Analiza kinetyczna i kinetostatyczna mechanizmu płaskiego.

Zadanie 6B. Mechanizm suwakowy.

Zakres danych	Parametry mechanizmu
1. Struktura mechanizmu	-^0-p-^1(z)-(p-^2(z)-o-^3(z)-p-^0)
2. Parametry kinematyczne członu napędzającego	(s1, v1, a1)
3. Masy i parametry bezwładności członów (mi, Jsi)	(m3,0)
4. Obciążenie uogólnionymi siłami zewnętrznymi (Pi, Mi)	(P2,0) (P3,0)
5. Uogólniona siła równoważąca do wyznaczenia (PR1 lub MR1)	PR1

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu.

Dane mechanizmu:

A (0,0)

B (0,30)

C (30,80)

D (60,100)

E (80,100)

F (0,100)

Wyznaczanie ruchliwości i klasy grupy strukturalnej mechanizmu

Ruchliwość mechanizmu płaskiego obliczamy ze wzoru:

gdzie, n – liczba członów ruchomych

p5 – pary kinematyczne klasy piątej

p4 – pary kinematyczne klasy czwartej

n = 3, p5 = 4, p4 = 0

Mechanizm ten ma ruchliwość równą 1.

Mechanizm składa się z członu napędzającego i jednej grupy strukturalnej :

Człon napędzający:

Grupa strukturalna:

n = 2, p5 = 3

Jest to grupa strukturalna klasy 2.

ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU

Do obliczeń przyjąłem, że człon napędzający porusza się ze stałym przyspieszeniem a_B = 15 mm/s². Obliczenia będą przeprowadzane położenia mechanizmu przy czasie t = 2 s.

Prędkość członu napędzającego wyznaczam ze wzoru :

Przemieszczenie członu napędzającego będzie dane funkcją czasu:

dla t = 2s:

PLAN PRĘDKOŚCI

Szukana jest prędkość punktu C, na którą składa się prędkość unoszenia (prędkość członu napędzającego), oraz prędkość względna, czyli prędkość z jaką człon 2 porusza się względem członu napędzającego.

V_B – znane wartość oraz kierunek działania

V_CB – znany kierunek działania (równoległy do prowadnicy CB)

V_C – znany kierunek działania (równoległy do prowadnicy DF)

Zapisuję zatem równanie wektorowe:

Rozwiązanie wykreślne powyższego równania wykonane w programie AutoCad 2010 przedstawia rysunek obok. Wszystkie wartości liczbowe podane są w .

Z racji tego, że , plan prędkości dla analizowanego mechanizmu wygląda tak:

PLAN PRZYSPIESZEŃ

Jako, że żaden z członów nie porusza się ruchem obrotowym, występowały będą jedynie przyspieszenia liniowe pochodzące od przyspieszenia liniowego członu napędzającego. W praktyce przyspieszenia liczone będą analogicznie jak prędkości.

a_B – znane wartość oraz kierunek działania

a_CB – znany kierunek działania (równoległy do prowadnicy CB)

a_C – znany kierunek działania (równoległy do prowadnicy DF)

Równanie wektorowe rozwiązanie wykreślnie na rysunku obok:

Przyjmując, że , plan przyspieszeń dla analizowanego mechanizmu wygląda następująco:

WYZNACZANIE PRZYSPIESZEŃ I PRĘDKOŚCI METODĄ ANALITYCZNĄ

Do analitycznego wyznaczenia prędkości i przyspieszeń poszczególnych członów zostanie użyta metoda wieloboku wektorowego. Polega ona na wrysowaniu zamkniętego wieloboku wektorowego w analizowany mechanizm, a następnie napisaniu równań, w których suma rzutów wektorów na poszczególne osie równa się zero. Po rozwiązaniu równań (wyznaczeniu wszystkich niewiadomych), wartość prędkości wyznaczamy różniczkując otrzymany wynik. Aby uzyskać przyspieszenie należy policzyć drugą pochodną. Zaletą metody analitycznej jet to, że za jej pomocą można wyznaczyć prędkości i przyspieszenia w dowolnej chwili czasu, a nie tylko w zadanym położeniu mechanizmu jak w przypadku metody grafoanalitycznej.

Zapisuję równanie wektorowe postaci:

Rozpisując je na poszczególne osie otrzymuję:

Są tylko dwie niewiadome, więc ilość równań jest wystarczająca do rozwiązania układu.

Po uwzględnieniu kątów otrzymuję:

Wyznaczam L₄ z pierwszego równania:

Podstawiam L₄ do drugiego równania aby wyznaczyć L₂:

Prędkość V_C wyznaczam licząc pierwszą pochodną z L₄, prędkość względną V_CB otrzymam po policzeniu pierwszej pochodnej z L₂.

