Zera, jedynki i dwójkowy zapis liczb

„Dobry Bóg stworzył 0 i 1, a cała reszta

jest robotą komputerów.”

(parafraza informatyków)

„Liczby naturalne stworzył

Dobry Bóg, a całą resztę

wymyślili ludzie.”

(powiedzenie matematyka L. Kroneckera)

1.

Komputery

to maszyny liczące, które wykonują

miliony operacji na minutę. Muszą więc posługiwać
się jakimś systemem liczenia.

2.

Komputery

to urządzenia, które działają na

zasadzie przesyłania i przetwarzania

impulsów

elektrycznych

. Każdy impuls niesie ze sobą pewną

ilość informacji.

3.

W urządzeniach komputerowych, które oparte są
na zastosowaniu elementów (układów)
elektronicznych, ten sposób reprezentacji (inaczej
kodowania) danych jest najprostszy. Polega bowiem
na pojawianiu się w kolejnych odstępach czasu

impulsów elektrycznych

(1) lub ich braku (0). Mogą

one reprezentować liczbę, znak, rozkaz lub adres
komórki pamięci.

Takie „

zero albo jeden

”, czyli „

jest albo nie ma

”,

najłatwiej zakodować (i potem odczytać), np.:



namagnesowany/rozmagnesowany (fragment
powierzchni dysku twardego)



prąd płynie/nie płynie (w elementach wewnątrz
komputera podczas pracy)



światło odbija się lub nie (od powierzchni płyty CD
lub DVD)

Wyobraź sobie np. latarkę, która świeci lub jest

zgaszona. Możemy przyjąć:



żarówka świeci (prąd płynie) – odpowiada

1



żarówka nie świeci (prąd nie płynie) – odpowiada

0

.

Komputer

jest systemem

wejść

i

wyjść

z procesorem w charakterze „mózgu".

Litery, cyfry, słowa, obrazy i dźwięki są
zrozumiałe dla człowieka, lecz nie dla
maszyny i dlatego muszą być
przetransponowane z formy czytelnej dla
człowieka na

formę czytelną dla komputera

,

czyli na

binarny system sygnałów

elektrycznych

. Służą do tego klawiatura,

pióra świetlne, mikrofony.
Informacja tak odczytana przez procesor jest
przechowywana i obrabiana, a następnie z
powrotem zamieniana na formę zrozumiałą
dla człowieka.

Dzisiejsze komputery używają

systemu

dwójkowego

(

binarnego

) składającego się z

zer

i

jedynek

. Jeden znak, a więc jedna

jedynka lub zero określana jest mianem

bitu

a

dokładniej mówiąc

bit

może być zobrazowany

jako

jedynka

lub

zero

.

Dwójkowy system
liczbowy

to pozycyjny

system liczbowy, w
którym podstawą
pozycji są

kolejne potęgi liczby
2

.

BIT

to najmniejsza porcja informacji

przechowywanej w komputerze,
przyjmuje jedną z dwóch wartości - 0 lub
1.

Bit i bajt

 bit

(od angielskiego określenia binary digit – cyfra dwójkowa)

reprezentacja

liczby

binarnej



bajt

to

osiem bitów

1B

(

bajt

)= 8 b (bitów)

1KB

(

kilobajt

) = 1024 bajtów

1MB

(

megabajt

)= 1024 KB = 1 048 576

bajtów

1GB

(

gigabajt

)=1024MB = 1024KB =

1 073 741 824 bajtów

1TB

(

terabajt

)= 1024GB = 1024MB =

1024KB =
1 099 511 627 776 bajtów

W bajtach i ich wielokrotnościach określa

się pojemności pamięci komputerowych.

Liczbę dziesiętną przedstawiamy w postaci
sumy potęg liczby 2.
Możemy w tym celu dzielić kolejno liczbę przez
2.

