ZARZĄDZANIE

PORTFELEM

INWESTYCYJNYM

Matematyka finansowa

Procent prosty

)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









Gdzie:
K

n

– kapitał końcowy;

K

0

– kapitał początkowy;

i – stopa procentowa;
t – czas (np. okres lokaty, pożyczki).

Procent prosty

Jeżeli w trakcie pożyczki nastąpiła
zmiana
oprocentowania, to stosujemy
następujący wzór:

)

360

360

360

1

(

2

2

1

1

0

n

n

n

t

i

t

i

t

i

K

K

























Gdzie:
i

1

- i

n

- zmienne stopy procentowe;

t

1

- t

n

– długość obowiązywania danych stóp

procentowych.

Procent składany

n

n

i

K

K

)

1

(

0







m

n

n

m

i

K

K









)

1

(

0

Gdzie:
i – stopa procentu składanego;
n – liczba lat;
m – liczba podokresów (np. miesięcy,
kwartałów), a więc kapitalizacji w roku.

Procent składany















































































n

n

n

m

n

n

n

m

n

m

n

m

i

m

i

m

i

K

K

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

0

Gdzie:
i

1

- i

n

– zmienne stopy procentowe;

m

1

– m

n

liczba podokresów (kapitalizacji) dla długości

obowiązywania danej stopy procentowej;
n

1

– n

n

liczba lat dla długości obowiązywania danej

stopy procentowej.

Jeżeli z okresu na okres zmienia się stopa
procentowa, wtedy stosujemy następujący wzór:

1

)

1

(







m

nom

efo

m

r

r

Gdzie:
r

efo

– efektywna roczna stopa

procentowa od odsetek;
r

nom

– roczna stopa nominalna;

m – liczba okresów kapitalizacji
w roku.

Efektywna roczna

stopa procentowa od

odsetek z lokaty

Stopa efektywna przy

kosztach prowizji

r

p

= p(1+r

nom

)

r

ef

= r

p

+ r

o

1

)

1

(







m

nom

efo

m

r

r

Realna roczna stopa

zwrotu

Zależność między nominalną stopą zwrotu,
realną stopą zwrotu i stopą inflacji
przedstawia równanie Fishera:

1 + r

nom

= (1 + r

real

) × (1 + i)

Gdzie:
r

nom

– stopa nominalna (w jednym okresie);

r

real

– stopa realna (w jednym okresie);

i – stopa inflacji (w jednym okresie).

Zatem:

i

i

r

r

nom

real







1

Procent składany

kapitalizowany z góry

Odsetki w tego typu lokacie obliczane są i
kapitalizowane z góry.

n

n

i

K

K

)

1

(

0





Dyskonto

handlowe

 Odsetki handlowe

 Dyskonto handlowe

 Rachunek „w stu”

Dyskonto

matematyczne

 Odsetki matematyczne

(proste)

 Dyskonto matematyczne

 Rachunek „od sta”

360

t

i

K

O

n







)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









360

1

0

t

i

K

K

n







360

0

t

i

K

O







)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









360

1

0

t

i

K

K

n







Rachunek rentowy

(annuitetowy) dla

procentu składanego

(wzory)

Renta płatna z dołu (płatność z dołu)

Renta płatna z góry (płatność z
góry)

i

i

a

K

i

i

a

K

n

n

n



















)

1

(

1

1

)

1

(

0

i

i

i

a

K

i

i

i

a

K

n

n

n



























)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

0

Wyjaśnienie oznaczeń

K

n

– wartość przyszła renty (annuity), w

literaturze często oznaczana jako FV

i,n

K

0

– wartość bieżąca renty (annuity), w

literaturze często oznaczana jako PV

i,n

i – stopa procentowa lub dyskontowa (dla
jednego okresu), w literaturze często
oznaczana jako r
n – liczba płatności (okresów)
a – wielkość cyklicznej płatności (annuity,
renty), w literaturze często oznaczana jako
PMT

Równanie bankierów

(uproszczone)

Równanie bankierów stanowi różnicę między
kapitałem początkowym, a sumą wypłat
rentowych na koniec okresu.

i

i

a

i

K

K

K

R

n

n

n

n

1

)

1

(

)

1

(

0

2

1



















K

n

w procencie

składanym

K

n

w rachunku

rentowym (dla
płatności z
dołu)

Gdzie:
K

n1

– kapitał początkowy

sprowadzony na koniec okresu
K

n2

– suma wypłat rentowych

sprowadzona na koniec okresu
R – różnica między K

n1

i K

n2

Wartość bieżąca netto

NPV (Net Present

Value)

Wartość bieżąca netto (NPV) mierzy nadwyżkę sumy
zdyskontowanych wpływów nad sumą zdyskontowanych
wydatków. Liczona jest według wzoru:













































n

i

i

i

n

i

i

i

n

n

r

CF

r

CF

I

NPV

r

CF

r

CF

r

CF

I

NPV

0

1

0

2

2

1

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

Gdzie:
CF

i

– wielkość wolnej gotówki w i-tym okresie (przepływ

pieniężny i-tego okresu);
r – stopa dyskontowa w okresie;
I

0

– początkowe wydatki inwestycyjne;

n – okres eksploatacji inwestycji.

Wewnętrzna stopa

zwrotu IRR (Internal

Rate of Return)

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) jest to taka stopa
dyskontowa, dla której wartość bieżąca netto (NPV) jest
równa zero. IRR oznacza średnią stopę zwrotu z inwestycji w
jednym okresie. Jeśli inwestycja jest realizowana w okresach
rocznych, IRR będzie wówczas średnią roczną stopą zwrotu z
inwestycji.













































n

i

i

i

n

i

i

i

n

n

IRR

CF

IRR

CF

I

r

CF

r

CF

r

CF

I

0

1

0

2

2

1

0

)

1

(

)

1

(

0

)

1

(

)

1

(

1

0

r=IRR