Architektura komputerów

3. ARYTMETYKA

KOMPUTEROWA

3 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA

3.1 Systemy liczbowe
3.2 Arytmetyka dwójkowa
3.2.1 Operacje arytmetyczne w systemie

dwójkowym – liczby dodatnie

3.2.2 Operacje arytmetyczne w systemie

dwójkowym – kod bezpośredni

3.2.3 Operacje arytmetyczne w systemie

dwójkowym – kody uzupełnieniowe

3.3 Liczby zmiennoprzecinkowe
3.4 Znaki alfanumeryczne
3.4.1Kod ASCII

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

2 - 2

• Data 9.1.2013
• Pozycyjne systemy liczbowe:

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

3

r – podstawa; 10, 2, 8, 16
a

i

– współczynnik; 0  ai  r-1

n-1 – liczba cyfr całkowitych
m – liczba cyfr ułamkowych

1

0

1

2

1

...









a

a

a

a

a

N

n

n

1

1

0

0

1

1

2

2

1

1

10

10

10

...

10

10

























a

a

a

a

a

N

n

n

n

n

i

i

n

m

i

r

a

N











1

Przykład 3.1
• 234,56

10

• 1011,01

2

- ile to jest w systemie

dziesiętnym?

• 234,56

8

– ile to jest w systemie

dziesiętnym?

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

4

dziesiętn

y

dwójkowy

trójkowy ósemkowy szesnastko

wy

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

2

10

2

2

2

3

11

10

3

3

4

100

11

4

4

5

101

12

5

5

6

110

100

6

6

7

111

101

7

7

8

1000

 

10

8

9

 

 

11

9

10

 

 

 

A

11

 

 

 

B

12

 

 

 

C

13

 

 

 

D

14

 

 

 

E

15

 

 

 

F

16

 

 

 

10

17

 

 

 

11

18

 

 

 

 

19

 

 

 

 

20

 

 

 

 

21

 

 

 

 

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

5

Przykład 3.2
• 210,01

3

• F19A,1

16

- ile to jest w systemie

dziesiętnym

• Konwersja liczb

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

6

Dwójkowe kodowanie cyfr dziesiętnych

BCD (Binary Coded Decimal)

 

Kod dziesietny

Kod dwójkowo-

dziesiętny

(naturalny)

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

?

wagi

8421

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

7

Przykład 3.3
• 100000110110,00010101
• 801,17

• Rejestry – modulo n

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

8

3.2 Arytmetyka dwójkowa
3.2.1 Operacje arytmetyczne w systemie
dwójkowym – liczby dodatnie

• Dodawanie, odejmowanie

Przykład 3.4
• 110111 + 1011 =
• 1011 + 0,101 =

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

9

Przykład 3.5
• 110111 - 1011 =
• 1011 - 0,101 =
• 0,01 – 0,01101 =

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

10

• Mnożenie (rejestry mnożnika,

mnożnej, iloczynu)

Przykład 3.6
• 11101 * 1001 = + rysunek

rejestrów

• 101,011 * 11,0101 =  

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

11

• Dzielenie (gdy dzielnik nie jest liczbą

całkowitą, należy przesunąć
przecinek

Przykład 3.7
• 1101,1 : 10,11 =

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

12

3.2.2 Operacje arytmetyczne w systemie
dwójkowym – kod bezpośredni

• Kod bezpośredni – znak

.

moduł liczby

• Uzgadnianie znaku wyniku + operacje na

modułach

Przykład 3.8
• (-10111) + (1011) =1.10111 + 0.1011 =

(rejestry)

