Metrologia wielkości

geometrycznych

Błędy pomiarów. Niepewność pomiarowa.

Błędy pomiarów

Podstawowy aksjomat metrologii:

NIE MA POMIARÓW

BEZBŁĘDNYCH

Z każdym pomiarem wiąże się błąd, który wyraża
niezgodność wartości uzyskanej w wyniku pomiaru z
rzeczywistą wielkością wartości mierzonej

2

Błędy pomiarów

-

definicja

Błąd pomiaru

Jest to różnica miedzy wynikiem pomiaru,

a wartością prawdziwą wielkości mierzonej

3

Błędy pomiarów

–

wartość prawdziwa

Wartość prawdziwa (wielkości)

Jest to wartość, jaką uzyskałoby się jako

wynik bezbłędnego pomiaru.

WARTOŚCI PRAWDZIWE SĄ ZE SWEJ NATURY

NIEZNANE

4

Błędy pomiarów

–

wartość umownie prawdziwa

Wartość umownie prawdziwa

(wartość poprawna)

Wartość przypisana wielkości określonej i

uznana, niekiedy umownie, jako wartość

wyznaczona

z niepewnością akceptowalną

w danym zastosowaniu.

Wartość umownie prawdziwa jest niekiedy nazywana

wartością przypisaną, najlepszym oszacowaniem

wartości, wartością umowną lub wartością

odniesienia

.

5

Błędy pomiarów

-

rodzaje

6

Błędy pomiarów

-

błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy

Jest to błąd pomiaru, który podczas

wielokrotnego wykonywania pomiaru tej

samej wartości pewnej wielkości, w

praktycznie tych samych warunkach,

przybiera różne wartości i znaki, zmieniające

się według nieustalonego prawa.

7

Błędy pomiarów

-

błąd przypadkowy

Błąd przypadkowy - wartość

Jest to różnica między wynikiem pomiaru

a średnią z nieskończonej liczby

wyników pomiarów

tej samej wielkości mierzonej,

wykonanych w warunkach powtarzalności

.

8

Błędy pomiarów

-

błąd systematyczny

Błąd systematyczny

Jest błąd pomiaru, który podczas

wielokrotnego wykonywania pomiaru tej

samej wartości pewnej wielkości, w

praktycznie tych samych warunkach,

pozostaje niezmienny, lub zmienia się w

funkcji parametru, według ustalonego prawa.

9

Błędy pomiarów

-

błąd systematyczny

Błąd systematyczny - wartość

Jest to różnica między średnią z

nieskończonej liczby wyników pomiarów tej

samej wielkości mierzonej, wykonanych w

warunkach powtarzalności, a wartością

prawdziwą

wielkości mierzonej.

10

Błędy pomiarów

-

błąd nadmierny

Błąd nadmierny

Jest to błąd zbyt duży w stosunku do błędów

przypadkowych i systematycznych

11

Błędy pomiarów

-

graficzna interpretacja

12

Błędy pomiarów

–

wynik pomiaru

Wynik pomiaru

Jest to wartość przypisana wielkości

mierzonej, uzyskana drogą pomiaru.

13

Błędy pomiarów

-

surowy wynik pomiaru

Surowy wynik pomiaru

Jest to wynik pomiaru

przed korektą błędu systematycznego

14

Błędy pomiarów

-

poprawiony wynik pomiaru

Poprawiony wynik pomiaru

Jest to wynik pomiaru

po korekcie błędu systematycznego

(po zastosowaniu poprawki)

15

Błędy pomiarów

-

wynik pomiaru

Wynik pomiaru

Wartość zmierzona ± błąd pomiaru

16

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

Dx = y – x

r

(x

p

)

Gdzie:

Dx – wartość błędu
y – wynik
x

r

(x

p

) – miara rzeczywista (poprawna) wielkości

17

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci bezwzględnej

• jest liczbą mianowaną

• wyrażany jest w jednostkach wielkości

mierzonej

• jest opatrzony znakiem (+ lub -)

Znak „+” oznacza, że wynik pomiaru jest większy od wartości
rzeczywistej (umownie prawdziwej), znak „-”, że jest mniejszy
od wartości rzeczywistej (umownie prawdziwej) mierzonej
wielkości

