MATEMATYKA
FINANSOWA
Wykład UMCS
Finanse i Rachunkowość
MATEMATYKA
FINANSOWA
Wykład UMCS
Finanse i Rachunkowość
2
Literatura
1.
W. Ronka-Chmielowiec, K. Kuziak: Podstawy matematyki finansowej.
Wydawnictwo AE Wrocław, 2001.
2.
E. Smaga: Arytmetyka Finansowa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-
Kraków, 1999.
3.
E. Smaga, E. Dobija: Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków, 1995.
4.
M. Sobczyk: Matematyka finansowa. Podstawy teoretyczne, przykłady,
zadania. Agencja Wydawnicza PLACET, Warszawa 1995.
5.
W. Bijak, M. Podgórska, J. Utkin: Matematyka finansowa. Teoria i praktyka
obliczeń finansowych. Wydawnictwo Biznat, Warszawa 1994.
3
Wprowadzenie
Pieniądz otrzymany dzisiaj jest wart więcej,
niż pieniądz otrzymany jutro
Czas to pieniądz
Pieniądzom trzeba rozkazywać,
a nie służyć im
4
Wprowadzenie
Skutki różnicy wartości pieniądza w czasie:
1.
Spadek siły nabywczej
2.
Możliwość inwestowania
3.
Występowanie ryzyka
4.
Preferowanie bieżącej konsumpcji przez
człowieka
5
Wprowadzenie
Wartość pieniądza w czasie odzwierciedlana
jest przez stopę procentową
Stopa procentowa - cena, jaką
pożyczkobiorca musi płacić za przywilej
korzystania z pieniędzy udostępnionych
mu
przez
pożyczkodawcę,
a
pożyczkodawca jest wynagradzany za to,
że nie dysponuje swoimi pieniędzmi
6
Wprowadzenie
Stopa procentowa w skali okresu (najczęściej
w skali roku)
Stopa procentowa dotycząca okresu (np.
półroczna oznaczająca okres działalności
inwestycyjnej)
Aktualizacja wartości kapitału może
dotyczyć momentu bieżącego lub
pewnego momentu w przyszłości
7
Wprowadzenie
Operacje związane z wartością pieniądza w
czasie:
Kapitalizacja jest operacją polegającą na
obliczaniu kwoty, do jakiej wzrasta po
określonym
czasie
wpłacony
kapitał
(inaczej dopisywanie odsetek do kapitału)
inwestycji)
8
Wprowadzenie
Kapitalizacja i reinwestycja
dochody pojawiające się w okresie
inwestowania są kapitalizowane
(„dodawane do kapitału”), w efekcie czego
występuje zjawisko reinwestowania
(ponownego inwestowania dochodów z
inwestycji)
9
Wprowadzenie
Dyskontowanie jest operacją
otrzymywania wartości początkowej
kapitału na podstawie przyszłej wartości
kapitału.
10
Wprowadzenie
Stopa procentowa występująca przy
kapitalizacji mierzy tempo pomnażania
wartości kapitału w czasie
Stopa procentowa występująca przy
dyskontowaniu mierzy tempo
pomniejszania wartości kapitału w czasie
W praktyce stopy te mogą być różne.
11
Wprowadzenie
Wartość przyszła pieniądza (FV) –
wartość otrzymywana lub płacona w
przyszłości;
kwota pieniężna, którą uzyskuje się w
przyszłym okresie po zastosowaniu
kapitalizacji do kwoty początkowej
12
Wprowadzenie
wartość bieżąca pieniądza, wartość
obecna, wartość teraźniejsza, wartość
aktualna, wartość zaktualizowana,
wartość zdyskontowana, wartość dzisiejsza
(PV) – wartość otrzymywana lub płacona
dziś;
wartość pieniądza w chwili obecnej
13
Wprowadzenie
dyskontowanie
kapitalizacja
P
V
F
V
0 1 2
n
Aby dokonać kapitalizacji i
dyskontowania trzeba określić stopę
procentową i czas
14
Wprowadzenie
okres stopy procentowej – bazowa
jednostka czasu, po której kapitał
początkowy wzrasta o odpowiedni procent
stopa procentowa – procent, o jaki wzrasta
kapitał po upływie bazowej jednostki czasu
(taką jednostką jest zazwyczaj rok)
15
Wprowadzenie
r =
Stopa procentowa:
liczba niemianowana
przyjmuje wartości na ogół z przedziału
(0,1)
można ją wyrazić w procentach, mnożąc
przez 100%
PV
PV
FV
16
Wprowadzenie
Okres konwersji – przedział czasu, w
którym oblicza się oprocentowanie.
Okres bazowy jest zbieżny z okresem
konwersji, lub jest jego wielokrotnością
Jeśli odsetki dopisywane są:
na końcu okresu, kapitalizacja z dołu
na początku okresu, kapitalizacja z góry
17
Wprowadzenie
Sschematy przepływów pieniężnych:
pojedynczy przepływ pieniężny
renta płatna z dołu
renta płatna z góry
wiele regularnych przepływów pieniężnych
wiele nieregularnych przepływów
pieniężnych
18
Modele kapitalizacji
19
Kapitalizacja prosta
Jeżeli odsetki od kapitału powiększają stan
konta, ale nie podlegają oprocentowaniu
po upływie kolejnej bazowej jednostki
czasu, nie są one kapitalizowane, to
mówimy, że jest to kapitalizacja prosta.
