DYNAMIKA w UKŁADACH 
PRZENOSZENIA NAPĘDU

Schemat  układu  przenoszenia  napędu

1

Przyczyny zjawisk dynamicznych w UPN 

Ruch w UPN :

• ustalony (w czasie)

• nieustalony
      - zmienny krótkotrwale (rozruch, hamowanie, 
uderzenia, …)

      - zmienny długotrwale (wskutek zmienności zadań 
lub obciążeń
        użytkowych, wskutek zmienności warunków 
zewnętrznych itd.)

 

ω

t

M ≈ 
const

….

ω

t

obciążen
ia

obciążen
ia
M ≠ 
const

ω

t

v

v

ω

t

obciążen
ia
M ≠ 
const

ν ≈ ν

o

        

    M  

 

2

UPN  o jednym stopniu swobody (zał.- 
wszystkie elementy UPN doskonale sztywne)
Dynamika w okresie rozruchu.

Zadan
ie

W układzie przenoszenia napędu, przedstawionym na rysunku, znane 
są masowe momenty bezwładności : elementów silnika I

1

 ; przekładni 

zębatej, zredukowany do osi
wałka I-I, równy I

2

 ; oraz maszyny napędzanej, zredukowany do osi 

wałka II-II, równy
I

3

 . Znane jest także przełożenie i przekładni. W okresie rozruchu 

przyśpieszenie kątowe
wałka znajdującego się za sprzęgłem rozruchowym (ciernym) jest 
stałe i wynosi dω

2 

/dt .

Opory ruchu w przekładni są względnie bardzo małe, natomiast 
moment na wałku II-II,
wynikający z oporów ruchu w maszynie napędzanej, jest stały w 
okresie rozruchu i rów-
ny M

op

 .

Należy wyznaczyć maksymalne momenty, skręcające wałki w 
przekrojach A i B. 

  

3

Rozwiązanie  

- moment w przekroju A

Założenia upraszczające:

- wszystkie elementy dosk. 
sztywne

- dω/dt  jest stałe
- M

op

  jest stałe

- pozostałe opory pomijamy

A

I

zI

M

s

A

M

op

I

równanie redukcji (do 
wałka I-I)
oporów ruchu w 
rozważanym fragmencie 
UPN

równanie redukcji (do 
wałka I-I)
bezwładności w tym 
fragmencie UPN 

M

sA

 = ….

 

   

4

Dane liczbowe
I

2

 = 5 Nms

2

  (kg·m

2

)        I

3

 = 30 Nms

2

       

       i = 5
 M

op

 = 80 Nm                  (dω

2

/dt) = 30 

1/s

2        

           

5

Zadanie

W okresie rozruchu pewnej

 

maszyny za pomocą sprzęgła
ciernego moment tarcia rozwi-
jany w sprzęgle jest stały i wy-
nosi M

t

 . Wraz z rozruchem nie-

obciążonej maszyny następuje
rozruch koła zamachowego. 
Napęd
z silnika na maszynę i na koło 
zama-
chowe odbywa się za 
pośrednictwem
dwudrożnej przekładni zębatej z 
kołami

Silnik

Sprzęgło 
cierne

Maszyn
a

Koło
zamachow
e

a

1

2

II

II

3

o liczbach zębów: z

1 

, z

2 

 i  z

3

 . Moment oporów ruchu elementów 

maszyny w okresie rozruchu, zredukowany do osi II-II wałka 
wejściowego do maszyny, jest stały i wynosi M

op

 . Pozostałe 

opory ruchu w układzie są dużo mniejsze. Znane  są masowe 
momenty bezwładności: kół zębatych I

1

 , I

2

 i I

3

 względem ich osi, 

koła zamachowego I

k

 względem swojej osi oraz elementów 

maszyny I

M

 zredu- kowany do osi II-II. Momenty bezwładności 

wałków i elementów sprzęgła są
względnie małe.
Należy wyznaczyć moment skręcający w czasie rozruchu wałek, 
na którym osadzone jest koło zamachowe, w przekroju  a .