Zamiana liczby dziesiętnej na

liczbę dwójkową

– sposób I

Przykład:

37=2∙18+1=2∙(2∙9)+1=2∙2∙(2∙4+1)+1=2∙2∙2∙
4+2∙2+1=2∙2∙2∙2∙2+2∙2+1=
=2

5

+2

2

+2

0

=1∙2

5

+0∙2

4

+0∙2

3

+1∙2

2

+0∙2

1

+1∙2

0

Czyli liczba

37

ma w systemie dwójkowym postać

100101

Każda liczba podniesiona do

potęgi

zerowej

daje

jeden.

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na liczbę w
systemie dwójkowym polega na powtarzaniu dzielenia
liczby dziesiętnej przez 2 i zapisywaniu kolejnych reszt z
dzielenia. Z każdej otrzymanej reszty tworzony jest zapis
dwójkowy. Wynik odczytujemy w kolejności od
najmłodszego bitu do najstarszego, czyli odczytujemy go
od końca.

Zamiana liczby dziesiętnej na

liczbę dwójkową

– sposób II

172

: 2 = 86 reszta 0

86 : 2 = 43 reszta 0
43 : 2 = 21 reszta 1
21 : 2 = 10 reszta 1
10 : 2 = 5 reszta 0
5 : 2 = 2 reszta 1
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1

8

: 2 = 4 reszta 0

4 : 2 = 2 reszta 0
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1

Przykłady:

Dokonaj konwersji liczby 67

(10)

na system dwójkowy.

Zadanie

67 : 2

1

33 : 2

1

16 : 2

0

8 : 2

0

4 : 2

0

2 : 2

0

1 : 2

1

Odpowiedź:

67

(10)

= 1000011

(2)

Jak widzimy, wynik zgadza się. Widać również,
że zawsze na samym końcu po podzieleniu
będzie 0, zatem ostatnia liczba jest równa

1

.

Jeden podzielić na dwa zawsze wyjdzie 0,5
zatem wynik z resztą.
Co za tym idzie:

pierwsza cyfra w zapisie dwójkowym
jest ZAWSZE RÓWNA

1

.

Nie tylko matematycznie można to
udowodnić.
W elektronice, również musi być taka
postać rzeczy. Przyjęliśmy bowiem, że dla
komputera brak przepływu prądu
oznacza "0", natomiast przepływ prądu -
"1". Sygnał zatem nie może zaczynać się
od "0", gdyż jest to brak sygnału.
Procesor nie wie, czy sygnał już się
zaczął, czy jeszcze nie. Początek musi
być "1" (jest sygnał).

W liczbie 10010

(2)

pierwszą cyfrą jest 1, drugą 0, trzecią 0,

czwartą 1 i piątą 0.
Za literę

n

podstawiasz liczbę cyfr (u nas

5

)

minus 1

.

W naszym przypadku za n musimy podstawić

4

.

I znów kilka przykładów:

1111

(2)

= 8 + 4 + 2 + 1 =

15

(10)

1010101

(2)

= 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 =

85

(10)

101110

(2)

= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 =

46

(10)

Tak więc

10010

(2)

= 18

(10)

Przeliczanie

z systemu dwójkowego na

dziesiętny

System

dziesiętn

y

System

dwójkowy

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

Grupa cyfr

w systemie dziesiętnym i

dwójkowym

Powtórzenie wiadomości

GRUPA 1

GRUPA 2

1. Jaki system liczbowy jest

wykorzystywany w

działaniu komputerów?

2. Oblicz wartość dziesiętną

liczby binarnej 11111

(2)

3. Zamień liczbę (52)

(10)

na

liczbę binarną.

4. Zamień liczbę (01011)

(2)

na

liczbę dziesiętną.

1. Jaki inaczej nazywamy

system binarny?

2. Oblicz wartość dziesiętną

liczby binarnej 10101

(2)

3. Zamień liczbę (38)

(10)

na

liczbę binarną.

4. Zamień liczbę (10011)

(2)

na

liczbę dziesiętną.

DZIĘKUJĘ

ZA

UWAGĘ