Zasady budowy modelu

matematycznego

Model matematyczny

• Model matematyczny opracowuje się

na podstawie przyjętych hipotez i
założeń. Przy ich określaniu należy
uwzględnić następujące elementy:

• relacje pomiędzy modelowanym

obiektem rzeczywistym a otoczeniem;

• istotę danego problemu;
• metody i środki techniczne, za pomocą

których problem będzie rozwiązany.

Model matematyczny

W czasie budowy modelu matematycznego

zazwyczaj wyróżnia się następujące fazy:

• Sformułowanie równań opisujących badany

problem.

• Znalezienie rozwiązania, czyli takie

przekształcenie wyrażeń matematycznych, aby
uzyskać zdolność wnioskowania o zachowaniu się
obiektu w określonych warunkach.

• Porównanie otrzymanych rozwiązań z dostępnymi

danymi (np. z wynikami badań doświadczalnych).

• Weryfikacja i uściślenie modelu

Model matematyczny

Równania układów hydraulicznych

• równania sił lub momentów

(równowaga sił),

• równania natężeń przepływu

(ciągłość przepływu),

Model matematyczny

Równania sił i momentów

Równania te opisują równowagę elementów

ruchomych poddanych działaniu:

• sił F

i

(x) (momentów M

i

(φ)) – będących

funkcjami położenia x lub kąta obrotu φ
rozważanego obszaru płynu oraz kolejnych
pochodnych x lub φ.

• sil F

i

(w) (momentów) – będących funkcjami

parametrów zewnętrznych (np. sygnałów
sterujących, zakłóceń itd.) lub funkcjami
określonych zmiennych układu (ciśnienia,
natężenia przepływu, prędkości obrotowej itp.

Równania sił i momentów

• siły pochodzące od ciśnienia

statycznego cieczy roboczej którą
opisuje się zależnością:

• gdzie: p – ciśnienie, A – powierzchnia

robocza

• siła wywołana ugięciem sprężyny

• gdzie: c – napięcie wstępne

sprężyny, k – stała sprężyny, x-
ugięcie sprężyny

A

p

F





x

k

c

F

s







Równania sił i momentów

• siła tarcia lepkiego

gdzie: f – współczynnik tarcia lepkiego
• Współczynnik ten w przypadku siłownika przyjmuje

następująca postać:

• gdzie: ν – lepkość cieczy, D – średnica cylindra, d-

średnica tłoka, L – długość węzła uszczelniającego.

dt

dx

f

F

t





d

D

L

D

f















Równania sił i momentów

• siła bezwładności (np. sprężyny)

• gdzie: m

sp

– masa sprężyny

2

2

sp

b

dt

x

d

m

3

1

m

F











 



Równania sił i momentów

siła hydrodynamiczna wywołana zmianą

kierunku przepływu cieczy roboczej

• gdzie: ρ – gęstość cieczy, Q – natężenie

przepływu cieczy roboczej, v

1

– prędkość

cieczy przed zmianą kierunku przepływu,
v

2

– prędkość cieczy po zmianie kierunku

przepływu, θ – kąt odchylenia strugi
cieczy jednak nie większy niż 69

0

.



















cos

Q

F

2

1

HR

Równania sił i momentów

• moment na wałku wyjściowym

silnika

• gdzie: q

s

– chłonność jednostkowa

silnika obrotowego, Δp – różnica
ciśnień pomiędzy wejściem i
wyjściem z silnika hydraulicznego,
η

mh

– sprawność mechaniczno

hydrauliczna

mk

s

st

2

p

q

M









Równania sił i momentów

• moment obrotowy jaki trzeba

doprowadzić do wału pompy aby
otrzymać jej pracę

gdzie: q

p

– wydajność właściwa pompy,

η

mh

– sprawność mechaniczno

hydrauliczna, Δp – różnica ciśnień
pomiędzy króćcem ssawnym a
tłocznym

mk

p

p

p

2

q

M









Równania natężenia przepływu

Równania natężenia przepływu wyrażają

zasadę zachowania masy. Wśród nich można
wyróżnić następujące przepływy wywołane:

