ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

1. Zasada zachowania pędu dla pojedynczego ciała; popęd
siły
2. Zasada zachowania pędu dla układu ciał
3. Zderzenia
4. Środek masy i jego własności
5. Napęd rakietowy

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

POPĘD SIŁY

Jeśli siła działa w czasie dt, to znaczy to, że pęd ciała się zmienia

dp=Fdt

A jeśli siła działa dłużej, to zmiana pędu wynosi:







2

1

t

t

dt

F

p





Popęd siły

Jeśli na ciało działają siły, to ciało zmienia swój pęd z szybkością
proporcjonalną do siły wypadkowej (wektorowej sumy sił).

t

p

d

F

F

wyp

i

i

d













PRZYPOMNIENIE: I zasada dynamiki

jeśli na ciało nie działa żadna siła, to jego pęd jest zachowany:

p

przed

=p

po

ZACHOWANIE PĘDU UKŁADU DWÓCH CZĄSTEK

zderzenie 2 swobodnych kul

Skutkiem działania siły jest nadanie ciału
przyśpieszenia: F

12

=m

2

V

2

/t i F

21

=m

1

V

1

/t

m

1

m

2

V

1p

V

2p

V

1k

V

2k

Jeśli na układ nie działają siły zewnętrzne, to całkowity pęd
układu

p=m

i

V

i

jest stały

układ odizolowany kulek: nic za wyjątkiem samych

kulek na te kulki nie działa

F

12

: siła działająca na kulę 2 pochodząca od

kuli 1,
F

21

: siła działająca na kulę 1 pochodząca od

kuli 2

F

12

=-F

21

 F

12

+F

21

=0

F

12

+F

21

=0 m

2

V

2

/t

+m

1

V

1

/t=0.

m

2

V

2

+m

1

V

1

=0.

V jest różnicą między prędkością początkową i końcową: V

k

-V

p

, czyli:

m

2

(V

2k

-V

2p

)= -m

1

(V

1k

-V

1p

)

m

2

V

2k

+m

1

V

1k

= m

1

V

1p

+ m

2

V

2p

m

i

V

i

-pęd układu kulek

.

k

p

p

p



 

ZDERZENIA

Popęd siły w czasie zderzenia jest dużo

większy niż skutek działania jakichkolwiek

innych sił.

W zderzeniu całkowity pęd układu tuż przed
zderzeniem jest równy całkowitemu pędowi tuż
po zderzeniu

p

przed

=p

po

F

12

F

21

F

czas

inne
siły

m

1

m

2

V

1p

V

2p

V

1k

V

2k

Zderzenia elastyczne

p

przed

=p

po

E

Kprzed

= E

Kpo

Zderzenia

nieelastyczne

m

1

m

2

V

1p

V

2p

V

1k

V

2k

p

przed

=p

po

W każdym zderzeniu,

nawet nieelastycznym,

pęd jest zachowany

elast, rowne m

elast, rozne

m

nieelast

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU: PRZYKŁAD

Wiemy, ze gdy jedna kula uderza w 3 stojące, to
kule uderzająca i najdalsza od uderzenia zamieniają
się miejscami. Ten sam przypadek mamy, jeśli
zderzają się 2 kule (jedna stojąca nieruchomo): ta
która stała porusza się teraz z identyczną
prędkością jak pierwsza, a ta pierwsza stoi.
Dlaczego tak jest?
Ponieważ zderzenie jest elastyczne, to zachowany jest
zarówno pęd jak i energia kinetyczna:

P

przed

=p

po

E

Kprzed

=E

Kpo

mV+0=mV

1

+mV

2

V=V

1

+V

2

 V

1

=V-

V

2

mV

2

/2=mV

1

2

/2+ mV

2

2

/2

V

2

= V

1

2

+ V

2

2

V

2

= (V-V

2

)

2

+ V

2

2

V

2

= V

2

-2VV

2

2

+ 2V

2

2

0= V

2

(V

2

-V)

V

2

=0 lub V

2

= V

V

V

1

ŚRODEK MASY

Jeśli bryła jest zbiorem mas m

i

to współrzędna środek

masy układu N punktów materialnych o masach m

i

położonych w punktach o wektorach r

i

, jest punktem

którego położenie opisane jest wektorem :







i

i

i

i

i

sm

m

m

r

R





m

i

R

sm

r

i

x

y

z

Jeśli zbiór punktów stanowi bryłę to współrzędna środka masy takiej bryły ma
postać

M

dm

r

m

m

r

R

i

i

i

i

i

sm





















środek
masy

Jeśli rzucimy do góry kijem, to jego ruch jest bardzo
skomplikowany. Jednak dla kogoś patrzącego z oddali
i widzącego tylko zarys wydaje się, że jest to prosty
rzut ukośny punktu. Czy istnieje zatem punkt kija,
który mimo skomplikowanego ruchu całości porusza
się prosto, tak jak w rzucie ukośnym?

