(5.59)

pozwalającej znormalizować dowolny czworokąt do kwadratu: - rys. 5.5b.
Po obliczaniu jakobianu przekształcenia (5.59) wystarczy zastosować kubaturę
Gaussa dla całki podwójnej w obszarze

(5.60)

przy czym współrzędne punktów Gaussa oraz wagi są takie same jak dla całek
pojedynczych, np. dla mamy



W podobny sposób stosowane są kubatury Gaussa do obliczania całek potrójnych w
znormalizowanym czworościanie i znormalizowanym sześcianie [24].


5.3. Rodzaje aproksymacji

Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej
ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla
danej funkcji takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej
przybliżają funkcję .
Potrzeba przybliżania danej funkcji inną funkcją pojawia się w wielu
zadaniach. Może mieć np. zastosowanie przy obliczaniu funkcji standardowych lub
wtedy, gdy funkcja jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem. Jednym ze
sposobów rozwiązania tego zadania jest przybliżanie funkcji sumami częściowymi
ich rozwinięć w szeregi Taylora - przykładami mogą być tu przedstawione w
rozdziałach 1.6 i 1.7 algorytmy obliczania wartości funkcji elementarnych.
Zadania aproksymacyjne mogą być formułowane bardzo różnie, w zależności od
przyjętego sposobu oszacowania błędów aproksymacji. Wyróżnia się trzy rodzaje
aproksymacji:
1) interpolacyjną,
2) jednostajną,
3) średniokwadratową.




Rys. 5.6

W przypadku aproksymacji interpolacyjnej, podobnie jak w zagadnieniu
interpolacji, żądamy spełnienia warunku, aby funkcja dana i funkcja szukana
przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów
węzłowych (rys. 5.6). Warunek ten może być uzupełniony warunkami wyrażającymi
równość pochodnych w węzłach, jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane.




Rys. 5.7
W przypadku aproksymacji jednostajnej funkcję przybliżamy taką funkcją która
daje najmniejsze maksimum różnicy między a w całym przedziale [a, b] - rys.
5.7

(5.61)

Twierdzenie Weierstrassa (rozdz. 4.4) gwarantuje, że zawsze można znaleźć
wielomian o dowolnie małym odchyleniu od funkcji na przedziale [a, b]. Nie ma
jednak ogólnej metody umożliwiającej znajdowanie wielomianu najlepszego
przybliżenia jednostajnego stopnia n dla dowolnej funkcji ciągłej na [a, b].
Jedną z metod aproksymacji jednostajnej jest metoda szeregów potęgowych.
Z punktu widzenia możliwości i wykorzystania maszyn cyfrowych do aproksymacji
jednostajnej wielu funkcji bardzo przydatne okazały się - rozważane już w
rozdziale 1.6 - przybliżenia wymierne



gdzie i są elementami tej samej bazy, a i - stałymi współczynnikami. Do
budowania przybliżeń wymiernych wykorzystywane są wielomiany potęgowe
(przybliżenia Padego) oraz wielomiany Czebyszewa (4.34) [1, 9].




Rys. 5.8

W przypadku aproksymacji średniokwadratowej jako miarę odchylenia funkcji od
danej funkcji przyjmujemy wielkość