• natężeniem przepływu wywołane ruchem

tłoka siłownika

• gdzie: A – powierzchnia tłoka, dx/dt –

prędkość wysuwu tłoka

dt

dx

A

Q

t



Równania natężenia

przepływu

• natężeniem przepływu wywołane

różnicą ciśnień

• gdzie: ξ – współczynnik strat

miejscowych, d – średnica rury
(dyszy)











p

2

4

d

Q

2

p

Równania natężenia

przepływu

natężeniem przepływu wywołane

ściśliwością cieczy roboczej

gdzie: V – objętość cieczy, B – moduł

ściśliwości cieczy

dt

dp

B

V

Q

sc





Równania natężenia

przepływu

natężenie przepływu przez kapilarę

gdzie: G- przewodność kapilary

określona zależnością:

gdzie: d- średnica kapilary, l – długość

kapilary, µ - współczynnik lepkości
dynamicznej cieczy.





2

1

k

p

p

G

Q





l

1

128

d

G

4











Równania natężenia

przepływu

wydajność pompy określona jest

zależnością:

gdzie: ε

p

- nastawa wydajności pompy,

q

p

– wydajność właściwa pompy

cm

3

/obrót, η

v vol –

sprawność

objętościowa pompy, n – obroty
pompy.

vol

v

g

p

pnom

.

n

q

Q











Równania natężenia

przepływu

natężenie przepływu przez zawór bezpieczeństwa – przy układaniu

równań opisujących działanie układu napędu hydraulicznego
wystarczy opisać jego działanie członem bezinercyjnym lub
inercyjnym pierwszego rzędu. Stąd postać równania:

gdzie: Q

zb

– ilość cieczy wypływająca przez zawór przelewowy, p

zb

–

wartość ciśnienia nastawiona na zaworze bezpieczeństwa, k –
współczynnik wzmocnienia wyznaczany z charakterystyk
statycznej zaworu bezpieczeństwa.



















zb

p

zb

p

zb

p

zb

p

p

dla

p

p

k

p

p

dla

0

Q





zb

o

p

zb

Q

p

p

k

dt

dQ







Założenia upraszczające

• charakter przepływu – w elementach

oporowych układu można określić
metodami

doświadczalnymi

lub

analitycznymi. Stworzenie modelu
matematycznego

modelu

strefy

przejściowej między przepływem
turbulentnym

a

laminarnym

nastręcza szereg trudności. Dlatego
najczęściej przyjmuje się jeden
rodzaj

przepływu

przez

dany

element oporowy w całym zakresie
pracy układu.

Założenia upraszczające

• zjawisko kawitacji – na ogół przyjmuje się, że

zjawisko kawitacji w układzie hydraulicznym
nie występuje. Uwzględnienie kawitacji jest
trudne ze względu na skomplikowany opis
tego zjawiska,

• sprężystość ścianek – możliwość pominięcia

sprężystości ścianek elementów
hydraulicznych stosuje się przy średnich
ciśnieniach i stosunkowo małych
objętościach układu,

Założenia upraszczające

• przecieki – dla ogromnej większości

przypadków zakłada się laminarny
przepływ

przez

szczeliny.

W

przypadku

pomp

i

silników

hydraulicznych są proporcjonalne do
ciśnienia oraz zależą od częstości
obrotów,

• dla

silników

hydraulicznych

–

przyjmuje się, że straty tarcia są
proporcjonalne

do

prędkości

obrotowej i ciśnienia tłoczenia,

Założenia upraszczające

• w

modelu

pomp

i

silników

hydraulicznych – pomija się pulsację
wydajności,

tym

samym

nie

uwzględnia się wahań natężenia
przepływu i wywołanych tym pulsacji
ciśnienia w instalacji,

• w

pompach

i

silnikach

hydraulicznych

–

pomija

się

niestateczność charakterystyk przy
małych prędkościach kątowych.

