Minimalno czasowe sprowadzenie

oscylatora idealnego do punktu

równowagi za pomocą krzywej

przełączeń

Henryk Zelek

2-MPS(s)

Prowadzący: prof. dr hab. inż. O. Petrov

Teoria sterowania

Stabilność otwartych i zamkniętych

nieliniowych układów sterowania.

Bezpośrednia metoda Lapunowa

Wprowadzenie teoretyczne

Wyjaśnienie różnych poleceń

i zwrotów



Plot- rysuj wykres funkcji



PlotRange-opcja funkcji graficznych , która określa
zakres współrzędnych



FrameLabel-opcja grafiki, która określa jak należy
umieścić etykiety na krawędziach kadru.



GridLines-opcja dwuwymiarowej grafiki funkcji, która
określa linie siatki.



True- symbol wartości logicznej



Automatic- reprezentuje opcję lub inną wartość, która
ma być automatycznie wbudowana przez funkcję.



PlotStyle- jest opcją do wiązania i drukowania funkcji,
określa styl , w którym obiekty mają być sporządzone.

Definicja stabilności

asymptotycznej w obszarze

Definicja lokalnej

stabilności asymptotycznej

Definicja funkcji

Lapunowa

Definicja antyfunkcji

Lapunowa

Twierdzenie Lapunowa o stabilności

nieliniowych układów sterowania

Definicja zbioru

zwartego

Twierdzenie Lapunowa o

niestabilności nieliniowych

układów sterowania

Tłumaczenie funkcji



Thickness - Thickness[0.005] oznacza, ze linia wykresu będzie o grubości 0,5% długości całej
grafiki



n=2 – przypisanie zmiennej wartości



vx=Table[x[i][t],{i,1,n}];  Tworzenie Tablicy zmiennych



x0 – mówi jaka jest wartość wyrażenia gdy x dąży do x_0



ff[t_] - dostaje nieco odpowiadającego współczynnika 2 ^ k w całkowitej n



a1 – daje częstotliwość uwagę w oktawę



a11 – wskaźniki[list] daje kolejne wskaźniki elementów w liście



Module - określa że wydarzenia z symboli x, y powinny być traktowane jako lokalne



Flatten - spłaszczacz



NDsolve – znajdzie rozwiązanie numeryczne do równań różniczkowych zwyczajnych zmiennej y
z zmiennej niezależnej x na określonym przedziale



Join – dołącz



MaxSteps – jest to opcja do takich funkcji jak NDsolve, który określa maksymalną liczbę kroków
do podjęcia w tworzeniu wyników



Plot – działka generuje wykres jako funkcje x od [x min] do [x max]



PlotRange -> All– jest to opcja funkcji graficznych, która określa cały zakres współrzędnych



FrameLabel – jest to opcja graficzna która określa etykiety jakie należy umieścić na
krawędziach wykresu



GridLines – jest to opcja dwuwymiarowej grafiki funkcji która określa linie siatki

Minimalno czasowe

sprowadzenie oscylatora

idealnego do punktu równowagi

za pomocą krzywej przełączeń

Ćwiczenie nr.5

Generowanie krzywej

przełączeń

Generowanie krzywej przełączeń

Po zmianie parametru na

a=15

Model oscylatora ze sterowaniem
schodkowym i trygonometrycznym-
dokładna dyskretyzacja sterowania

Parametry początkowe:
n=2;
m=2;
a1=1;
a2=0;
b1=1;
b2=0;
liczba punktów dyskretyzacji czasu
ku=200;
krok dyskretyzacji czasu
delta=0.05;
vx=Table[x[i][t],{i,1,n}];
vu=Table[u[j][t],{i,1,m}];
x0={7,1};
ff[t_]:={x[2][t],-a1*x[1][t]-a2*x[2][t]+b1*u[1][t]+b2*u[2][t]};
zadanie sterowania z dużą liczbą parametrów dyskretyzacji o

ustalonej wartości

uu={Flatten[{Table[-1,{i,1,5}],Table[0,{i,6,200}]}],Table[0,{i,1,200}]}

sol11=Plot[Evaluate[x[1][t]/.solxx[uu,x0]],{t,0,0.25},PlotRange->All,
FrameLabel->{"t","x[1][t]"},Frame->True,GridLines->Automatic,
PlotStyle->{Thickness[0.005]}]