6

Rozwiązanie

Założenia upraszczające:
  - wszystkie elementy doskonale 
sztywne
  - M

t

 i M

op

 stałe w okresie 

rozruchu
  - brak innych oporów ruchu niż 
repre-
     zentowane przez M

op

 

  - momenty bezwładności 
wałków i ele-
     mentów sprzęgła są równe 
zeru.

a

M

a

I

k

M

op

k

M

a

 = 

··· 

?

?

7

Model dynamiki całego 
układu
podlegającego 
rozruchowi

M

t

M

op

1

I

z1

I

z1

 – moment bezwładności całego 

układu,    
        zredukowanej do osi sprzęgła
M

op1

 – moment oporów ruchu w 

całym
           układzie, zredukowanych do 
osi
           sprzęgła
        

równanie 
ruchu
 - równanie redukcji oporów 
ruchu

 - równanie redukcji 
bezwładności

8

Zadanie

W okresie rozruchu pewnej

 

maszyny za pomocą sprzęgła
ciernego moment tarcia rozwi-
jany w sprzęgle jest stały i wy-
nosi M

t

 . Wraz z rozruchem nie-

obciążonej maszyny następuje
rozruch koła zamachowego. Napęd
z silnika na maszynę i na koło zama-
chowe odbywa się za pośrednictwem
dwudrożnej przekładni zębatej z 
kołami
Oliczbach zębów: z

1 

, z

2 

 i  z

3

 . 

Moment oporów

Silnik

Sprzęgło 
cierne

Maszyn
a

Koło
zamachow
e

1

2

II

II

3

ruchu elementów maszyny w okresie rozruchu, zredukowany do osi II-
II wałka wejścio- wego do maszyny, jest stały i wynosi M

op

 . Pozostałe 

opory ruchu w układzie są dużo mniejsze. Znane  są masowe 
momenty bezwładności: kół zębatych I

1

 , I

2

 i I

3

 względem ich osi, koła 

zamachowego I

k

 względem swojej osi oraz elementów maszyny I

M

 

zredu- kowany do osi II-II. Momenty bezwładności wałków i 
elementów sprzęgła są względnie małe.
Należy wyznaczyć najmniejszą wartość momentu tarcia M

t min

 , 

potrzebną do rozruchu, i czas 

t

r

 

trwania rozruchu, jeśli prędkość 

kątowa wałka silnika w czasie rozruchu i po jego zakończeniu jest w 
przybliżeniu stała i wynosi ω

1

 , a  M

t

 = n·M

t min

 .

9

Model dynamiki całego układu podlegającego 
rozruchowi

M

t

M

op

1

I

z1

I

z1

 – moment bezwładności całego 

układu,    
        zredukowanej do osi sprzęgła
M

op1

 – moment oporów ruchu w 

całym
           układzie, zredukowanych do 
osi
           sprzęgła
        

 - równanie 
ruchu

1)  

M

t

 = 

···(?)

2) ….                   

t

r

 = ···

             

            

Rola sprzęgła ciernego w UPN

10

Zadanie

W okresie rozruchu pewnej

 

maszyny za pomocą sprzęgła
ciernego moment tarcia rozwi-
jany w sprzęgle jest stały i wy-
nosi M

t

 . Wraz z rozruchem nie-

obciążonej maszyny następuje
rozruch koła zamachowego. 
Napęd
z silnika na maszynę i na koło 
zama-
chowe odbywa się za 
pośrednictwem
dwudrożnej przekładni zębatej z 
kołami

Silnik

Sprzęgło 
cierne

Maszyn
a

Koło
zamachow
e

b

1

2

II

II

3

o liczbach zębów: z

1 

, z

2 

 i  z

3

 . Moment oporów ruchu elementów 

maszyny w okresie rozruchu, zredukowany do osi II-II wałka 
wejściowego do maszyny, jest stały i wynosi M

op

 . Pozostałe 

opory ruchu w układzie są dużo mniejsze. Znane  są masowe 
momenty bezwładności: kół zębatych I

1

 , I

2

 i I

3

 względem ich osi, 

koła zamachowego I

k

 względem swojej osi oraz elementów 

maszyny I

M

 zredu- kowany do osi II-II. Momenty bezwładności 

wałków i elementów sprzęgła są
względnie małe.
Należy wyznaczyć moment skręcający w czasie rozruchu wałek 
wejściowy maszyny, w przekroju  b .