20
Kapitalizacja prosta FV
PV=100, r=10%, n=4
FV1=100+(100x0,1)=110
FV2=FV1+(100x0,1)=120
FV3=FV2+(100x0,1)=130
FV4=FV3+(100x0,1)=140
FV = PV (1 + nr)
21
Zarobione odsetki
FV–PV =140-100=40
FV–PV = PV×n×r
22
Kapitalizacja prosta PV
FV=100, r=10%, n=4
PV3=100/(1+0,1)= 90,91
PV2=100/(1+0,2)= 83,33
PV1=100/(1+0,3)= 76,92
PV0=100/(1+0,4)= 71,43
nr
1
FV
PV
23
Odsetki co pół roku
PV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja
półroczna
FV1/2=100+(100x0,05)=105
FV1 =FV1/2+(100x0,05)=110
FV3/2=FV1+(100x0,05)=115
FV2 =FV3/2+(100x0,05)=120
24
Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?
Kapitalizacja prosta
Nie ma!!!
25
Kapitalizacja złożona
zgodna
Jeśli oprocentowaniu podlega kapitał
początkowy powiększony o nagromadzone
odsetki, to mówimy, że jest to
kapitalizacja złożona.
Zakładamy, że okres konwersji i bazowa
jednostka czasu są identyczne
(kapitalizacja zgodna), odsetki dopisywane
są na końcu okresu.
26
Kapitalizacja złożona FV
PV=100, r=10%, n=4
FV1=100+(100x0,1)=110
FV2=FV1+(110x0,1)=121
FV3=FV2+(121x0,1)=133,1
FV4=FV3+(133,1x0,1)=146,41
FV
n
= PV (1 + r)
n
27
Zarobione odsetki
FV–PV=146,41-100=46,41
FV–PV = PV×((1+r )
n
– 1)
28
Kapitalizacja złożona PV
FV=100, r=10%, n=4
PV3=100/(1+0,1)=90,91
PV2=PV3/(1+0,1)=82,64
PV1=PV2/(1+0,1)=75,13
PV0=PV1/(1+0,1)=68,30
n
r
FV
PV
1
29
Kapitalizacja złożona
niezgodna
W tym przypadku okres bazowy jest
wielokrotnością okresu konwersji i stopa
efektywna jest różna od stopy nominalnej.
Niech r oznacza nominalną roczną stopę
procentową. Rok jest podzielony na m
okresów procentowych równych co do
długości. Po każdym m-okresie
procentowym występuje kapitalizacja
odsetek.
30
Kapitalizacja złożona
niezgodna
okres stopy procentowej
okres konwersji
m=
Stopa względna = r/m
31
Kapitalizacja złożona FV
PV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja
półroczna m=2
FV1/2=100+(100x0,05)=105
FV1=FV1/2+(105x0,05)=110,25
FV3/2=FV1+(110,25x0,05)=115,76
FV2=FV3/2+(115,76x0,05)=121,55
32
Kapitalizacja złożona PV
FV=100, r=10%, n=2, kapitalizacja
półroczna
PV3/2 =100/(1+0,05)=95,24
PV1 =PV3/2 /(1+0,05)=90,70
PV1/2 =PV1/(1+0,05)=86,38
PV0 =PV1/2 /(1+0,05)=82,27
33
Kapitalizacja złożona
m
n
n
m
r
1
PV
FV
m
n
n
m
r
1
1
FV
PV
34
Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?
Kapitalizacja złożona
PV=100, r=10%, n=2
kapitalizacja roczna FV2=121
kapitalizacja półroczna FV2=121,55
Ma!!!
Im większa częstotliwość kapitalizacji, tym
większa wartość przyszła.
35
Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?
Kapitał w wysokości 1000 jednostek
złożono na koncie z nominalną roczną
stopą procentową 10%. Do jakiej wielkości
wzrośnie stan konta po 10 latach, jeśli
kapitalizacja odsetek będzie następować
codziennie (360 dni), miesięcznie,
kwartalnie, półrocznie, rocznie?
36
Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?
kapitalizacja odsetek codzienna
m = 360,
FV = 1000 (1,00027777)
3600
= 2717,9036
kapitalizacja odsetek miesięczna
m =12,
FV = 1000 (1,0083333)
120
= 2707,0414
kapitalizacja odsetek kwartalna
m = 4,
FV = 1000 (1,025)
40
= 2685,0638
37
Czy częstotliwość kapitalizacji
ma znaczenie?