• (-1011) + (-0,101) =
• (-101,1) * (+11,01) =

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

13

3.2.3 Operacje arytmetyczne w systemie
dwójkowym – kody uzupełnieniowe

• Uzupełnienie r-te liczby N o podstawie r

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

14

n – liczba pozycji przed
przecinkiem

Przykład 3.9

N = 234,25

N

r

N

n





75

,

765

25

,

234

10

3







N

• Uzupełnienie dwójkowe liczby

• Przykład 3.10
• N = 1101,01

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

15

11

,

10

01

,

1101

10000

01

,

1101

10

4











N

Algorytm otrzymywania uzupełnienia dwójkowego
1. Analizę rozpoczynamy od najmniej znaczącej

pozycji

2. Najmniej znaczące pozycje liczby równe 0,

łącznie z pierwszą napotkaną jedynką
przepisujemy bez zmiany

3. Pozostałe pozycje liczby uzupełniamy dwójkowo

– 0 na 1, 1 na 0

Przykład 3.11
• N = 11001101,01000

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

16

11000

,

00110010



N

Kod uzupełnieniowy N

uzup

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

17

Przykład 3.12
N = +11001101,01000 N

uzup

=

0.11001101,01
N = -1011,0110 N

uzup

=

1.0100,1010



0

.

1

0

.

0







N

gdy

N

N

gdy

N

N

uzup

Algorytm dodawania liczb względnych w kodzie
uzupełnieniowym
1. Zapisać liczby w kodzie uzupełnieniowym
2. Dodać obie liczby łącznie z pozycjami znaków (ew.

przeniesienie na pozycji znaku gubi się

3. Gdy wynik dodawania ma na pozycji znaku 0, to

jest to liczba dodatnia zapisana w kodzie
bezpośrednim. Natomiast gdy na pozycji znaku
jest 1, to wynik jest ujemny, a liczba zapisana w
kodzie uzupełnieniowym i należy
przeprowadzićkonwersje do kodu bezpośredniego.

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

18

Przykład 3.13
Dodaj A = +1001111 oraz B = -0101101

• Kody bezpośredni A = 0.1001111 B =

1.0101101

• Kod uzupełnieniowy A

uzup

= 0.1001111 B

uzup

=

1.1010011

• (A + B)

uzup

= 0.1001111 + 1.1010011=

(1)0.0100010

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

19

3.3 Liczby zmiennopozycyjne

• Cechy (atrybuty) liczby rzeczywistej;

Znak, wielkość (zakres), dokładność

Przykład 3.14

- 2345,000006000
+ 0,0000000000001234
- 987654321,01

• Dostosowanie do operacji

„arytmetycznych”

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

20

• Liczby zmiennopozycyjne,

zmiennoprzecinkowe, notacja naukowa

• Zapis liczby zmiennoprzecinkowej

<znak mantysa wykładnik>

• s (sign) – znak liczby, 1, 0 lub -1
• M (mantissa) – znormalizowana mantysa, liczba

ułamkowa (lub jedna pozycja przed przecinkiem)

• B (base) – podstawa systemu liczbowego (2 dla

systemów komputerowych)

• E (exponent) – wykładnik, liczba całkowita

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

21

E

B

M

s

L 

Przykład 3.15

- 2345,000006000 => <- 2345000006 5>
+ 0,0000000000001234 => <+ 1234 -12>
- 987654321,01 => <- 98765432101 10>

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

22

• Notacja naukowa

• Notacja naukowa

L = znak mantysa E wykładnik

Przykład 3.16

- 2345,000006000 => - 2,345E3
+ 0,000 000 000 000 123 4 => + 1,234E-13
- 987 654 321,01 => - 9,8765432101E8

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

23

•

Ograniczona wielkość pól przeznaczonych
do zapisu mantysy i wykładnika

Przykład 3.17
Pole mantysy ma pięć pozycji, czyli

- 2345,000006000 =>

<- 2345000006 5> =>

<- 23450 5>

+ 0,0000000000001234 => <+ 1234 -12> =>

<+ 12340 -12>

- 987654321,01 => <- 98765432101 10> => <-

98765 10>

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

24

• Dwójkowa reprezentacja liczb

zmiennopozycyjnych

• Dla każdego pola liczby zmiennoprzecinkowej są

przeznaczone określone liczby bitów, w których
zapisuje się kody dwójkowe

Przykład 3.17
Pole mantysy ma pięć bitów + znak, a pole
wykładnika 3 bity + znak,

1 10100 0 100 => - 0,5*(10)

4

czyli jaki jest zakres możliwych liczb?