11

Zadanie

b

a

W przedstawionym układzie napędu prądnicy zastosowano dwie 
przekładnie  zębate o przełożeniach  i

1

 oraz  i

2

 . Momenty 

bezwładności tych przekładni, zredukowane do osi wałków na wejściu 
do nich, wynoszą odpowiednio I

1 

oraz I

2

. Momenty bezwładności 

każdego ze sprzęgieł sztywnych oraz wirnika prądnicy względem ich 
własnych osi wynoszą odpowiednio I

sp

 i I

w

 . Po rozruchu silnika 

spalinowego następuje włączenie sprzęgła ciernego. Jest to sprzęgło 
służące do rozruchu prądnicy. W czasie rozruchu prądnicy moment 
tarcia rozwijany w tym sprzęgle jest stały i wynosi M

t

 , a moment 

oporów ruchu w napędzanej prądnicy zredukowany do osi wałka 
wejściowego do niej  też jest stały i równy M

op

. Pozostałe opory ruchu 

są względnie małe.
Należy wyznaczyć moment skręcający wałek b na wejściu do 
przekładni 2. 

12

UPN  o dwóch stopniach swobody 
( założenie: …)
            Dynamika w okresie po 
zakończeniu rozruchu.
            Źródła nierównomierności ruchu i 
drgań.
            Sprzęgła podatne.

13

Silni
k

Maszyna 
napędzana 
(zespół 
wykonawczy) 

Przekład
nia

Sprzęgło 
podatne

Sprzęgło 
sztywne

ω

1

ω

2

Zadanie

UPN, przedstawiony na rysunku, składa się z dwóch części 
połączonych za pomocą sprzęgła podatnego. Masowe momenty 
bezwładności 1.części i 2.części, zredukowane do osi wałków 1 i 2, 
wynoszą odpowiednio I

1

 i I

2

. Charakterystyka sztywnościowa 

sprzęgła jest liniowa, a współczynnik jego sztywności skrętnej 
wynosi c. Tłumienie w napędzanym układzie jest określone za 
pomocą współczynnika γ. W okresie ustalonej
pracy układu moment oporów ruchu w jego 2.części jest stały i 
wynosi M

2

= −M

m

 , nato-

miast moment czynny od silnika zmienia się zgodnie z funkcją M

1

(t) 

= M

m

+M

a 

sinνt . 

Zmienność momentu M

1

(t) wywołuje zmiany obciążeń elementów 

2.części UPN.
Należy wyznaczyć, o ile zmniejszy się maksymalny moment na wałku 
2 oraz amplituda 
tego momentu w okresie ustalonej pracy układu, jeśli podatność 
sprzęgła zwiększy się dwukrotnie. 

Dane
I

1

= 10 Nms

2

I

2

= 20 Nms

2

c= 7 
kNm/rad
M

m

= 200 Nm

M

a

= 30 Nm

ν = 40 1/s
γ = 0,10

14

Rozwiązani
e

Założenia upraszczające:
   - wszystkie elementy UPN, 
prócz
      sprzęgła podatnego, są 
doskonale
      sztywne
   - charakterystyka sprzęgła 
podatnego
     jest liniowa
   - opory ruchu - stałe w czasie

M

1

I

1

I

2

M

2

c

φ

1

φ

2

. . 
.
. . 
.

