Zasady budowy modelu

matematycznego

Model matematyczny

• Model matematyczny opracowuje się

na podstawie przyjętych hipotez i
założeń. Przy ich określaniu należy
uwzględnić następujące elementy:

• relacje pomiędzy modelowanym

obiektem rzeczywistym a otoczeniem;

• istotę danego problemu;
• metody i środki techniczne, za pomocą

których problem będzie rozwiązany.

Model matematyczny

W czasie budowy modelu matematycznego

zazwyczaj wyróżnia się następujące fazy:

• Sformułowanie równań opisujących badany

problem.

• Znalezienie rozwiązania, czyli takie

przekształcenie wyrażeń matematycznych, aby
uzyskać zdolność wnioskowania o zachowaniu się
obiektu w określonych warunkach.

• Porównanie otrzymanych rozwiązań z dostępnymi

danymi (np. z wynikami badań doświadczalnych).

• Weryfikacja i uściślenie modelu

Model matematyczny

Równania układów hydraulicznych

• równania sił lub momentów

(równowaga sił),

• równania natężeń przepływu

(ciągłość przepływu),

Model matematyczny

Równania sił i momentów

Równania te opisują równowagę elementów

ruchomych poddanych działaniu:

• sił F

(x) (momentów M

(φ)) – będących

funkcjami położenia x lub kąta obrotu φ
rozważanego obszaru płynu oraz kolejnych
pochodnych x lub φ.

• sil F

(w) (momentów) – będących funkcjami

parametrów zewnętrznych (np. sygnałów
sterujących, zakłóceń itd.) lub funkcjami
określonych zmiennych układu (ciśnienia,
natężenia przepływu, prędkości obrotowej itp.

Równania sił i momentów

• siły pochodzące od ciśnienia

statycznego cieczy roboczej którą
opisuje się zależnością:

• gdzie: p – ciśnienie, A – powierzchnia

robocza

• siła wywołana ugięciem sprężyny

• gdzie: c – napięcie wstępne

sprężyny, k – stała sprężyny, x-
ugięcie sprężyny











Równania sił i momentów

• siła tarcia lepkiego

gdzie: f – współczynnik tarcia lepkiego
• Współczynnik ten w przypadku siłownika przyjmuje

następująca postać:

• gdzie: ν – lepkość cieczy, D – średnica cylindra, d-

średnica tłoka, L – długość węzła uszczelniającego.

















Równania sił i momentów

• siła bezwładności (np. sprężyny)

• gdzie: m

– masa sprężyny



 



Równania sił i momentów

siła hydrodynamiczna wywołana zmianą

kierunku przepływu cieczy roboczej

• gdzie: ρ – gęstość cieczy, Q – natężenie

przepływu cieczy roboczej, v

– prędkość

cieczy przed zmianą kierunku przepływu,
v

– prędkość cieczy po zmianie kierunku

przepływu, θ – kąt odchylenia strugi
cieczy jednak nie większy niż 69



















cos

Równania sił i momentów

• moment na wałku wyjściowym

silnika

• gdzie: q

– chłonność jednostkowa

silnika obrotowego, Δp – różnica
ciśnień pomiędzy wejściem i
wyjściem z silnika hydraulicznego,
η

– sprawność mechaniczno

hydrauliczna









Równania sił i momentów

• moment obrotowy jaki trzeba

doprowadzić do wału pompy aby
otrzymać jej pracę

gdzie: q

– wydajność właściwa pompy,

– sprawność mechaniczno

hydrauliczna, Δp – różnica ciśnień
pomiędzy króćcem ssawnym a
tłocznym









Równania natężenia przepływu

Równania natężenia przepływu wyrażają

zasadę zachowania masy. Wśród nich można
wyróżnić następujące przepływy wywołane:

• natężeniem przepływu wywołane ruchem

tłoka siłownika

• gdzie: A – powierzchnia tłoka, dx/dt –

prędkość wysuwu tłoka



Równania natężenia

przepływu

• natężeniem przepływu wywołane

różnicą ciśnień

• gdzie: ξ – współczynnik strat

miejscowych, d – średnica rury
(dyszy)











Równania natężenia

przepływu

natężeniem przepływu wywołane

ściśliwością cieczy roboczej

gdzie: V – objętość cieczy, B – moduł

ściśliwości cieczy





Równania natężenia

przepływu

natężenie przepływu przez kapilarę

gdzie: G- przewodność kapilary

określona zależnością:

gdzie: d- średnica kapilary, l – długość

kapilary, µ - współczynnik lepkości
dynamicznej cieczy.









128











Równania natężenia

przepływu

wydajność pompy określona jest

zależnością:

gdzie: ε

- nastawa wydajności pompy,

– wydajność właściwa pompy

/obrót, η

v vol –

sprawność

objętościowa pompy, n – obroty
pompy.

vol

pnom









Równania natężenia

przepływu

natężenie przepływu przez zawór bezpieczeństwa – przy układaniu

równań opisujących działanie układu napędu hydraulicznego
wystarczy opisać jego działanie członem bezinercyjnym lub
inercyjnym pierwszego rzędu. Stąd postać równania:

gdzie: Q

– ilość cieczy wypływająca przez zawór przelewowy, p

–

wartość ciśnienia nastawiona na zaworze bezpieczeństwa, k –
współczynnik wzmocnienia wyznaczany z charakterystyk
statycznej zaworu bezpieczeństwa.















dla









Założenia upraszczające

• charakter przepływu – w elementach

oporowych układu można określić
metodami

doświadczalnymi

lub

analitycznymi. Stworzenie modelu
matematycznego

modelu

strefy

przejściowej między przepływem
turbulentnym

laminarnym

nastręcza szereg trudności. Dlatego
najczęściej przyjmuje się jeden
rodzaj

przepływu

przez

dany

element oporowy w całym zakresie
pracy układu.

