1. Mając poniższe dane oszacowano parametry następującej funkcji regresji II rodzaju: Z*=aY+b. Otrzymano szacunki: a=2, b=5. Zbadaj wszechstronnie jak dobrze wyznaczona funkcja pozwala wyjaśnić zaobserwowaną zmienność Z. Wylicz odpowiednie miary i zinterpretuj. 2014

							Suma
Z	6	12	5	10	13	8	54
Y	1	3	0	3	4	1	12
Z*=2Y+5	7	11	5	11	13	7
zi-zśr	-3	3	-4	1	4	-1
(zi-zśr)^2	9	9	16	1	16	1	52
zi-zi*	-1	1	0	-1	0	1
(zi-zi*)^2	1	1	0	1	0	1	4

Zśr=54/6=9

W=1/9=0,11=11%

Około 8% zmian Z nie zostało wyjaśnione zmianami Y, z czego wynika, że około 92% zmian Z zostało wyjaśnione zmianami Y.

Wariancja resztowa wynosi jeden, tak jak i odchylenie standardowe reszt, co oznacza, że wartości teoretyczne odchylają się od wartości empirycznych przeciętnie o 1.

Błąd standardowy reszt wynosi 11% przeciętnego poziomu zmiennej objaśnianej.

2. Dla poniżej podanych danych należy oszacować metodą najmniejszych kwadratów liniową funkcję regresji II rodzaju oraz zbadać porządnie jak dokładnie funkcja ta pozwala wyjaśnić zaobserwowaną zmienność Y. Gdyby ta dokładność była niezadowalająca, co można zrobić, aby ją polepszyć?

							Suma
Y	1	2	4	0	7	10	24
X	2	1	3	0	4	4	14
xi^2	4	1	9	0	16	16	46
xi*yi	2	2	12	0	28	40	84
yi^=2,1x+6b	3,3	1,2	5,4	-0,9	7,5	7,5	0
(yi-yi^)^2	5,29	0,64	1,96	0,81	0,25	6,25	15,2
(yi-yśr)^2	9	4	0	16	9	36	74

Ysr= 24/6=4

Około 21% zmian Y nie zostało wyjaśnione zmianami X z czego wynika, że około 79% zmian Y zostało wyjaśnione zmianami X.

Wariancja resztowa wynosi 3,8, odchylenie standardowe reszt: 1,95, co oznacza, że wartości teoretyczne odchylają się od wartości empirycznych przeciętnie o 1,95.

Błąd standardowy reszt wynosi 49% przeciętnego poziomu zmiennej objaśnianej.

3. Badano zmiany sprzedaży piwa w Kompanii Piwowarskiej w latach 2009-2011 i otrzymano poniżej podane dane. Wiadomo, że w latach 2009-2011 średnioroczne tempo wzrostu sprzedaży napojów w cenach stałych wynosiło 5% średniorocznie. Oceń jak na tle zmian cen w całej grupie produktów (napoje) zmieniał się rozmiar sprzedaży wyrobów Kompanii (jako całości). 2012 mega typowe zadanie zmieniają się tylko dane :))

Browar	Mln hl 2009 q0	Mln hl 2011 qt	Cena 2009 p0	Zmiana cen %	pt	ptq0	p0q0	ptqt	p0qt
Tychy	7	8	10	10,00% wzrostu	11	77	70	88	80
Lech	4	5	12	Bez zmian	12	48	48	60	60
Dojlidy	1	2	8	Spadek 20%	6,4	6,4	8	12,8	16
SUMA						131,4	126	160,8	156

Jeżeli mamy zmianę cen musimy korzystać ze wskaźników:

• dowiedzieć się czy wystarczy jeden, czy należy obliczyć wszystkie

Ilp = 131,4/126 = 1,04 ← -1 * 100% = 4%

Ipp = 160,8/156 = 1,03 ← -1 * 100% = 3%

Ifp = 1,03 ← -1 * 100% = 3%

Komentarze:

ILp: Łączna wartość sprzedaży zmieniła się w okresie badanym w porównaniu do okresu podstawowego w wyniku zmian cen sprzedanych artykułów o 4% (pod warunkiem, że ilości sprzedanych artykułów w okresie badanym są równe ilościom artykułów sprzedanych w okresie podstawowym).

IPp: Łączna wartość sprzedaży zmieniła się w okresie badanym w porównaniu do okresu podstawowego w wyniku zmian cen sprzedanych artykułów o 3% (pod warunkiem, że ilości sprzedanych artykułów w okresie podstawowym są równe ilościom artykułów sprzedanych w okresie badanym).

IFp: Przeciętnie łączna wartość sprzedaży w okresie badanym w porównaniu do okresu podstawowego w wyniku zmian cen sprzedanych artykułów zmieniła się o 3%.

4. Badano zmiany sprzedaży piwa z Browaru Tychy i otrzymano wyniki. Wiadomo, że wartość sprzedaży piwa z Browaru Żywiec w tym samym czasie przy cenach stałych z 2000 roku wzrastała o 5% rocznie. Czy sprzedaż piw z tyskiego browaru wzrastała szybciej czy wolniej i o ile procent?