Dwa równania 
ruchu
 (p. Mechanika)

φ(t) = φ

2

(t)- 

φ

1

(t)

15

Rozwiązani
e

Założenia upraszczające:
   - wszystkie elementy UPN, 
prócz
      sprzęgła podatnego, są 
doskonale
      sztywne
   - charakterystyka sprzęgła 
podatnego
     jest liniowa
   - opory ruchu - stałe w czasie

M

1

I

1

I

2

M

2

c

φ

1

φ

2

. . 
.
. . 
.

Dwa równania 
ruchu
 (p. Mechanika)

φ(t) = φ

2

(t)- 

φ

1

(t)

M

2

(t

)

M

1

t

M

m

M

2

t

M

m

M

2

a

M

2ma

x

16

M

1max

 = M

m

 + M

a

M

2max

 = M

m

 + K

2a

·M

a

M

2a

standaryzowany 
współczynnik
zmiany amplitudy 
obciążenia
(współczynnik 
wzmocnienia …)

częstość drgań 
własnych
(swobodnych)

17

K

d

3

2

1

1

2

18

√2

2

K

d

3

2

1

1

    

c

'

c

"

ν

o

 [1/s]

K

d

 

  

K

2a

M

2a

 

[Nm]

M

2max

[N

m]

 

19

32,4 22,

9

1,7
8

0,5
1

1,18
7

0,34
0

35,
6

10,
2

235,6210,2

√2

20

Zadanie

Maszyna
(zespół 
wykonawczy)

Silnik

2

1

W

Pewien układ przenoszenia 
napędu
składa się z silnika tłokowego, 
jed-
nostopniowej przekładni 
zębatej i napędzanej maszyny. 
Silnik jest po-
 

łączony z przekładnią długim wałkiem W o względnie dużej 
podatności w sto- sunku do innych elementow układu. Moment 
M

1

(t) na wałku silnika charaktery- zuje się 

nierównomiernościami, które można opisać za pomocą 
wyrażenia

Zmienność tego momentu jest przenoszona na pozostałą część 
układu poprzez
wałek W. 
Należy przeanalizować możliwość pojawienia się w układzie 
drgań rezonanso- wych. Wskazać, jakie informacje są niezbędne 
do ilościowego przeanalizowania
tego zagadnienia.

          

21

Rozwiązanie

1)  Treść                model o dwóch stopniach swobody  

  

podatny wałek W (w roli sprzęgła 
podatnego)

2)  Okresowe nierównomierności momentu ( i ruchu)      
od strony
      silnika      

3)

K

d

1

1

ν/ν

o

√ 2

K

d

 > 1              

22

Zadanie

Silnik

Maszyna 
napędza
na

Sprzęgł
o

1

2

Pewien układ przenoszenia 
napędu
składa się z silnika, sprzęgła 
podat- nego i maszyny 
napędzanej. Masowe 
momenty bezwładności 
silnika i ma-
szyny, zredukowane do osi 
wałków
1 i 2, wynoszą odpowiednio I

1

 

=

= 6 Nms

2

  i I

2

 = 20 Nms

2

. W przewidywanym niedużym zakresie 

zmian mo- mentu obrotowego przenoszonego przez sprzęgło 
można przyjąć, że charakte-
rystyka sztywnościowa sprzęgła jest liniowa.
     1. Należy wyznaczyć współczynnik sztywności tego sprzęgła, 
wiedząc, że 
         moment obrotowy M = 420 Nm wywołuje względne 
przemieszczenie
          kątowe φ wałków 1 i 2 równe 0,1 rad.
      2. Należy przedstawić w formie poglądowej wykres 
rezonansowy dla rozwa-
          żanego układu.
       3. Czy w przypadku pojawienia się na wałku 1 okresowych 
zmian momentu
           obrotowego o częstotliwości  ν = 70 1/s sprzęgło to 
spełni rolę sprzęgła
           łagodzącego ? Współczynnik tłumienia w układzie γ = 
0,15.