Zera, jedynki i dwójkowy zapis liczb
„Dobry Bóg stworzył 0 i 1, a cała reszta
jest robotą komputerów.”
(parafraza informatyków)
„Liczby naturalne stworzył
Dobry Bóg, a całą resztę
wymyślili ludzie.”
(powiedzenie matematyka L. Kroneckera)
Zera, jedynki i dwójkowy zapis liczb
„Dobry Bóg stworzył 0 i 1, a cała reszta
jest robotą komputerów.”
(parafraza informatyków)
„Liczby naturalne stworzył
Dobry Bóg, a całą resztę
wymyślili ludzie.”
(powiedzenie matematyka L. Kroneckera)
1.
Komputery
to maszyny liczące, które wykonują
miliony operacji na minutę. Muszą więc posługiwać
się jakimś systemem liczenia.
2.
Komputery
to urządzenia, które działają na
zasadzie przesyłania i przetwarzania
impulsów
elektrycznych
. Każdy impuls niesie ze sobą pewną
ilość informacji.
3.
W urządzeniach komputerowych, które oparte są
na zastosowaniu elementów (układów)
elektronicznych, ten sposób reprezentacji (inaczej
kodowania) danych jest najprostszy. Polega bowiem
na pojawianiu się w kolejnych odstępach czasu
impulsów elektrycznych
(1) lub ich braku (0). Mogą
one reprezentować liczbę, znak, rozkaz lub adres
komórki pamięci.
Takie „
zero albo jeden
”, czyli „
jest albo nie ma
”,
najłatwiej zakodować (i potem odczytać), np.:
namagnesowany/rozmagnesowany (fragment
powierzchni dysku twardego)
prąd płynie/nie płynie (w elementach wewnątrz
komputera podczas pracy)
światło odbija się lub nie (od powierzchni płyty CD
lub DVD)
Wyobraź sobie np. latarkę, która świeci lub jest
zgaszona. Możemy przyjąć:
żarówka świeci (prąd płynie) – odpowiada
1
żarówka nie świeci (prąd nie płynie) – odpowiada
0
.
Komputer
jest systemem
wejść
i
wyjść
z procesorem w charakterze „mózgu".
Litery, cyfry, słowa, obrazy i dźwięki są
zrozumiałe dla człowieka, lecz nie dla
maszyny i dlatego muszą być
przetransponowane z formy czytelnej dla
człowieka na
formę czytelną dla komputera
,
czyli na
binarny system sygnałów
elektrycznych
. Służą do tego klawiatura,
pióra świetlne, mikrofony.
Informacja tak odczytana przez procesor jest
przechowywana i obrabiana, a następnie z
powrotem zamieniana na formę zrozumiałą
dla człowieka.
Dzisiejsze komputery używają
systemu
dwójkowego
(
binarnego
) składającego się z
zer
i
jedynek
. Jeden znak, a więc jedna
jedynka lub zero określana jest mianem
bitu
a
dokładniej mówiąc
bit
może być zobrazowany
jako
jedynka
lub
zero
.
Dwójkowy system
liczbowy
to pozycyjny
system liczbowy, w
którym podstawą
pozycji są
kolejne potęgi liczby
2
.
BIT
to najmniejsza porcja informacji
przechowywanej w komputerze,
przyjmuje jedną z dwóch wartości - 0 lub
1.
Bit i bajt
bit
(od angielskiego określenia binary digit – cyfra dwójkowa)
reprezentacja
liczby
binarnej
bajt
to
osiem bitów
1B
(
bajt
)= 8 b (bitów)
1KB
(
kilobajt
) = 1024 bajtów
1MB
(
megabajt
)= 1024 KB = 1 048 576
bajtów
1GB
(
gigabajt
)=1024MB = 1024KB =
1 073 741 824 bajtów
1TB
(
terabajt
)= 1024GB = 1024MB =
1024KB =
1 099 511 627 776 bajtów
W bajtach i ich wielokrotnościach określa
się pojemności pamięci komputerowych.
Liczbę dziesiętną przedstawiamy w postaci
sumy potęg liczby 2.
Możemy w tym celu dzielić kolejno liczbę przez
2.