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

25

• Problem zakresu liczb

zmiennopozycyjnych

26.11.2013

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

26

0

+L

m

-L

m

-L

M

+L

M

Nadmi
ar
Overflo
w

Nadmia
r
Overflo
w

Niedomi
ar
Underflo
w

Konieczna
definicja,

• Standard IEEE 754

• Przybliżenie liczby rzeczywistej – zapis:

L= s 2

e

m

• mantysa

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

27

• Zero - można być zakodować na wiele

sposobów - jest kodowane 0 => s=+1,
w=0, m=0





1

,

0



m

• Znak - jeden bit, równy 0 (s= + ) lub 1 (s= - )
• Wykładnik - jak każda inna liczba całkowita w

kodzie uzupełnieniowym do dwóch.

• Mantysa jest mnożona przez 2

f

, gdzie  f  to liczba

bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako
liczba naturalna.

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

28

• Całość zajmuje kolejnych 4 (liczba krótka), 8

(liczba długa) albo 16 bajtów (podwójnej precyzji
– zależy od wymaganej precyzji.

Przykład 3.18
Liczba krótka

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

29

31

30

22

0

s

e

M (kod uzupełnieniowy)

1

8

23

Liczba długa

63

62

51 0

s

e

M (kod uzupełnieniowy)

1

8

23

• Operacje na liczba zmiennopozycyjnych

• Mnożenie, dzielenie
• Dodawanie, odejmowanie

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

30

3.4 Znaki alfanumeryczne

Kody alfanumeryczne stosuje się do
zapisu;

– cyfr,
– liter (różne alfabety),
– znaków pisarskich,
– znaków graficznych,
– znaków funkcyjnych (edytorskich)

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

31

3.4.1 Kod ASCII

• Kod ASCII – American Standard Code for

Information Interchange

• Istnieją:

– wersja 7 bitowa (wersja podstawowa) – każdy znak

zapisywany jest jako kod siedmiobitowy

– wersja 8 bitowa (wersja rozszerzona) – dla

dostosowania się do bajtowej organizacji pamięci i
ósmy bit jest zawsze równy zero

• „bardzo uporządkowany” standard np.

– duże i małe litery różnią się jednym ustalonym (6-tym)

bitem; 0 – duża litera, 1 – mała

– „numeracja” liter odpowiada kolejności w alfabecie

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

32

• Litery

• alfabetem podstawowym - alfabet łaciński –

tabela kodowa - i wtedy znaki są zapisywane jako

• inne alfabety -„własne rozszerzające tabele

kodowe” + odwołanie poprzez sekwencję
rozszerzającą (escape sequence) się znakiem
funkcyjnym ESC; zapis

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

33

0

Bity 7 - 1

1

Bity 7 - 1

• Cyfry

• zapis jednobajtowy – używany do przesłania

liczby

• zapis upakowany – do przetwarzania

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

34

0011

Kod BCD

Kod BCD

Kod BCD

• Znaki sterujące

• Ramka protokołu BISYNC (Binary Synchronous

Transmission) [WK?]

ArKom 2013 – 3. Arytmetyka

komputerowa

35

SY

N

SY

N

SO

H

nagłówek

ST

X

tekst

ET

X

BC

C

Znaki kodu ASCII

SOH – Start of Head
STX – Start of Text
ETX – End of Text

Znaki spoza kodu ASCII
SYN – synchronizacja
BCC – Block Check Character – znak kontrolny - nie

jest znormalizowane w kodzie ASCII i może to być
suma modulo 2