Badanie centralnych zderzeń sprężystych i niesprężystych

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 13

Badanie centralnych zderzeń sprężystych i niesprężystych

I. Zagadnienia teoretyczne:

1) Zasada zachowania energii w mechanice.

W układzie izolowanym w którym zamiana energii pochodzi jedynie od sil

zachowawczych, energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich

suma czyli energia mechaniczna E mech nie może ulegać zmianie.

E_mech = E_p + E_k

2) Zasada zachowania pędu w mechanice.

W układzie izolowanym suma wektorowa pędów wszystkich ciał jest stała, co wyraża wzór:

Zasada zachowania pędu wynika z uogólnionej postaci II zasady dynamiki Newtona.

Zasadę zachowania pędu wyraża wzór:

gdzie: m – masa całego układu,

v – prędkość całego układu,

m₁ , m₂ , m₃ , …, m_n – masy poszczególnych ciał,

v₁ , v₂ , v₃ , …, v_n – prędkości poszczególnych ciał.

3) Zderzenie sprężyste.

Przy zderzeniu sprężystym energia kinetyczna każdego ze zderzających się ciał może się zmienić, lecz nie może ulec zmianie całkowita energia kinetyczna tych ciał.

Przykład:

W stanie spoczynku Przed zderzeniem Po zderzeniu

Energia i pęd układu przed zderzeniem wynosi:

gdzie: E_1p – energia początkowa 1 kuli,

E_2p – energia początkowa 2 kuli,

m₁ – masa kuli 1,

m'₁ – masa kuli + masa wieszaczka,

g – przyspieszenie ziemskie,

l – długość linki, na której zawieszone są kule,

α – kąt odchylenia kuli 1.

Energia i pęd układu po zderzeniu wynosi:

gdzie: E_1k – energia końcowa kuli 1,

E_2k – energia końcowa kuli 2,

m'₁ – masa kuli 1 + masa wieszaczka,

m'₂ – masa kuli 2 + masa wieszaczka,

g – przyspieszenie ziemskie,

l – długość linki, na której zawieszone są kule,

α₁ – kąt odchylenia kuli 1,

α₂ – kąt odchylenia kuli 2.

4) Zderzenia niesprężyste.

Zderzeniami niesprężystymi nazywamy zderzenia, w których energia kinetyczna całego układu nie jest zachowana.

Przykład:

W stanie spoczynku Przed zderzeniem Po zderzeniu

Energia i pęd układu przed zderzeniem wynosi:

gdzie: E_1p – energia początkowa 1 kuli,

E_2p – energia początkowa 2 kuli,

m₁ – masa kuli 1,

m'₁ – masa kuli + masa wieszaczka,

g – przyspieszenie ziemskie,

l – długość linki, na której zawieszone są kule,

α – kąt odchylenia kuli 1.

Energia i pęd układu po zderzeniu wynosi:

gdzie: E_1k – energia końcowa kuli 1,

E_2k – energia końcowa kuli 2,

m'₁ – masa kuli 1 + masa wieszaczka,

m'₂ – masa kuli 2 + masa wieszaczka,

g – przyspieszenie ziemskie,

l – długość linki, na której zawieszone są kule,

α' – kąt odchylenia kul.

II. Metodologia pomiarów:

Na rys. 3 pokazany jest schemat układu pomiarowego.

Rys. 3. Schemat układu pomiarowego do zderzenia kul

a) Kolejność pomiarów:

1. Na nakrętki zawieszek wkręcić dwie kule wskazane przez prowadzącego zajęcia, zwrócić uwagę czy układ jest wypoziomowany.

2. Kręcąc pokrętłem 7 umieszczonym na wsporniku górnym ustawić taką odległość między nitkami 10, aby kule stykały się ze sobą.

3. Poluzować śruby 9 i przesunąć uchwyty 8 do pozycji, w której ostrza zawieszek będą znajdować się w jednej płaszczyźnie z kątownikami ze stali 3; dokręcić śruby 9.