ZNAJDOWANIE ŚRODKA MASY: PRZYKŁAD

Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach
m

1

= 1kg, m

2

= 2kg i m

3

 = 3kg, umieszczonych w

rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu
odniesienia to możemy przyjąć układ tak jak na
rysunku.

m

2

r

3

y

x

m

1

m

3

r

2

x

śrm

= (m

1

x

1

+ m

2

x

2

+ m

3

x

3

)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m

y

śrm

= (m

1

y

1

+ m

2

y

2

+ m

3

y

3

)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg· m)/6kg = m





















i

i

i

i

i

sm

i

i

i

i

i

sm

i

i

i

i

i

sm

m

m

y

y

,

m

m

x

x

m

m

r

R





2

3

4

3

R

sm

ZNAJDOWANIE ŚRODKA MASY: PRZYKŁAD

Znaleźć środek masy płyty w formie trójkąta
prostokątnego o masie M i podanych wymiarach
zakładając, że masa w płycie jest rozłożona
jednorodnie

x

dm’

y

dx

x

c

a

b

y

gdzie dm’ jest masą paska o grubości dx i rozciągającego się na

całą

szerokość trójkąta w kierunku y

Musimy teraz wyrazić wysokość paska y poprzez jego położenie x

Takie same obliczenia prowadzą do wyniku na y

sm

=b/3

M

'

xdm

M

xdm

x

sm









ydx

ab

2

1

M

dS

paska

.

pow

ia

powierzchn

masa

'

dm























a

0

a

0

sm

xydx

ab

2

ydx

ab

M

2

x

M

1

xdm

M

1

x

a

b

x

y

a

b

x

y







a

3

2

dx

x

a

2

xdx

a

b

x

ab

2

x

a

0

2

2

a

0

sm











WŁASNOŚCI ŚRODKA MASY

Ponieważ

więc

Pęd środka
masy

M

m

r

R

i

i

i

sm

















M

m

V

V

dt

R

d

i

i

i

sm

sm







Całkowity pęd układu cząstek jest równy pędowi cząstki o masie równej całkowitej
masie cząstek M pomnożonej przez prędkość środka masy układu





i

i

i

sm

m

V

V

M





środek masy ciała porusza się tak, jak cząstka o masie M do
której przyłożone są wszystkie siły zewnętrzne działające na
układ cząstek

Ma

sm

=m

i

*a

i

ale

m

i

*a

i

=F

ij

Przyśpieszenie środka masy





i

i

i

sm

m

V

V

M





m

i

m

j

F

ji

F

ij

F

ij

+ F

ji

=0

dla każdej pary sił wewnętrznych: F

ij

=-F

ji

.





z

sm

F

a

M

w sumie zostaną tylko siły
zewnętrzne

srodek masy

NAPĘD RAKIETOWY

V

m+m

p

i

=(m+m)V

m

V+ V

m

V- V

w

V

w

-prędkość gazów

względem rakiety

NAPĘD RAKIETOWY

m+m

p

i

=(m+m)V

m

V+ V

m

V- V

w

V

w

-prędkość gazów

względem rakiety

Ciąg rakiety: siła wywierana na
rakietę przez wyrzucone gazy.
Ponieważ mdV=-V

W

dm, to

dt

dm

V

dt

dV

m

ciag

W





Pęd rakiety zmienia się jeśli część gazu z
dużą prędkością zostaje wyrzucona wstecz.
Całkowity pęd rakiety i wyrzuconych gazów
nie zmienia się.

(m+m)V= m(V+V)+ m(V-V

W

)

mV= V

W

m

ale:

Vdv , m -dm

(m to masa gazów, a dm to masa-ujemna-

o jaką zmniejszy się masa rakiety)

mdV=-V

W

dm

rozdzielając zmienne i całkując dostajemy:

m

i

-początkowa masa rakiety i paliwa

m

f

-końcowa masa rakiety i paliwa

Wnioski:
-jak najwyższa prędkość wyrzutu gazów
-jak największa ilość paliwa









f

i

f

i

m

m

W

V

V

m

dm

V

dV

f

i

W

i

f

m

m

ln

V

V

V







V