kapitalizacja odsetek półroczna
m = 2,
FV = 1000 (1,05)
20
= 2653,2977
kapitalizacja odsetek roczna
m = 1,
FV = 1000 (1,1)
10
= 2593,7424
38
Kapitalizacja złożona z góry
Kapitał początkowy daje odsetki
PV r
Odsetki te dają dochód
PV r r
Te odsetki oprocentowywane są nadal
PV r r r
39
Kapitalizacja złożona z góry
PV=1, r=10%, n=3, kapitalizacja roczna z
góry
FV1=1+1×0,1+1×0,1×0,1+1×0,1×0,1×0
,1+…=1,1111
FV2=1,1111+1,1111×0,1+1,1111×0,1×0,
1+1,1111×0,1×0,1×0,1+…=1,2346
FV3=1,2346+1,2346×0,1+1,2346×0,1×0,
1+1,2346×0,1×0,1×0,1+…=1,3717
40
Kapitalizacja złożona z góry
FV1=PV+PVr+PVrr+PVrrr+…=
PV(1+r+r
2
+r
3
+…)=PV =PV(1-r)
-1
|r|<1
r
1
1
n
n
r
1
PV
FV
41
Kapitalizacja ciągła
W przypadku, gdy momentów kapitalizacji
w bazowej jednostce czasu będzie coraz
więcej, czyli kapitalizacja będzie się
odbywała coraz częściej, to w przypadku
granicznym
otrzymamy
kapitalizację
ciągłą.
42
Kapitalizacja ciągła
m
dla n = 1
e = 2,718....
r
m
m
e
m
r
1
lim
43
Kapitalizacja ciągła
dla n
FV
n
= PV×e
rn
PV = FV
n
×e
-rn
44
Kapitalizacja ciągła FV
PV=100, r=10%, n=4
FV1=100e
0,1
=110,52
FV2=100e
0,2
=122,14
FV3=100e
0,3
=134,99
FV4=100e
0,4
=149,18
45
Zarobione odsetki
FV–PV=149,18-100=49,18
FV–PV = PV×(e
rn
– 1)
46
Kapitalizacja ciągła PV
FV=100, r=10%, n=4
PV3=100e
-0,1
=90,48
PV2=100e
-0,2
=81,87
PV1=100e
-0,3
=74,08
PV0=100e
-0,4
=67,03
47
Czas podwojenia kapitału
Kapitalizacja prosta
2PV = PV (1 + n r )
Kapitalizacja złożona
2PV = PV (1 + r)
n
Kapitalizacja ciągła
2PV = PV×e
rn
r
1
n
r
1
2
n
ln
ln
r
2
n
ln
48
Stopa efektywna i
równoważna
Kapitalizacja złożona
Co zrobić żeby tę nierówność zastąpić
równością?
m
n
n
m
r
1
PV
r
1
PV
)
(
m
m
r
1
r
1
?
)
(
49
Stopa efektywna i
równoważna
Aby w kapitalizacji złożonej w podokresach
zachować tę samą efektywność oprocentowania
co w kapitalizacji złożonej zgodnej, należy
podwyższyć stopę r do stopy efektywnej r
ef
lub
obniżyć
stopę
względną
r/m
do
stopy
równoważnej r
r
.
50
Stopa efektywna i
równoważna
Stopa efektywna
Stopa równoważna
m
ef
m
r
1
r
1
)
(
1
m
r
1
r
m
ef
m
r
r
1
r
1
)
(
1
1
/
1
m
r
r
r
51
Stopy
52
Konwencja „actual/365”
gdzie:s – liczba dni trwania inwestycji,
N – liczba dni w roku
Konwencje:
N = 360 lub 365
s = rzeczywista liczba dni (actual) lub 30 dni
N
s
n
53
Konwencja „actual/365”
4 możliwe konwencje:
Actual/360,
Actual/365,
30/360,
30/365 (najrzadziej stosowana).
54
Konwencja „actual/365”
Przykład
Inwestycja w depozyt bankowy rozpoczęła
się 15 kwietnia, zaś zakończyła 25 czerwca
tego samego roku. Zainwestowana kwota
to 1000 złotych, zaś oprocentowanie
depozytu 4%.
Liczba dni trwania inwestycji wynosi:
„actual”: 71 dni (15 + 31 + 25);
„30”: 70 dni (2 miesiące po 30 dni plus 10
dni).
55
Konwencja „actual/365”
56
Stopa efektywna i
równoważna
Stopa efektywna
Stopa równoważna
m
ef
m
r
1
r
1
)
(
1
m
r
1
r
m
ef
m
r
r
1
r
1
)
(
1
1
/
1
m
r
r
r
1
r
1
m
r
m
1
ef
/
57
Stopa efektywna
Jakie jest
oprocentowanie
lokaty rocznej jeśli
bank oferuje 12%
nominalnie oraz
a)
kapitalizację
miesięczną
b)
kapitalizację
kwartalną
%
,
,
6825
12
1
12
12
0
1
r
12
ef
%
,
,
55
12
1
4
12
0
1
r
4
ef
58
Stopa efektywna
Jakie jest oprocentowanie nominalne lokaty
rocznej jeśli bank oferuje oprocentowanie
efektywne równe:
a)
12,6825% kapitalizację miesięczną
b)
12,55% kapitalizację kwartalną
%
,
/
12
1
126825
1
12
r
12
1
%
,
/
12
1
1255
1
4
r
4
1
59
Stopa równoważna
Jaka powinna być stopa
procentowa dla
lokaty 3-miesięcznej,
jeśli bank oferuje
12%,
a)
kapitalizację złożoną
roczną
b)
kapitalizację złożoną
półroczną
%
,
,
/
87
2
1
12
0
1
r
4
1
r
%
,
,
/
96
2
1
06
0
1
r
2
1
r
%
,
3
4
12
0
m
r
60
Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania
Warunki oprocentowania banku A są
równoważne/preferowane nad warunkom
banku B dla przedziału czasu <0,n> jeżeli
przyszła wartość po czasie n kapitału w
banku A jest równa/większa od przyszłej
wartości tego samego kapitału w banku B.