4. Skorygować centralne ustawienie kul doprowadzając do równości poziomów rys na kulach.

5. Ustawić kątowniki tak, aby ostrza zawieszek przy początkowym położeniu kul wskazywały kąt (regulacja odpowiednimi śrubami na kątowniku).

6. Ustawić elektromagnes w odległości wskazanej przez prowadzącego i na takiej wysokości, aby jego oś była przedłużeniem rys na skali (regulacja śrubami 4 i 5).

7. Włączyć przyrząd do sieci przyciskiem W1.

8. Nacisnąć przełącznik W3.

9. Pokrętłem 6 ustawić położenie elektromagnesu tak, trzymał on kulę w pozycji odchylonej.

10. Prawą kulę odciągnąć w stronę elektromagnesu i zablokować w tym położeniu, lewą ustawić nieruchomą w położeniu spoczynkowym.

11. Odczytać kąt .

12. Wcisnąć przełącznik W2.

13. Po zderzeniu kul zaobserwować, na jakie odległości kątowe i odbijają się kule. Zwrócić uwagę czy zderzenie jest centralne. Jeżeli nie, powtórzyć regulację opisaną w punktach 3÷5. Pomiary powtórzyć 10 razy.

14. Dokonać pomiaru długości zawieszenia kul rozumianą jako najkrótszą odległość między prętem wspornika górnego a środkiem kul, oraz na wadze analitycznej wyznaczyć masy i kul wraz z zawieszkami. Masa wieszaczka .

15. Pomiary powtórzyć dla innego zestawu kul.

16. Wykonać analogiczne pomiary dla zderzeń niesprężystych. W tym celu należy nakleić na jedną z kul niewielki plasterek plasteliny w miejscu zderzenia się z drugą kulą.

b) Wyniki pomiarów.

Tabela pomiarów dla zderzeń sprężystych

							l
[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ cm ]
12	10,0 9,9 10,1 9,8 10,3 9,7 10,2 10,0 9,9 10,1	10	10,3 ± 0,1	11,5 11,75 12,0 11,5 12,25 11,75 11,5 12,1 12,0 11,75	11,81	12,25 ± 0,1	50

Tabela pomiarów dla zderzeń niesprężystych

				l
[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ m ]
12	6,0 5,9 6,0 5,4 5,6 6,0 5,75 5,75 5,5 5,75	5,77	6,0 ± 0,1	0,50

III. Obliczenia:

1. Zderzenia sprężyste.

Obliczam energię potencjalną początkową dla kuli 1 o masie m'₁

m'₁ = m₁+m_w

m'₁ = 0,01728 kg + 0,1117 kg

m'₁ = 0,12898 kg

Obliczam błąd pomiaru dla:

a) masy kuli 1 – jest on równy 0,0001kg,

b) masy wieszaczka – przyjmuję, że nie zawiera ona błędu, gdyż była podana w treści ćwiczenia.

więc

c) długości linki – jest on równy 0,001m

d) kąta – jest on równy 0,1^o

e) przyspieszenia ziemskiego – przyjmuję, że nie zawiera ona błędu.

f) energii potencjalnej początkowej

po zaokrągleniu otrzymuję:

Po obliczeniu błędu energia potencjalna początkowa wynosi:

Obliczam energię potencjalną końcową dla kuli 2 o masie m'₂ dla 10 prób.

m'₂ = m₂ + m_w

m'₂ = 0,105 kg + 0,01728 kg

m'₂ = 0,12228 kg

lp.	α2[°]	Ek [J]
1	11,50	0,012056
2	11,75	0,012595
3	12,00	0,013135
4	11,50	0,012056
5	12,25	0,013675
6	11,75	0,012595
7	11,50	0,012056
8	12,10	0,013315
9	12,00	0,013135
10	11,75	0,012595
	Ekśr	0,012721