Tłok ze sprężyną zwrotną ( bez tarcia,

bezwładności, przecieków, ciecz jest nieściśliwa)

równanie sił

równanie przepływu

A

Tłok plus tarcie lepkie

równanie przepływu

równanie sił

A

Tłok obciążony bezwładnością

równanie sił

równanie przepływu

P

1

P

2

Q

A

Tłok ze sprężyną zwrotną, tarciem lepkim,

bezwładnością, przecieki, ciecz ściśliwa

A

Schemat układu

napędowego

Założenia upraszczające

•ciśnienie w układzie jest zawsze wyższe od ciśnienia

atmosferycznego,

•przyjęto, że gęstość, lepkość i moduł sprężystości

cieczy nie zmieniają się w czasie pracy układu,

•założono, że pomiędzy powierzchniami ruchomymi nie

występuje tarcie suche,

•założono, że w układzie nie występuje kawitacja,
•pominięto odkształcenia przewodów i elementów

hydraulicznych,

•pominięto wpływ skończonej prędkości rozchodzenia

się zaburzeń w ukła dzie,

•sprawność przeniesienia napędu pomiędzy silnikiem

spalinowym a pompą wynosi 100%

•ciśnienie w lini zlewowej ma wartość stałą p

3

=const.

Wykres momentu silnika Cummis

y = 9E-07x

3

- 0,0049x

2

+ 7,7684x - 2154,5

R

2

= 0,9862

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

500

1000

1500

2000

2500

Obroty silnika (obr/min)

M

o

m

e

n

t

(k

W

)

Wykres
momentu

Wielom.
(Wykres
momentu)







2154

7684

,

7

0049

,

0

10

9

2

3

7















n

n

n

M

s

Wykres mocy silnika Cummins

y = -0,0001x

2

+ 0,5239x - 206,42

R

2

= 0,9921

0

50

100

150

200

250

300

0

500

1000

1500

2000

2500

Obroty silnika (obr/min)

M

o

c

s

iln

ik

a

(

k

W

)

wykres mocy
Wielomian trendu

42

,

206

5239

,

0

0001

,

0

2













n

n

N

Moment dyspozycyjny na wyjściu z pompy

określony jest następującą zależnością

vol

p

p

p

p

p

q

M







2









Moc pompy określona jest zależnością

mh

vol

p

p

p

p

p

p

n

q

N







.

.











Zainstalowana pompa posiada regulator stałej

mocy, to wydajność pompy dostosowuje się
samoczynnie do obciążenia w ten sposób, żeby
moc dyspozycyjna pompy była stała.

const

p

Q

N

nom

pnom

np









p

const

Q

p

p









Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

Równania momentów

hydrostatycznego silnika
obrotowego

Siły działające na gąsienicę podczas jazdy























2

1

1

0

2

sin

2

1

d

d

M

d

R

mg

M

R

N



Silę oporu ruchu R

o

oblicza się jako iloczyn siły

ciężkości transportera i współczynnika f oporu
ruchu



cos

0

mgf

R 

ψ- kąt nachylenia płaszczyzny poślizgu ścinanego gruntu,
przyjmuje wartość od 10

o

do 45

o

L
p

Rodzaj podłoża

Współczynnik

oporu

ruchu f

1

droga gruntowa sucha – gleba
gliniasta

0,06

2

droga gruntowa sucha – gleba
piaszczysta

0,07

3

droga gruntowa błotnista o
wilgotności 20%

0,12-0,15

4

suchy piasek

0,15 -0,20

5

wilgotny piasek

0,10

Tabela 1. Wartości współczynników oporu ruchu
układu gąsienicowego f

Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

M

sk

- moment oporu skrętu

gąsienicy

M

sk

= M

t

+M

c

Moment oporu tarcia w czasie skrętu

gąsienicy opisany jest zależnością













































b

b

L

L

b

L

b

L

b

L

b

L

Lb

p

M

śr

s

t

2

2

3

2

2

3

2

2

ln

ln

2

24























tg

e

4

L

h

M

2
x

2

c

g

c

Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

pompa – trójnik przed hydraulicznymi silnikami

obrotowymi

1

0

p

p

G

dt

dp

B

V

Q

Q

p

p

p

zb

pn











dt

dp

B

V

dt

dp

B

V

Q

Q

p

p

G

s

s

p

p

1

2

1

1

2

1

1

.















1

1

1

1

1

vols

s

s

s

s

q

n

Q











2

2

2

1

2

vols

s

s

s

s

q

n

Q