61
Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania
Banki stosują model kapitalizacji prostej
Banki stosują model kapitalizacji złożonej
B
B
B
A
A
A
m
r
m
n
1
PV
m
r
m
n
1
PV
B
A
m
n
B
B
m
n
A
A
m
r
1
PV
m
r
1
PV
B
A
r
r
B
ef
A
ef
r
r
,
,
62
Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania
Przykład
Bank A: kapitalizacja złożona półroczna, 2%
Bank B: kapitalizacja złożona kwartalna, r
Bank A:
%
,
,
,
01
2
1
2
02
0
1
r
2
A
ef
B
ef
A
ef
r
r
,
,
63
Równoważność/preferencja
warunków oprocentowania
1
4
r
1
0201
0
4
B
,
%
,995
1
r
B
%
,
,
,
01
2
1
4
01995
0
1
r
4
B
ef
Sprawdzenie:
64
Kapitalizacja przy zmiennej
stopie procentowej
Zakładamy, że kapitalizacja dokonywana
jest przez n okresów, które podzielone są
na p podokresów, w których zmieniają się
stopy procentowe.
Ponadto zakładamy, że kapitalizacja jest
zgodna oraz, że przez wszystkie n okresów
stosowany był ten sam model kapitalizacji.
n = n
1
+ n
2
+... + n
p
65
Model kapitalizacji prostej
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%
odsetki proste po n okresach przy
zmieniającej się stopie procentowej:
odsetki=5×5+4×2+3×2+2×1=41
FV10=PV+odsetki=100+41=141
66
Model kapitalizacji prostej
Odsetki:
PV n
1
r
1
+ PV n
2
r
2
+... + PV n
p
r
p
=
= PV (n
1
r
1
+ n
2
r
2
+... + n
p
r
p
)
przyszła wartość kapitału po n okresach:
FV = PV (1 + n
1
r
1
+ n
2
r
2
+... + n
p
r
p
)
67
Model kapitalizacji złożonej
z dołu
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
złożona roczna
FV5=100(1+0,05)
5
=127,63
FV7=127,63(1+0,04)
2
=138,04
FV9=138,04(1+0,03)
2
=146,45
FV10=146,45(1+0,02)=149,38
68
Model kapitalizacji złożonej
z dołu
Wartość przyszła:
p
2
1
n
p
n
2
n
1
r
1
...
r
1
r
1
PV
FV
38
149
02
0
1
03
0
1
04
0
1
05
0
1
100
FV
1
2
2
5
,
,
,
,
,
69
Model kapitalizacji ciągłej
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
ciągła
FV5=100e
0,05×5
=128,40
FV7=128,40e
0,04×2
=139,10
FV9=139,10e
0,03×2
=147,70
FV10=147,70e
0,02
=150,68
70
Model kapitalizacji ciągłej
Wartość przyszła
p
p
2
2
1
1
p
p
2
2
1
1
r
n
...
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n
PVe
e
...
e
PVe
FV
71
Przeciętna stopa
procentowa
Przeciętną
stopą
procentową
nazywamy taką stałą stopę procentową,
dla której przyszła wartość kapitału jest
taka sama, jak przyszła wartość kapitału
przy zmieniającej się stopie procentowej.
72
Model kapitalizacji prostej
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%
141
r
10
1
100
_
%
,
,
1
4
10
41
0
r
_
73
Model kapitalizacji prostej
Dla
modelu
kapitalizacji
prostej
zachodzi równość:
p
p
_
r
n
...
r
n
r
n
PV
r
n
PV
2
2
1
1
1
1
p
p
_
r
n
...
r
n
r
n
n
r
2
2
1
1
1
74
Model kapitalizacji złożonej z
dołu
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%, 2
lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%, kapitalizacja
złożona roczna
38
149
r
1
100
10
,
_
%
,
,
_
09
4
1
4938
1
r
10
75
Model kapitalizacji złożonej z
dołu
Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu
prawdziwa jest równość:
p
n
p
n
n
n
r
r
r
PV
r
PV
1
...
1
1
1
2
2
1
1
_
1
1
...
1
1
2
2
1
1
_
n
p
n
p
n
n
r
r
r
r
76
Model kapitalizacji ciągłej
PV= 100 jp; n=10; stopa: przez 5 lat 5%,
2 lata 4%, 2 lata 3% i rok 2%,
kapitalizacja ciągła
68
150
e
100
r
10
,
_
%
,
)
,
ln(
_
1
4
10
5068
1
r
77
Model kapitalizacji ciągłej
Dla modelu kapitalizacji ciągłej prawdziwy
jest następujący wzór:
p
r
p
n
r
n
r
n
r
n
PVe
PVe
...