Założenia upraszczające

• zjawisko kawitacji – na ogół przyjmuje się, że

zjawisko kawitacji w układzie hydraulicznym
nie występuje. Uwzględnienie kawitacji jest
trudne ze względu na skomplikowany opis
tego zjawiska,

• sprężystość ścianek – możliwość pominięcia

sprężystości ścianek elementów
hydraulicznych stosuje się przy średnich
ciśnieniach i stosunkowo małych
objętościach układu,

Założenia upraszczające

• przecieki – dla ogromnej większości

przypadków zakłada się laminarny
przepływ

przez

szczeliny.

przypadku

pomp

silników

hydraulicznych są proporcjonalne do
ciśnienia oraz zależą od częstości
obrotów,

• dla

silników

hydraulicznych

–

przyjmuje się, że straty tarcia są
proporcjonalne

prędkości

obrotowej i ciśnienia tłoczenia,

Założenia upraszczające

• w

modelu

pomp

silników

hydraulicznych – pomija się pulsację
wydajności,

tym

samym

nie

uwzględnia się wahań natężenia
przepływu i wywołanych tym pulsacji
ciśnienia w instalacji,

• w

pompach

silnikach

hydraulicznych

–

pomija

się

niestateczność charakterystyk przy
małych prędkościach kątowych.

Tłok ze sprężyną zwrotną ( bez tarcia,

bezwładności, przecieków, ciecz jest nieściśliwa)

równanie sił

równanie przepływu

Tłok plus tarcie lepkie

równanie przepływu

równanie sił

Tłok obciążony bezwładnością

równanie sił

równanie przepływu

Tłok ze sprężyną zwrotną, tarciem lepkim,

bezwładnością, przecieki, ciecz ściśliwa

Schemat układu

napędowego

Założenia upraszczające

•ciśnienie w układzie jest zawsze wyższe od ciśnienia

atmosferycznego,

•przyjęto, że gęstość, lepkość i moduł sprężystości

cieczy nie zmieniają się w czasie pracy układu,

•założono, że pomiędzy powierzchniami ruchomymi nie

występuje tarcie suche,

•założono, że w układzie nie występuje kawitacja,
•pominięto odkształcenia przewodów i elementów

hydraulicznych,

•pominięto wpływ skończonej prędkości rozchodzenia

się zaburzeń w ukła dzie,

•sprawność przeniesienia napędu pomiędzy silnikiem

spalinowym a pompą wynosi 100%

•ciśnienie w lini zlewowej ma wartość stałą p

=const.

Wykres momentu silnika Cummis

y = 9E-07x

- 0,0049x

+ 7,7684x - 2154,5

= 0,9862

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

500

1000

1500

2000

2500

Obroty silnika (obr/min)

)

Wykres
momentu

Wielom.
(Wykres
momentu)







2154

7684

0049













Wykres mocy silnika Cummins

y = -0,0001x

+ 0,5239x - 206,42

= 0,9921

100

150

200

250

300

500

1000

1500

2000

2500

Obroty silnika (obr/min)

iln

(

)

wykres mocy
Wielomian trendu

206

5239

0001













Moment dyspozycyjny na wyjściu z pompy

określony jest następującą zależnością

vol













Moc pompy określona jest zależnością

vol











Zainstalowana pompa posiada regulator stałej

mocy, to wydajność pompy dostosowuje się
samoczynnie do obciążenia w ten sposób, żeby
moc dyspozycyjna pompy była stała.

const

nom

pnom









const









Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

Równania momentów

hydrostatycznego silnika
obrotowego

Siły działające na gąsienicę podczas jazdy











sin



Silę oporu ruchu R

oblicza się jako iloczyn siły

ciężkości transportera i współczynnika f oporu
ruchu



cos

mgf

R 

ψ- kąt nachylenia płaszczyzny poślizgu ścinanego gruntu,
przyjmuje wartość od 10

do 45

L
p

Rodzaj podłoża

Współczynnik

oporu

ruchu f

droga gruntowa sucha – gleba
gliniasta

0,06

droga gruntowa sucha – gleba
piaszczysta

0,07

droga gruntowa błotnista o
wilgotności 20%

0,12-0,15

suchy piasek

0,15 -0,20

wilgotny piasek

0,10

Tabela 1. Wartości współczynników oporu ruchu
układu gąsienicowego f

Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

- moment oporu skrętu

gąsienicy

= M

Moment oporu tarcia w czasie skrętu

gąsienicy opisany jest zależnością































śr



















2
x

Równania matematyczne opisujące

przyjęty model

pompa – trójnik przed hydraulicznymi silnikami

obrotowymi























vols









vols









Document Outline