Przyspieszenia wyznaczam analogicznie licząc drugie pochodne L₂ i L_4.

Po podstawieniu wartości otrzymuję następujące wyniki:

ANALIZA KINETOSTATYCZNA MECHANIZMU

Mechanizm obciążam następującymi siłami: P₃ = 40 N, P₂ = 15 N, masa członu trzeciego wynosi m₃ = 1 kg. Celem analizy kinetostatycznej jest wyznaczenie sił reakcji pomiędzy członami, oraz sił i momentów równoważących siły zewnętrzne, tak, by mechanizm poruszał się w zdany sposób. Zakładam że mechanizm pracuje w płaszczyźnie poziomej, w związku z tym nie uwzględniam sił ciężkości. Z warunków zadania masę posiada tylko człon trzeci, przyjąłem, że jest ona skupiona w punkcie D, który jest zarazem środkiem masy tegoż członu.

Wymiary:

CB = 80 mm = 0,08 m

CD = 36 mm = 0,036 m

DE = 30 mm = 0,03 m

Uwalniam wszystkie człony od więzów, zastępując ich oddziaływania odpowiednimi siłami.

Człon trzeci:

Oddziaływania członu drugiego rozpisuję jako reakcję normalną i styczną do toru ruchu punktu D. Oddziaływania od podłoża (prowadnicy) zostały zastąpione przez reakcję normalną do prowadnicy oraz przez moment skupiony w punkcie D. Oprócz sił reakcji na człon trzeci działają jeszcze siła zewnętrzna P₃, oraz siła bezwładności B₃, którą pominę w dalszych obliczeniach, ponieważ jest zaniedbywalnie mała w stosunku do pozostałych sił. Gdyż:

Człon drugi:

Do członu drugiego przyłożona jest siła zewnętrzna P₂. Na człon ten oddziałuje także człon trzeci, oraz pierwszy. Reakcje od członu trzeciego są takie same co do wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie jak reakcje zastępujące oddziaływanie członu drugiego na trzeci. Oddziaływanie członu pierwszego zastąpione jest siłą normalną do prowadnicy R₁₂, oraz momentem skupionym M₁₂ w punkcie C.

Człon pierwszy:

Na człon pierwszy działa jedynie reakcja pochodząca od członu drugiego R₂₁. Siła równoważąca, oraz reakcja od podłoża (prowadnicy), w postaci siły i momentu skupionego.

Po uwolnieniu mechanizmu od więzów przystępuje do napisania równań równowagi dl grupy strukturalnej.

Równanie dla członu trzeciego:

Równanie dla członu drugiego:

Po dodaniu równań stronami zredukują się siły gdyż mają takie same wartości, lecz przeciwne zwroty. W efekcie otrzymamy jedno równanie równowagi dla grupy strukturalnej z dwoma niewiadomymi.

Opowiada ono takiemu układowi sił:

Jako, że otrzymane równanie wektorowe, ma tylko 2 niewiadome, więc można je rozwiązać bez pisania dodatkowych równań. Wykreślne rozwiązanie tego równania wykonane przy pomocy programu AutoCad 2010 przedstawione jest na następnym rysunku. Wyniki podane są w Newtonach.

Moment dla członu trzeciego wyznaczam z równania:

Moment dla członu drugiego:

α = 42,84^o

R₃₂ = 64,41 N

Następnie wyznaczam siły działające na człon napędzający.

Zapisuję równania równowagi:

Po rozpisaniu sumy sił, na sumę rzutów sił na poszczególne osie otrzymujemy:

Moment działający na człon pierwszy wynosi:

METODA MOCY CHWILOWYCH

Dane:

Suma mocy chwilowych sił czynnych powinna być równa zeru, więc zapisuje równanie:

Po przekształceniach:

MODELOWANIE PROGRAMEM KOMPUTEROWYM SAM

Wykres prędkości punktu C utworzony w programie SAM:

Wykres siły równoważącej:

PORÓWNANIE WYNIKÓW

KINEMATYKA
	m. grafanalityczna	m. analityczna	SAM
VC [mm/s]	80,78	80,78	80
VCB [mm/s]	75	75	75
aC [mm/s^2]	40,39	40,39	---------------------
acb [mm/s^2]	37,5	37,5	---------------------
KINETOSTATYKA
	m. grafoanalityczna	m. mocy chwilowych	SAM
FR [N]	62,64	62,5	62,17

Porównywalne, a w niektórych przypadkach wręcz pokrywające się wyniki świadczą o tym że obliczenia zostały przeprowadzone prawidłowo.

Opracował:

Dominik Wąż