2
2
1
1
_
p
p
r
n
r
n
r
n
n
r
...
1
2
2
1
1
_
78
Kapitalizacja mieszana
W przypadku, gdy w okresie trwania
kapitalizacji zmienia się model
kapitalizacji, wówczas mówimy, że
stosowana jest kapitalizacja mieszana.
79
Kapitalizacja mieszana
Zmiana modelu kapitalizacji
Pewien bank stosował:
1) przez n
1
lat kapitalizację złożoną roczną
ze stopą procentową r
1
,
2) przez następnych n
2
lat kapitalizację
ciągłą ze stopą procentową r
2
,
3) przez następnych n
3
lat kapitalizację
prostą roczną ze stopą procentową r
3
.
3
3
r
n
n
1
r
n
1
e
r
1
PV
FV
2
2
1
80
Kapitalizacja mieszana
Zmiana częstotliwości kapitalizacji
Pewna kwota początkowa PV została
ulokowana do banku na:
1) n
1
lat z kapitalizacją złożoną m
1
razy w
roku ze stopa procentową roczną r
1
2) następnych n
2
lat z kapitalizacją złożoną
m
2
razy w roku ze stopą procentową
roczną r
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
m
n
m
m
r
m
r
PV
FV
81
Długi: kredyty,
pożyczki
82
Długi: kredyty, pożyczki
Długi:
Krótkoterminowe (do 1-go roku)
Średnioterminowe (od roku do 5-ciu lat)
Długoterminowe (powyżej 5-ciu lat)
Formy długów:
Kredyty
Pożyczki
83
Długi: kredyty, pożyczki
Umowa powinna zawierać:
Wysokość długu (wartość nominalna
zadłużenia)
Formę spłaty
Terminy spłat
Wysokość stopy procentowej i okres
kapitalizacji
Formę i wysokość spłacanych odsetek
Formę spłaty prowizji bankowej
84
Długi: kredyty, pożyczki
Dług spłaca się z odsetkami w formie
ratalnej
Elementy:
Raty (płatności, spłaty, raty łączne)
Okres spłaty
Moment płatności (raty z góry, z dołu)
85
Metody spłaty kredytów
Plan spłaty długu obejmuje:
Wartość początkową długu
Odsetki
Ratę kapitałową
Płatność, spłatę, ratę łączną
Pozostałą część długu (po spłaceniu raty)
Spłata długu zw. umarzaniem długu.
86
Metody spłaty kredytów
Płatność – R
Rata kapitałowa – A
Odsetki – Z
Wartość udzielonego kredytu – S
Każdą płatność można zapisać jako:
R = A + Z
87
Metody spłaty kredytów
Harmonogram spłaty długu (tabela spłaty)
Czas
Dług na
początku
Odsetki Rata
kapitałowa
Płatność Dług na
końcu
88
Metody spłaty kredytów
Transakcję udzielenia i spłaty kredytu
można zapisać:
gdzie r oznacza stopę procentową kredytu.
n
n
2
2
1
r
1
R
r
1
R
r
1
R
S
...
89
Sprzedaż ratalna – przykład
S =1 000
Wpłata początkowa 0
12 spłat miesięcznych w wysokości 94,70
r=2,024%
12
2
r
1
70
94
r
1
70
94
r
1
70
94
1000
,
...
,
,
%
,
,
19
27
1
02024
0
1
r
12
90
Metody spłaty kredytów
Dług w momencie k:
q=1+r
Dla równych płatności R:
)
(
2
2
1
1
k
k
k
k
k
R
q
R
q
R
Sq
S
1
q
q
q
S
1
q
1
q
R
Sq
S
n
k
n
k
k
k
91
Metody spłaty kredytów
Podstawowe metody spłaty kredytów:
1) Równe płatności
2) Równe raty kapitałowe (malejące
płatności)
92
Metody spłaty kredytów:
równe płatności
Wartość nominalna kredytu S:
Płatność R:
n
2
1
A
A
A
S
n
n
n
r
1
1
1
r
S
1
r
1
r
r
1
S
R
93
Metody spłaty kredytów:
równe płatności
Odsetki Z:
(początkowy dług × stopa procentowa)
Dług na końcu
(początkowy dług – rata kapitałowa)
r
S
Z
1
k
k
k
1
k
k
A
S
S
94
Metody spłaty kredytów:
malejące płatności
Malejące
płatności
=
równe
raty
kapitałowe i malejące odsetki
Równe raty kapitałowe
Wartość nominalna kredytu
Płatność
nA
A
A
A
S
n
2
1
n
S
A
A
k
k
k
Z
n
S
R
95
Metody spłaty kredytów:
malejące płatności
Odsetki
(początkowy dług × stopa procentowa)
Dług na końcu
(początkowy dług – rata kapitałowa)
r
S
Z
1
k
k
k
1
k
k
A
S
S
96
Przykład 3
Masz spłacić 12 000 kredytu przez 3 lata (płatności
na końcu roku, kapitalizacja roczna). Stopa
procentowa 10%.