0 .0 0

0 .0 5

0 .1 0

0 .1 5

0 .2 0

0 .2 5

6 .8 0

6 .8 5

6 .9 0

6 .9 5

7 .0 0

t

x



1



t



a1=2;
a2=3;
b1=2;
b2=4;

Wynik badania oscylatora ze

sterowaniem schodkowym i

trygonometrycznym.

Show[s11,s22,s33,s44,s55,s66,s77,s88,tra11,PlotRange->All]

 5

5

 1 .0

 0 .5

0 .5

1 .0

Show[s11,s33,s55,s77,tra11,PlotRange->All]

 6

 4

 2

2

4

6

 1 .0

 0 .5

0 .5

1 .0

Zmiana dyskretyzacji

sterowania.

Stan początkowy:

Generowanie sterowania w bazie schodkowej i trygonometrycznej

Zmiana liczby punktów dyskretyzacji

sterowania schodkowego

ku=300;
uu={Flatten[{Table[-1,{i,1,5}],Table[1,{i,6,69}],
Table[1,{i,70,133}],Table[1,{i,134,194}],
Table[-1,{i,195,235}],Table[0,{i,236,300}]}],Table[0,{i,1,300}]}
soluu[uu_]:=Thread[{u[1]>Interpolation[Join[{{0,uu[[1,ku]]}},
Table[{k*delta, uu[[1,k]]},{k,1,ku}]],InterpolationOrder->0],
u[2][t] >Sum[uu[[2,k]]*Cos[2*Pi*(k-1)*t]+
Uu[[2,k+ku/2]]*Sin[2*Pi*(k-1)*t],{k,1,ku/2}]}];

Zmiana dlugości przedziału czasowego sterowania

solxx[uu_,x0_]:=Module[{rozuu},rozuu=soluu[uu];
Flatten[NDSolve[Join[Table[x[i]'[t]==ff[t][[i]]/.rozuu,{i,1,n}],
Table[x[i][0]==x0[[i]],{i,1,n}]],vx,{t,0,15},MaxSteps->Infinity]]];

0

2

4

6

8

1 0

1 2

 4

 2

0

2

4

6

t

x



1



t



Po zmianie parametrów

3 .0

3 .2

3 .4

3 .6

3 .8

4 .0

 5 .0

 4 .8

 4 .6

 4 .4

 4 .2

 4 .0

 3 .8

 3 .6

t

x



1



t



0

2

4

6

8

1 0

1 2

 6

 4

 2

0

2

4

t

x



2



t



Wynik badania zmiany liczby

punktów dyskretyzacji sterowania

schodkowego.

WNIOSKI



Aby

określić

dokładną

wartość

minimalnego

czasu

sprowadzania oscylatora do położenia równowagi musimy
zwiększyć tzw. dokładność dyskretyzacji, za którą w temacie
zadania odpowiedzialne są parametry k i delta.



Zmniejszenie zarówno wartości k - odpowiadającej za ilość
punktów dyskretyzacji czasu, jak i d - będącej krokiem
dyskretyzacji czasu wpływa niekorzystnie na wyszukiwanie
wartości minimalnego czasu sprowadzania oscylatora do
położenia równowagi, gdyż zakres błędu, bądź jak kto woli
ilość przeprowadzonych prób dyskretyzacji jest zbyt mała.



Zmieniając wartość stanu początkowego x0

i przyjmując

znacząco mniejszą wartość zarówno k jak i delty otrzymujemy
wykres, którego stan jest daleki od określenia minimalnego
czasu sprowadzania oscylatora do położenia równowagi.