Obliczam błąd pomiarowy ze wzoru:

lp.	α2[°]	Ek [J]	Ek – Ekśr [J]	(Ek – Ekśr)^2[J^2]
1	11,50	0,012056	0,0006657596	0,0000004432
2	11,75	0,012595	0,0001259545	0,0000000159
3	12,00	0,013135	0,0004138505	0,0000001713
4	11,50	0,012056	0,0006657596	0,0000004432
5	12,25	0,013675	0,0009536556	0,0000009095
6	11,75	0,012595	0,0001259545	0,0000000159
7	11,50	0,012056	0,0006657596	0,0000004432
8	12,10	0,013315	0,0005937856	0,0000003526
9	12,00	0,013135	0,0004138505	0,0000001713
10	11,75	0,012595	0,0001259545	0,0000000159
	Ekśr	0,012721	SUMA	0,0000029819

Zastosuję teraz współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując za poziom ufności 0,95, który dla 10 prób wynosi

Zatem mogę teraz obliczyć błąd pomiaru:

po zaokrągleniu otrzymuję

Zatem energia końcowa wynosi:

Podczas opadania kulki 1 następuje zmiana energii potencjalnej w energię kinetyczną. Korzystając z tego, obliczę prędkość kulki 1.

Obliczam błąd ze wzoru:

gdy zaokrąglę, otrzymam:

Zatem wzór na prędkość wygląda następująco:

Teraz obliczam pęd początkowy ze wzoru:

Następnie obliczam błąd:

Zaokrąglając:

Po wyliczeniu błędu, pęd początkowy możemy zapisać:

Wyznaczę teraz pęd końcowy po zderzeniu:

masa kuli 2 m'₂ = m₂ + m_w = 0,12228 kg

Obliczam prędkość, korzystając ze wzoru:

lp.	α2[°]	v	pk
1	11,50	0,444051	0,054299
2	11,75	0,53795	0,065781
3	12,00	0,463507	0,055455
4	11,50	0,4440507	0,0542985
5	12,25	0,472936	0,057752
6	11,75	0,53795	0,065781
7	11,50	0,4440507	0,0542985
8	12,10	0,466671	0,057065
9	12,00	0,463507	0,055455
10	11,75	0,53795	0,065781
		pkśr	0,0585966

Z poniższego wzoru obliczam błąd pomiarowy:

lp.	α[°]	pk	pk - pkśr	(pk - pkśr)^2
1	11,50	0,054299	-0,004298	0,000018
2	11,75	0,065781	0,007184	0,000052
3	12,00	0,055455	-0,003142	0,000010
4	11,50	0,0542985	-0,004298	0,000018
5	12,25	0,057752	-0,000845	0,000071
6	11,75	0,065781	0,007184	0,000052
7	11,50	0,0542985	-0,004298	0,000018
8	12,10	0,057065	-0,001532	0,000002
9	12,00	0,055455	-0,003142	0,000010
10	11,75	0,065781	0,007184	0,000052
	pkśr	0,0585966	SUMA:	0,000303

Stosując metodę Studenta-Fishera, zakładając poziom ufności równy 0,95, który dla 10 prób wynosi , obliczam błąd:

co po zaokrągleniu daje:

Zatem pęd końcowy wynosi:

2. Zderzenia niesprężyste.

Przy obliczeniach dla zderzeń niesprężystych skorzystam z wyliczonych wcześniej wartości dla energii i pędu początkowego dla kuli1 o masie m'₁.

Obliczam teraz energię potencjalną końcową układu dwóch kul: kula1 + kula2, o masie całkowitej m_c=m'₁ + m'₂ = 0,25126 kg, korzystając ze wzoru:

lp	α'[°]	Ek [J]
1	6,0	0,00677836664999994
2	5,9	0,00653188058999997
3	6,0	0,00677836664999994
4	5,4	0,00542269331999995
5	5,6	0,0059156654399999
6	6,0	0,00677836664999994
7	5,75	0,00616215150000001
8	5,75	0,00616215150000001
9	5,5	0,00566917937999992
10	5,75	0,00616215150000001
	Ekśr	0,0062360973

Teraz obliczam błąd pomiarowy, korzystając ze wzoru:

Stosując współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując poziom ufności 0,95m który dla 10 prób wynosi , obliczam błąd:

co po zaokrągleniu daje:

Zatem energia końcowa wynosi:

Obliczam teraz pęd układu kul. Zacznę od obliczenia prędkości ze wzoru:

lp.	α'[°]	v	pk
1	6,0	0,232282156008591	0,0583632145187186
2	5,9	0,228019735987918	0,0572922388643242
3	6,0	0,232282156008591	0,0583632145187186
4	5,4	0,207759476318168	0,052201646019703
5	5,6	0,2169976958403	0,0545228410568337
6	6,0	0,232282156008591	0,0583632145187186
7	5,75	0,221472345903501	0,0556471416317137
8	5,75	0,221472345903501	0,0556471416317137
9	5,5	0,212428811605204	0,0533748632039237
10	5,75	0,221472345903501	0,0556471416317137
		pkśr	0,0559422658

Obliczam błąd pomiarowy ze wzoru:

lp.	α'[°]	pk	pk – pkśr	(pk – pkśr) ^2
1	6,0	0,0583632145187186	0,00242094875911047	0,00000586099289423855
2	5,9	0,0572922388643242	0,00134997310471607	0,00000182242738345675
3	6,0	0,0583632145187186	0,00242094875911047	0,00000586099289423855
4	5,4	0,052201646019703	-0,00374061973990514	0,000013992236038568
5	5,6	0,0545228410568337	-0,00141942470277447	0,0000020147664868464
6	6,0	0,0583632145187186	0,00242094875911047	0,00000586099289423855
7	5,75	0,0556471416317137	-0,00029512412789446	0,0000000870982508654654
8	5,75	0,0556471416317137	-0,00029512412789446	0,0000000870982508654654
9	5,5	0,0533748632039237	-0,00256740255568451	0,00000659155588293535
10	5,75	0,0556471416317137	-0,00029512412789446	0,0000000870982508654654
	pkśr	0,0559422658	SUMA:	0,0000422653

Stosując współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując poziom ufności 0,95m który dla 10 prób wynosi , obliczam błąd:

co po zaokrągleniu daje:

Stąd mogę określić wartość pędu końcowego:

Tabela wyników obliczeń:

Zadanie	Ep ± u(Ep)	Ek ± u(Ek)	pp ± u(pp)	pk ± u(pk)
-	[J]	[J]	[kg m/s]	[kg m/s]
Zderzenia sprężyste	0,013857 ± 0,00027	0,0127 ± 0,0004	0,05690 ± 0,00057	0,0585 ± 0,0042
Zderzenia niesprężyste	0,013857 ± 0,00027	0,00624 ± 0,00035	0,05690 ± 0,00057	0,0559 ± 0,0016

Wnioski:

1. Zderzenia sprężyste:

a) Zasada zachowania energii:

Ponieważ obliczone wartości energii początkowej i energii końcowej mają
bardzo zbliżone do siebie wartości, mieszczące się w granicach błędu (takie
odchylenie jest miarą niesprężystości zderzenia), można stwierdzić, że została
ona zachowana.

b) Zasada zachowania pędu:

Chociaż obliczone wartości pędu początkowego i końcowego mają
zbliżone do siebie wartości, to jednak nie mieszczą się one w granicach błędu.
Może to być spowodowane niedokładnością pomiarów, wynikającą
z niedoświadczenia mierzącego, lub spowodowane pominięciem błędu
związanego z siłą tarcia. Ponieważ różnica ta jest niewielka,
można założyć, że została zachowana zasada zachowania pędu.

2. Zderzenia niesprężyste:

a) Zasada zachowania energii:

Ponieważ obliczone wartości energii początkowej i energii końcowej mają
znacznie różniące się od siebie wartości, przy czym energia końcowa jest rażąco
mniejsza od energii początkowej, dlatego można stwierdzić, że część
energii zamienia się w energię cieplną, stąd te różnice. Można stwierdzić, że
zasada zachowania energii jest zachowana.

b) Zasada zachowania pędu:

Ponieważ obliczone wartości pędu początkowego i końcowego mają
bardzo zbliżone do siebie wartości, mieszczące się w granicach błędu, można
stwierdzić, że zasada zachowania pędu została zachowana.

17/17