1) Równe płatności
2) Malejące płatności (równe raty kapitałowe)
97
Przykład 3 – rozwiązanie
1) Równe płatności
k
S
k-1
Z
k
A
k
R
k
S
k
1
12000
1200
3625.37
4825.37
8374.63
2
8374.63
837.46
3987.92 4825.38 4386.71
3
4386.71
438.67
4386.71 4825.38
0
suma
2476.13
12000 14476.13
38
4825
1
1
1
1
1
0
12000
1
1
1
1
0
1
1
12000
R
3
3
3
.
.
.
.
.
.
98
Przykład 3 – rozwiązanie
1) Malejące płatności (równe raty kapitałowe)
12 000:3=4 000
k
S
k-1
Z
k
A
k
R
k
S
k
1
12000
1200
4000
5200
8000
2
8000
800
4000
4800
4000
3
4000
400
4000
4400
0
suma
2400
12000
14400
99
Przykład 4
Ustalone płatności (raty łączne)
r=10%, S=100
k
S
k-1
Z
k
A
k
R
k
S
k
1
2
3
4
100
70
40
20
10
7
4
2
30
30
20
20
40
37
24
22
70
40
20
0
23
100
123
100
Spłata:
dla k = 1
dla k = 2
)
(
2
2
1
1
k
k
k
k
k
R
q
R
q
R
Sq
S
70
40
1
,
1
100
1
1
1
R
Sq
S
40
37
1
,
1
40
)
1
,
1
(
100
2
2
1
2
2
R
q
R
Sq
S
Przykład 4 – rozwiązanie
101
dla k = 1
dla k = 2
k
k
k
S
S
q
R
1
40
70
100
1
,
1
1
0
1
S
S
q
R
37
40
70
1
,
1
2
1
2
S
S
q
R
Przykład 4 – rozwiązanie
102
dla k = 1
dla k = 2
Przykład 4 – rozwiązanie
r
S
Z
k
k
1
10
1
,
0
100
0
1
r
S
Z
7
1
,
0
70
1
2
r
S
Z
103
dla k = 1
dla k = 2
Przykład 4 – rozwiązanie
k
k
k
k
k
S
S
Z
R
A
1
30
10
40
1
1
1
Z
R
A
30
7
37
2
2
2
Z
R
A
104
Przykład 5
Ustalone raty kapitałowe
r=6%, S=10 000
k
S
k-1
Z
k
A
k
R
k
S
k
1
10 000
600
4 000
4 600
6 000
2
6 000
360
3 000
3 360
3 000
3
3 000
180
2 000
2 180
1 000
4
1 000
60
1 000
1 060
0
1200
10 000
11 200
105
Kredyt w walucie obcej
Zastanawiasz się nad kredytem w wysokości
12,000 PLN spłacanym 3 płatnościami na koniec
każdego roku. Chciałbyś zaciągnąć ten kredyt w
EUR (kurs kupna 4 PLN za 1 EUR). Stopa
procentowa dla tego kredytu wynosi 4%. Pokaż
plan spłaty tego kredytu zarówno równymi
płatnościami, jak i malejącymi.
12,000:4=3,000 EUR
EUR
05
081
1
04
1
1
1
04
0
000
3
roczna
3
.
,
.
.
,
płatność
106
Kredyt w walucie obcej –
równe płatności
12,000:4=3,000 EUR
kurs
S
k-1
R
k
Z
k
A
k
S
k
4.1
3,000
1,081.04
4,432.26 PLN
120
961.04
2,038.96
4.2
2,038.96
1,081.05
4,540.41 PLN
81.56
999.49
1,039.47
3.9
1,039.47
1,081.05
4,216.10 PLN
41.58
1,039.47
0
107
Kredyt w walucie obcej –
równe raty kapitałowe
(malejące płatności)
3,000 EUR : 3 = 1,000 EUR
kurs
S
k-1
R
k
Z
k
A
k
S
k
4.1
3,000
1120
4,592 PLN
120
1,000
2,000
4.2
2,000
1,080
4,536 PLN
80
1,000
1,000
3.9
1,000
1,040
4,056 PLN
40
1,000
0
108
Konsolidacja długów
Celem jest zmniejszenie kosztów obsługi
technicznej zadłużenia
Ustala się wspólny plan spłaty
109
Przykład 5
Kowalski spłaca dwa kredyty w tym samym
banku. Uzgodnił, że połączy spłaty swojego
zadłużenia i będzie je spłacał równymi
płatnościami półrocznymi przez 3 lata, ze stopą
procentową 18%, kapitalizacji złożonej półrocznej.
I 3 spłaty roczne w wysokości 200 jp przy stopie
20%, kapitalizacji złożonej rocznej
II 4 spłaty półroczne w wysokości 100 jp przy stopie
18%, kapitalizacji złożonej miesięcznej
110
Przykład 5 – rozwiązanie
r
ef
= 9,34%
Łączne zadłużenie: 421,30 + 321,57 = 742,87
Płatności wyniosą:
57
321
0934
0
0934
1
1
1
100
PV
4
II
,
,
,
30
421
2
0
2
1
1
1
200
PV
3
I
,
,
,
60
165
1
09
1
09
0
09
1
87
742
R
6
6
,
,
,
,
,
111
Inne harmonogramy spłaty
długów
Nie spełniają dotychczasowych założeń:
Dług i odsetki spłacane są ratalnie
Odsetki ustalane są od bieżącego
zadłużenia
Płatności równe są racie kapitałowej i
odsetkom
112
Ratalna spłata odsetek
Załóżmy, że odsetki są spłacane za
pomocą n rat, a dług jednorazowo w
ostatniej racie. Odsetki są ustalane od
długu bieżącego.