Zamiana liczby dziesiętnej na
liczbę dwójkową
– sposób I
Przykład:
37=2∙18+1=2∙(2∙9)+1=2∙2∙(2∙4+1)+1=2∙2∙2∙
4+2∙2+1=2∙2∙2∙2∙2+2∙2+1=
=2
5
+2
2
+2
0
=1∙2
5
+0∙2
4
+0∙2
3
+1∙2
2
+0∙2
1
+1∙2
0
Czyli liczba
37
ma w systemie dwójkowym postać
100101
Każda liczba podniesiona do
potęgi
zerowej
daje
jeden.
Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na liczbę w
systemie dwójkowym polega na powtarzaniu dzielenia
liczby dziesiętnej przez 2 i zapisywaniu kolejnych reszt z
dzielenia. Z każdej otrzymanej reszty tworzony jest zapis
dwójkowy. Wynik odczytujemy w kolejności od
najmłodszego bitu do najstarszego, czyli odczytujemy go
od końca.
Zamiana liczby dziesiętnej na
liczbę dwójkową
– sposób II
172
: 2 = 86 reszta 0
86 : 2 = 43 reszta 0
43 : 2 = 21 reszta 1
21 : 2 = 10 reszta 1
10 : 2 = 5 reszta 0
5 : 2 = 2 reszta 1
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1
8
: 2 = 4 reszta 0
4 : 2 = 2 reszta 0
2 : 2 = 1 reszta 0
1 : 2 = 0 reszta 1
Przykłady:
Dokonaj konwersji liczby 67
(10)
na system dwójkowy.
Zadanie
67 : 2
1
33 : 2
1
16 : 2
0
8 : 2
0
4 : 2
0
2 : 2
0
1 : 2
1
Odpowiedź:
67
(10)
= 1000011
(2)
Jak widzimy, wynik zgadza się. Widać również,
że zawsze na samym końcu po podzieleniu
będzie 0, zatem ostatnia liczba jest równa
1
.
Jeden podzielić na dwa zawsze wyjdzie 0,5
zatem wynik z resztą.
Co za tym idzie:
pierwsza cyfra w zapisie dwójkowym
jest ZAWSZE RÓWNA
1
.
Nie tylko matematycznie można to
udowodnić.
W elektronice, również musi być taka
postać rzeczy. Przyjęliśmy bowiem, że dla
komputera brak przepływu prądu
oznacza "0", natomiast przepływ prądu -
"1". Sygnał zatem nie może zaczynać się
od "0", gdyż jest to brak sygnału.
Procesor nie wie, czy sygnał już się
zaczął, czy jeszcze nie. Początek musi
być "1" (jest sygnał).
W liczbie 10010
(2)
pierwszą cyfrą jest 1, drugą 0, trzecią 0,
czwartą 1 i piątą 0.
Za literę
n
podstawiasz liczbę cyfr (u nas
5
)
minus 1
.
W naszym przypadku za n musimy podstawić
4
.
I znów kilka przykładów:
1111
(2)
= 8 + 4 + 2 + 1 =
15
(10)
1010101
(2)
= 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 =
85
(10)
101110
(2)
= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 =
46
(10)
Tak więc
10010
(2)
= 18
(10)
Przeliczanie
z systemu dwójkowego na
dziesiętny
System
dziesiętn
y
System
dwójkowy
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
Grupa cyfr
w systemie dziesiętnym i
dwójkowym
Powtórzenie wiadomości
GRUPA 1
GRUPA 2
1. Jaki system liczbowy jest
wykorzystywany w
działaniu komputerów?
2. Oblicz wartość dziesiętną
liczby binarnej 11111
(2)
3. Zamień liczbę (52)
(10)
na
liczbę binarną.
4. Zamień liczbę (01011)
(2)
na
liczbę dziesiętną.
1. Jaki inaczej nazywamy
system binarny?
2. Oblicz wartość dziesiętną
liczby binarnej 10101
(2)
3. Zamień liczbę (38)
(10)
na
liczbę binarną.
4. Zamień liczbę (10011)
(2)
na
liczbę dziesiętną.
DZIĘKUJĘ
ZA
UWAGĘ