Rodzaj piwa	2000 ilość hl q0	2000 cena p0	2002 ilość hl qt	2002 cena pt	p0qt	p0q0
Gronie	20	6	30	7	180	120
Książęce	20	5	30	7	150	100
Specjalne	30	10	30	12	300	300
Suma					630	520

Aby porównać musimy użyć wskaźnika ilościowego, który odnosi się do roku bazowego czyli:

ILq = 1,21 ← -1 * 100% = 21%

Sprzedaż piw wzrastała szybciej o 16%.

5. Wiadomo, że w latach 2009-2013 wskaźnik wzrostu sprzedaży towarów żywnościowych wynosił przy stałych cenach jak w roku 2009 średniorocznie 1,01. Oceń czy sprzedaż przez naszą firmę w tych samych warunkach całej grupy produktów w tym samym czasie rosła wolniej czy szybciej i o ile. 2014 i było też na innych egzaminach

Wyrób	Ilość kg 2009 q0	Ilość kg 2013 qt	Cena 2009 p0	Cena 2013 pt	p0qt	p0q0
Serki	500	400	20	16	8000	10000
Ser A	100	150	80	120	12000	8000
Ser B	100	70	120	120	8400	12000
Ser T	100	110	200	240	22000	20000
Suma					50400	50000

Rozwiązujemy na tej samej zasadzie co powyższe.

ILq = 1,008 ← -1 * 100% = 0,8%

Sprzedaż towarów żywnościowych w latach 2009-2013 wzrastała średnioroczne o 1%, natomiast sprzedaż naszych produktów wzrastała wolniej o 0,2%.

6. Zebrano dane o wydatkach w supermarkecie grupy klientów:

zł	Liczba klientów	cumni	g=ni/c0
50-99	50	50	1,02	najgęstszy i tu zawiera się poz. Me
100-199	40	90	0,4
200-499	10	100	0,03	poz.Me = 100/2 = 50

Wyznacz dominantę i drugi kwartyl czyli mediana. Sporządź wykres (?)

Szereg rozdzielczy o nierównych przedziałach, korzystamy ze wzorów:

D = 50 + ((1,02 – 0)/(1,02 – 0) + (1,02 – 0,4)) * 49 = 80,48

Me = 50 + (50 – 0) * 49/50 = 99

7. Badano szybkość autobusów i otrzymano wyniki. Podaj i zinterpretuj miarę względnego rozproszenia. Zmierz asymetrię.

Szybkość (km/h)	Droga (km)	cumni
Poniżej 20	100	100
20-29	500	600
30-39	1050	1650
40-59	1500	3150
60-79	700	3850

Aby zbadać miarę względnego rozproszenia, korzystamy ze wzoru:

, gdzie

poz.Q1 = 3850*0,25 = 962,5

poz.Q2 = 3850*0,5 = 1925

poz.Q3 = 3850*0,75 = 2887,5

Q1 = 30 + (962,5 – 600) * 9/1050 = 33,1

Q2 = Me = 40 + (1925 – 1650) * 19/1500 = 43,48

Q3 = 40 + (2887,5 – 1650) * 19/1500 = 55,67

Q = 11,285

Vq(x) = 0,26 = 26 % - zróżnicowanie szybkości autobusów jest przeciętne

Asymetrię mierzymy współczynnikiem:

Aq = 0,08

Skoro współczynnik jest dodatni to asymetria jest prawostronna.

8. Badano ceny (zł/szt) pewnego przedmiotu i otrzymano poniżej podane dane. Oceń szczegółowo jak zmieniły się jednostkowe ceny od ubiegłego roku, jeśli wówczas średnia wynosiła 8 zł/szt, był symetryczny, kwantyl 0,1 wynosił 5 zł, współczynnik zmienności wynosił 50%, a powyżej 12 zł nie sprzedano ani jednej sztuki.

Zł/szt (xid-xig)		Wartość zł	xi^	ai/xi	cumni	g=ni/c0	(xi^-xśr)^2*ni
2	6	40	4	10	40	10	176,4
6	8	210	7	30	250	105	43,2
8	10	450	9	50	700	225	32
10	14	120	12	10	820	30	144,4
suma		820		100			396

Obliczamy śr. harmoniczną:

czyli xśrH = 820/100 = 8,2

Średnia cena w tym roku jest 20 groszy wyższ niż w roku poprzednim.

Ocena asymetrii:

poz.Me = 410

Me = 8 + (410-250) * 2/450 = 8,71

D = 8 + (225-105)/(225-105) + (225-30) * 2 = 8 + 120/(120+195) *2 = 8,76

śr --- Me --- D

8,2 <8,71<8,76 – szereg asymetryczny lewostronny

Q0,1

poz.Q0,1 = 82

Q0,1 = 6 + (82 – 40) * 2/210 = 6,4 Pierwszy kwantyl cen (czyli pierwsze 10% najniższych cen) wzrósł o 1,4 zł.

Wsp. zmienności

, gdzie

S^2(x) = 396/820 = 0,48

S(x) = 0,69

V(x) = 0,08