Raty kapitałowe wynoszą:
A
1
= A
2
= ... = A
n-1
= 0 A
n
=S
113
Ratalna spłata odsetek
Płatności
R
1
= Z
1
= S r
R
2
= Z
2
= S r
R
n-1
= Z
n-1
= S r
R
n
= S + S r = S(1+ r)
Suma odsetek
Z = Z
1
+ Z
2
+... + Z
n
= S r n
Dług bieżący S
1
= S
2
= ... = S
n-1
= S
S
n
= 0.
114
Przykład 6
Udzielono kredytu w wysokości 100 jp
oprocentowanego według r = 20%. Kredyt ten
należy spłacić w ciągu 3 lat przy czym odsetki
mają być spłacone w rocznych ratach, a wartość
kredytu jednorazowo w ostatniej racie.
Odsetki za k-ty okres wyniosą:
Z
k
=100 × 0,2 = 20.
Łączna kwota odsetek wyniesie:
Z = 100 × 0,2 × 3 = 60.
115
Przykład 6 – rozwiązanie
116
Jednorazowa spłata odsetek
Załóżmy, że odsetki są spłacane jednorazową ratą,
a dług ustalonymi ratami kapitałowymi.
Z
k
= [ S q
n
– (A
1
q
n–1
+... + A
n
) ]=
= [ S – (A
1
q
n–1
+... + A
n
) q
-n
] q
k
dla k = 1
Z1 = [ S – (A
1
q
n–1
+... + A
n
) q
-n
] q
dla k = n
Zn = S q
n
– (A
1
q
n–1
+... + A
n
)
117
Jednorazowa spłata odsetek
Dla równych rat kapitałowych:
A
k
= S/n
Odsetki w k-tej płatności wyniosą:
k = 1, 2, ..., n
k
n
k
n
1
n
k
q
1
q
1
q
n
n
S
q
q
1
q
n
S
S
Z
118
Przykład 7
Udzielono kredytu w wysokości 100 jp
oprocentowanego według r = 20%.
Kredyt ten należy spłacić w ciągu 4 lat w
równych rocznych ratach kapitałowych,
przy czym odsetki mają być spłacone:
a)
jednorazowo w racie pierwszej
b)
jednorazowo w racie trzeciej
119
Przykład 7
a)
jednorazowo w racie pierwszej
34
42
2
1
1
2
1
1
2
1
4
4
100
Z
4
1
,
,
,
,
k
A
k
S
k-1
Z
k
R
k
S
k
1
2
3
4
25
25
25
25
100
100
75
50
25
42,34
0
0
0
42,34
67,34
25
25
25
142,34
75
50
25
0
120
Przykład 7
b)
jednorazowo w racie trzeciej
97
60
2
1
1
2
1
1
2
1
4
4
100
Z
3
4
3
,
,
,
,
k
A
k
S
k-1
Z
k
R
k
S
k
1
2
3
4
25
25
25
25
100
100
75
50
25
0
0
60,97
0
60,97
25
25
85,97
25
160,97
75
50
25
0
121
Przykład 7
c)
tradycyjnie
k
A
k
S
k-1
Z
k
R
k
S
k
1
2
3
4
25
25
25
25
100
100
75
50
25
20
15
10
5
50
45
40
35
30
150
75
50
25
0
122
Długi z dodatkową opłatą
R
k
= A
k
+ Z
k
+ O
k
O – opłata, czyli prowizja, marża
1)
opłata dodatkowa wynosi pewien % (o)
wartości spłacanej raty kapitałowej
O
k
= A
k
× o
123
Długi z dodatkową opłatą
a)
jeśli raty kapitałowe są równe, opłata
dodatkowa jest również stała
wówczas k-ta płatność:
o
n
S
O
k
o
S
o
n
S
n
O
O
O
n
1
o
r
k
n
n
S
o
n
S
r
k
n
n
S
n
S
O
Z
A
R
k
k
k
k
)
1
(
1
1
124
Długi z dodatkową opłatą
b)
jeśli płatności są równe
1
1
n
n
k
q
q
q
S
R
R
1
1
1
1
1
n
k
n
k
k
k
q
q
q
S
q
q
q
S
A
o
q
q
q
S
O
n
k
k
1
1
1
125
Długi z dodatkową opłatą
płatności
o
S
q
q
o
q
q
S
O
O
O
n
n
n
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
n
n
n
k
n
n
k
k
k
k
q
o
q
q
q
S
o
q
q
q
S
q
q
q
S
O
Z
A
R
126
Długi z okresem karencji
Karencja może dotyczyć rat kapitałowych i
odsetek lub samych rat kapitałowych.
Jeśli karencja dotyczy rat kapitałowych,
przez pierwsze z okresów należy płacić
odsetki w wysokości S r za każdy okres.
