Układ równań liniowych-

algebra macierzy, metoda

eliminacji Gaussa,

stacjonarne metody

iteracyjne

Spis

treści:

1. Równanie, macierz
2. Macierze:

– Dodawanie
– Odejmowanie
– Mnożenie
3. Metoda eliminacji Gaussa
– Przykład
4.Stacjonarne metody

iteracyjne:

– Metoda Jacobiego

• przykład

– Metoda Gaussa – Seidela

• przykład

• Równanie to wyrażenie złożone z

dwóch wyrażeń algebraicznych
połączonych znakiem relacji równości

• Macierz – w matematyce układ liczb,

symboli lub wyrażeń zapisanych w
postaci prostokątnej tablicy

Macierze, podobnie jak

liczby, można:

- dodawać

- odejmować

- mnożyć

- Dodawanie macierzy

- Odejmowanie macierzy

- Mnożenie macierzy

Przykład:

Metoda (eliminacji) Gaussa

– jedna z najszybszych metod

rozwiązywania

układów

równań

liniowych, obliczania rzędu macierzy,
obliczania macierzy odwrotnej oraz
obliczania

wartości

wyznacznika.

Metoda

Gaussa

używa

operacji

elementarnych.

Nazwa

metody

pochodzi od nazwiska matematyka
niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Przykład:

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą

operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza

od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza,

odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3.

wiersza od 4. wiersza):

Przyjmując parametr ‘t’ za X4 i

rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:

Zatem rozwiązaniem układu są
czwórki:

Stacjonarne metody

iteracyjne.

• służą do przybliżonego

rozwiązywania układów równań.
Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku
pewnego postępowania
sekwencyjnego, przy czym w każdym
jego kroku uzyskuje się przybliżenie
szukanego rozwiązania.

Metoda

Jacobiego

W metodzie tej układ równań liniowych

lub w postaci macierzowej

A x = b

Przekształcić należy do postaci:

lub w notacji
macierzowej
x = g + H x
gdzie:

Kolejnym

etapem

jest

iteracyjne

wyznaczanie

kolejnych

przybliżeń

wektora x. Jako wektor początkowy x(0)
przyjmuje się zwykle wektor wartości
zerowych lub wyrazów wolnych ,

tj. x(0) = g. Kolejne przybliżenia

wyznacza się wg reguły:

lub w postaci macierzowej

x(k+1) = g + H x(k), k = 0, 1,

2, ...

Metoda Gaussa - Seidela

Metoda ta różni się od metody Jacobiego

jedynie innym sposobem wyznaczania

wektora x(k). Element xk1 wyznacza się tak

samo, jak w metodzie Jacobiego, pozostałe zaś

elementy wektora x(k)oblicza się korzystając

zarówno z wartości wektora x(k-1), jak i z

wyznaczonych już elemtów wektora x(k).

Wektor x(k) wyznacza się w oparciu o

wyrażenie:

Przykła

d

Metody

Jacobiego:

Przyjęcie wektora
początkowego: x(0)=0
x1(0) = 0
x2(0) = 0
x3(0) = 0
x4(0) = 0

teracyjne wyznaczanie
kolenych wektorów x(k):

Przykład metody Gaussa –

Seidela:

Przyjęcie wektora
początkowego x(0)=0
x1(0) = 0
x2(0) = 0
x3(0) = 0
x4(0) = 0

teracyjne wyznaczanie
kolenych wektorów x(k):

KoNiEc