpowiadającemu rozkładowi
normalnemu.
• Bardziej ogólnie: biorąc kilka składników
o różnych odchyleniach standardowych i
wariancjach do rozkładu mieszanego
możemy doprowadzić do prawie
każdego kształtu dla gęstości.
Maclachlan i Peel w 2000 roku
dostarczyli kilku interesujących
przykładowych wykresów. Parametry
funkcji gęstości mieszanego rozkładu
normalnego mogą być szacowane przy
użyciu danych historycznych.
• Nie ma wyraźnej formuły dla
oszacowania VaR zakładającego, że
stopy zwrotu portfela mają gęstość
mieszanego rozkładu normalnego. Jest
uwikłana formuła, którą w exelu
możemy rozwiązać wykorzystując np.
solver. Żeby zobaczyć jak przypuśćmy,
że mamy rozkład normalny dla
zmiennej P&L portfela liniowego.
• Wtedy analityczna formuła VaR wynika
wprost z definicji, czyli:
P(P&L<-VaR
α
)=α
• więc jeśli P&L ma rozkład normalny z
parametrami µ i σ to mamy
P(Z<[- VaR
α
-
µ]/σ= α
• Gdzie Z jest zmienną losową o
standardowym rozkładzie normalnym. Stąd
[- VaR
α
-
µ]/σ= -Z
α
α jest wartością krytyczną
Z i przekształacając otrzymujemy
analityczną formułę dla normalnego VaR:
VaR
α
=
Z
α
σ-
µ
Incremental VaR
IVar
• Incremental VaR mierzy jak każdy
składnik portfela wpływa na ryzyko
portfela.
• VaR
Incremental,A
=VaR
P+A
-VaR
P
• VaR
P+A
-ryzyko portfela zawierającego
pozycję A
• VaR
P
-ryzyko portfela nie
zawierającego pozycji A
Incremental VaR
IVar
• Innymi słowy IVar mówi nam, jaki
wkład w ryzyko (mierzone przez VaR)
portfela będzie miało dodanie jednej
pozycji. Incremental VaR zawsze
musi być rozpatrywany w kontekście
konkretnego portfela, ponieważ ta
sama pozycja będzie miała różny
Incremental VaR w różnych
portfelach.
Component VaR
CVaR
• Component VaR mówi, o ile zmieni się VaR
całego portfela, gdy usuniemy z portfela
daną pozycję. Component VaR mówi o
ryzyku pozycji obecnej a portfelu. Każdy
składnik portfela ma swój Component VaR,
a suma Component VaR wszystkich
instrumentów w portfelu daje VaR portfela:
n
i
VaR
1
i
VaR
Component