Jeśli karencja dotyczy rat kapitałowych i
odsetek, to przez okres karencji wartość
długu wzrośnie do wysokości i
będzie to stan zadłużenia na początek
okresu spłat.
z
q
S
127
Długi z okresem karencji
Przykład
Udzielono kredytu w wysokości 100 jp
oprocentowanego według 20% spłacanego
3 równymi rocznymi płatnościami. Umowa
kredytu obejmuje 2 letni okres karencji
obejmujący raty kapitałowe.
128
Długi z okresem karencji
Odsetki:
20
2
,
0
100
2
1
Z
Z
47
47
1
2
1
2
0
2
1
100
1
q
1
q
q
S
R
R
3
3
n
n
k
,
)
,
(
,
)
,
(
129
Długi z okresem karencji
130
Zgodnie z umową dłużnik miał spłacić 100
mln w 4 równych płatnościach przy stopie
20% i kapitalizacji rocznej.
Konwersja długów
1
1
n
n
q
q
q
S
R
6289
38
1
2
1
2
0
2
1
100
R
4
4
,
,
,
,
131
Po spłaceniu 2 rat dłużnik zwrócił się z
prośbą o obniżenie stopy procentowej do
16%. Wierzyciel zażądał opłaty karnej
równej 10% wartości dotychczasowej
płatności czyli 3,8629.
Konwersja długów
0164
59
2
0
1
2
1
6289
38
2
1
100
1
q
1
q
R
q
S
S
2
2
2
2
2
,
,
)
,
(
,
)
,
(
132
pozostaje do spłaty:
59,0164 + 3,8929 = 62,8793
zatem trzecia i czwarta rata muszą mieć
wysokość:
Konwersja długów
1715
39
1
16
1
16
0
16
1
8793
62
R
2
2
,
,
,
)
,
(
,
133
Konwersja długów
Konwersja nie była opłacalna
k
A
k
Z
k
R
k
S
k
1
2
3
4
18,6289
22,3547
29,1108
33,7685
20
16,2742
10,0607
5,4030
38,6289
38,6289
39,1715
39,1715
81,3711
59,0164+3,8629=62,879
33,7685
0
134
Aby konwersja była opłacalna należy:
I. Zmniejszyć opłatę karną przy zadanej
stopie procentowej
opłata < 3,8627
Konwersja długów
63
38
1
16
1
16
0
16
1
0164
59
2
2
,
,
,
,
opłata
,
135
II. Zmniejszyć stopę procentową przy
zadanej opłacie karnej
r < 16%
Konwersja długów
63
38
1
r
1
r
r
1
8793
62
2
2
,
,
136
Inflacja
– trwały wzrost przeciętnego
(ogólnego) poziomu cen przy braku
odpowiadającego wzrostu jakości towarów
i usług w określonym okresie
Indeks cen konsumpcyjnych
– iloraz cen
dóbr należących do reprezentatywnego
koszyka w danym okresie oraz cen tych
dóbr w okresie bazowym (wcześniejszym)
Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji
137
Realna stopa procentowa
Stopa efektywna
Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji
i
r
PV
r
PV
re
1
1
)
1
(
i
i
r
r
re
1
i
1
i
r
r
ef
ef
re
,
138
przeciętna stopa inflacji
n = n
1
+ n
2
+... + n
p
Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji
1
1
...
1
1
2
1
2
1
_
n
n
p
n
n
p
i
i
i
i
139
podwyższa się stopę oprocentowania i
przewidywaną stopę inflacji i wszystkie
obliczenia wykonuje się przy
podwyższonej stopie
wykorzystuje się stopę inflacji do
waloryzacji długu, a odsetki wyznacza się
w oparciu o stopę oprocentowania
Oprocentowanie z
uwzględnieniem inflacji
140
Inflacja + podatek –
przykład
PV=100
R=5%
i=3%
t=19%
Ile wynosi FV po opodatkowaniu w
wartościach realnych?
Rt=R(1-t)
141
I rozwiązanie
FV=105
Dochód po opodatkowaniu 5×(1-0,19)=4,05
FV w wartościach realnych
= 104,05/1,03=101,02
Inflacja + podatek –
przykład
142
II rozwiązanie
Stopa po opodatkowaniu:
Realna stopa procentowa:
FV = 100 × (1+0,0101942) =101,02
%
,
,
,
05
4
19
0
1
05
0
t
1
R
0101942
0
03
0
1
03
0
0405
0
R
re
,
,
,
,
Inflacja + podatek –
przykład
143
Renty z inflacją
Rre=(r-i)/(1+i)
qre=1+Rre
q=1+r
p=1+i
z dolu
z góry
1
1
1
1
n
re
n
re
re
n
re
n
re
re
q
p
A
q
p
FV
q
p
Aq
q
p
�
-
�
�
�
-
�
�
=�
�
-
�
�
�
-
�
�
n-1
n
z dolu
z góry
1 1
1 p
1 1
1 p
n
re
n
q
A
q
FV
q
Aq
q
�
-
�
-
�
=�
-
�
�
-
�
Z dołu
Z góry
Z góry
Z dołu