18

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

Dx =

--------

·100%

Gdzie:

Dx – wartość błędu
y – wynik
x

p

– mara poprawna wielkości

y – x

p

x

p

19

Błędy pomiarów

-

sposób wyrażania błędów

Błąd w postaci względnej

• jest wyrażany liczbą niemianowaną

• jest wyrażany w procentach

20

Błędy pomiarów

-

źródła błędów

Wyróżnia się grupy błędów związane z:

• nieokreślonością mierzonej wielkości
• odbiorem sygnału pomiarowego
• narzędziem

pomiarowym

(najliczniejsza

grupa)

• obserwacją wskazania
• opracowaniem i utrwaleniem wyniku pomiaru

21

Błędy pomiarów

-

źródła błędów

Źródła błędów związane z narzędziami

pomiarowymi:

• błąd (wskazania) wzorca miary
• błąd wzorcowania wzorca miary
• błąd (wskazania) przyrządu pomiarowego
• błąd zera
• błąd podstawowy narzędzia pomiarowego
• błąd dodatkowy narzędzia pomiarowego

(najczęściej temperaturowy)

• błąd tarciowy
• błąd bezwładnościowy

22

Błędy pomiarów

-

wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Jest to wielkość nie będąca wielkością

mierzoną, która ma jednak wpływ na wynik

pomiaru.

23

Błędy pomiarów

-

wielkość wpływająca

Wielkość wpływająca

Przykłady:

• temperatura mikrometru podczas pomiaru

długości

• częstotliwość przemiennego napięcia

elektrycznego podczas pomiaru amplitudy

• stężenie bilirubiny podczas pomiaru stężenia

hemoglobiny w próbce plazmy krwi ludzkiej

• …

.

24

Błędy pomiarów

-

wynik pomiaru – sposób zapisu

Gdy podaje się wynik, należy wyraźnie
zaznaczyć, czy dotyczy on:

•wskazania wyniku surowego

•wyniku poprawionego i czy jest średnią
uzyskaną z wielu obserwacji.

Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru
zawiera dane dotyczące niepewności
pomiaru

25

Błędy pomiarów

-

dokładność pomiaru

Dokładność pomiaru

Jest to stopień zgodności wyniku pomiaru

z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej.

26

Błędy pomiarów

-

powtarzalność (wyników pomiaru)

Powtarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w tych samych warunkach

pomiarowych.

27

Błędy pomiarów

- powtarzalność (wyników pomiaru)

Warunki powtarzalności wyników

pomiarów

• ta sama procedura pomiarowa i ten sam

obserwator

• ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w

tych samych warunkach i to samo miejsce
pomiaru

• powtarzanie pomiaru w krótkich

odstępach czasu

.

28

Błędy pomiarów

-

odtwarzalność (wyników pomiaru)

Odtwarzalność

Jest to stopień zgodności wyników kolejnych

pomiarów tej samej wielkości mierzonej,

wykonywanych w zmienionych warunkach

pomiarowych.

29

Błędy pomiarów

- odtwarzalność (wyników pomiaru)

Warunki odtwarzalności wyników

pomiarów

• Warunki podlegające zmianom mogą

obejmować: zasadę pomiaru, metodę
pomiaru, obserwatora, przyrząd
pomiarowy, etalon (wzorzec) odniesienia,
miejsce, warunki stosowania, czas.

• Odtwarzalność można wyrażać ilościowo

za pomocą charakterystyk rozrzutu
wyników

.

30

Niepewność pomiaru

Niepewność pomiaru

to parametr związany z wynikiem

pomiaru, charakteryzujący rozrzut

wartości, które można w uzasadniony

sposób przypisać wielkości mierzonej.

„Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”

Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO 1993

Niepewność pomiaru

Błąd jest zmienną losową

Niepewność jest parametrem

rozkładu prawdopodobieństwa

błędu

Niepewność pomiaru

Wynik pomiaru jest liczbą przybliżoną

różną od wartości prawdziwej,

można go interpretować jako przedział na osi

liczbowej, wewnątrz którego znajduje się wartość

prawdziwa

a <= x

r

<= b

Przedział ten, nazywamy

przedziałem niepewności wyniku pomiaru

(lub przedziałem ufności)

33

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność standardowa (u)

niepewność wyniku pomiaru wyrażona

w formie odchylenia standardowego

lub estymaty tego odchylenia

Niepewność pomiaru

odchylenie standardowe

gdzie:

x

i

– wyniki kolejnych pomiarów

x

śr

– średnia arytmetyczna wyników serii

pomiarów

n – liczba pomiarów w serii

S

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność typu A (u

A

)

obliczana metodą analizy statystycznej

serii pojedynczych obserwacji

(najczęściej wykorzystując

normalny rozkład wyników)

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność typu B (u

B

)

obliczana innymi metodami niż w

przypadku A, najczęściej wykorzystując

rozkład prostokątny opisujący błędy

systematyczne

spowodowane nierozpoznanym

oddziaływaniem systematycznym

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Złożona niepewność standardowa

(u

c

)

określana w przypadku występowania

wielu składowych niepewności

• dla pomiarów bezpośrednich jest pierwiastkiem

sumy kwadratów niepewności składowych

• dla pomiarów pośrednich sumowanie kwadratów

niepewności składowych odbywa się z
odpowiednimi wagami, zgodnie z prawem
propagacji

Niepewność pomiaru

typy niepewności pomiaru

Niepewność rozszerzona (U)

jest iloczynem niepewności

standardowej

i współczynnika rozszerzenia k



U = k



∙ u

c

Określa ona granice przedziału niepewności,

któremu można przypisać określony poziom ufności

Niepewność pomiaru

Współczynnik t rozkładu Studenta

n

p = 0,68

p = 0,95

p = 0,997

t

t

t

1
3
4
5
6
7

1.80
1,32
1,20
1,15
1,11
1,08

1,30
0,76
0,60
0,51
0,45
0,38

12,7

4,3
3,2
2,8
2,6
2,7

9,0
2,5
1,6

1,24
1,05
0,84

233

19,2

9,2
6,6
5,5
4,5

166

11,1

4,6
3,0
2,3
1,6

10
20
30
50

100
200

1,06
1,03
1,02
1,01
1,00
1,00

0,34
0,23
0,19
0,14
0,10
0,07

2,3
2,1
2,0
2,0
2,0

1,97

0,72
0,47
0,37
0,28
0,20
0,14

4,1
3,4
3,3

3,16

3,1

3,04

1,29
0,77
0,60
0,45
0,31
0,22

Błędy pomiarów

- Rozkład Gaussa

42

Niepewność pomiaru

pozim ufności

Poziom ufności (p



)

jest prawdopodobieństwem tego,

że w przedziale niepewności wyniku

pomiaru (w przedziale ufności)

znajduje się wartość prawdziwa,

co można zapisać

p



= P {x

r

∈ (x − U, x + U) }

Błędy pomiarów

- dokładność i precyzja

45

Pomiar

precyzyjny

i dokładny

Pomiar

precyzyjny

i

niedokładny

Pomiar

dokładny

i

nieprecyzyjny

Pomiar

niedokładny

i

nieprecyzyjny

Precyzja mówi nam coś o jakości działania przyrządu

Dokładność mówi nam coś o jakości lub poprawności

otrzymanego wyni

ku

Błędy pomiarów
-

niepewność pomiarowa

Niepewność pomiarowa

Nieujemny parametr,

charakteryzujący rozproszenie wartości

wielkości przyporządkowanych do mezurandu,

obliczony na podstawie uzyskanej informacji

Międzynarodowy Słownik
Metrologiczny

46

Błędy pomiarów
-

niepewność pomiarowa

Niepewność pomiarowa

•

Parametrem niepewności może być

odchylenie standardowe albo połowa

szerokości przedziału odpowiadającego

określonemu poziomowi ufności.

•

Przyjmuje się, ze wynik pomiaru stanowi

najlepsze oszacowanie wartości wielkości

mierzonej i że wszystkie składniki

niepewności, włącznie z tymi, które

pochodzą od efektów systematycznych, jak

na przykład składniki związane z

poprawkami lub z wzorcami odniesienia,

wnoszą swój udział do rozrzutu.

47

Błędy pomiarów

- błędy przypadkowe

48

Opracowanie statystyczne wyników
pomiarów - histogram

49