dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 8 (45) Otwieramy cykl odcinków poświęconych omawianiu zadań z wymienionego w tytule egzaminu. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje.
EGZAMIN; FIR STUDIA DZIENNE
4 CZERWCA 2012
ZADANIE 1
Odcinek ten obejmuje rozwiązywanie układów równań metodą Gaussa; układy są nieoznaczone, a więc ważne jest zapisywanie rozwiązania z użyciem parametru.
Zadanie 1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
Polecenie a)
Dane są trzy równania oraz cztery niewiadome; w takiej sytuacji układ na pewno nie będzie oznaczony. Może więc być bądź nieoznaczony, bądź sprzeczny. Metoda Gaussa pozwoli nam ten dylemat rozstrzygnąć; jeśli układ okaże się nieoznaczony, wówczas stosując konsekwentnie metodę Gaussa dostaniemy rozwiązanie. Zaczniemy od zapisu macierzowego układu (1)
;
kolejne kolumny po lewej stronie niebieskiej kreski oznaczają współczynniki przy niewiadomych, odpowiednio: x, y, z, t , po prawej stronie kreski znajdujemy tzw. wyrazy wolne. Z prawej strony macierzy kolorem pomarańczowym zaznaczyliśmy plan wykonywania operacji elementarnych Gaussa. Będziemy w pamięci mnożyć wiersz trzeci przez minus dwa i dodamy do pierwszego. Robimy to w tym celu, aby uzdatnić kolumnę pierwszą. Uzdatnić, to znaczy doprowadzić do sytuacji, że w kolumnie tej li tylko jeden wyraz będzie różny od zera. Uważny Czytelnik zauważy, że nie robimy nic innego, jak tylko mnożymy w pamięci obustronnie trzecie równanie przez minus dwa i dodajemy stronami do pierwszego, w celu wyrugowania z równanie pierwszego niewiadomej x. Metoda Gaussa jest zatem niczym innym, jak metodą przeciwnych współczynników znaną z programu gimnazjum.
Wykonajmy plan zaznaczony kolorem pomarańczowym we wzorze (2), otrzymamy kolejną postać układu równań:
;
nad pierwszą kolumną pojawił się znaczek OK. co oznacza, że kolumna jest uzdatniona, czyli tylko jeden z tworzących ją elementów jest różny od zera. Z prawej strony wzoru (3) zaznaczyliśmy plan uzdatnienia kolumny drugiej, w tym celu wiersz pierwszy mnożymy w rozumie przez minus trzy i dodajemy do wiersza drugiego, a oto, co otrzymamy:
;
uzdatnione już są kolumny pierwsza i druga, co uwypuklono nad macierzą (4); aby uzdatnić kolumnę trzecią, trzeba za pomocą drugiego wiersza wykonać dwie operacje elementarne: drugi wiersz dodać do pierwszego oraz drugi przemnożyć w pamięci przez minus dwa i dodać do trzeciego, co zaznaczono po prawej stronie macierzy (4), a oto, co uzyskujemy po wykonaniu tego planu:
.
W tym miejscu moglibyśmy już zakończyć wykonywanie operacji elementarnych lecz uporządkujemy jeszcze kolejność równań reprezentowanych przez macierz (5): trzeci wiersz zapiszemy, jako pierwszy, z kolei pierwszy wiersz, jako drugi i wreszcie drugi, jako trzeci; zaznaczono to w planie działania po prawej stronie macierzy (5)
.
Operacje elementarne zostały zakończone; pozostaje tylko zapisać rozwiązanie; aby ułatwić sobie zadanie zapiszmy układ (6) w postaci rozwiniętej z użyciem niewiadomych: x, y, z , t:
,
czyli
, gdzie 
;
zapis (8) jest rozwiązaniem z tzw. parametrem własnym. W dziesiątkach prostych rachunków wykonywanych w metodzie Gaussa bardzo łatwo się pomylić; student w takim wypadku traci wszystkie punkty, jakie są do zdobycia w tym zadaniu; stąd wynika dobra rada:
KONIECZNIE WYKONUJEMY SPRAWDZENIE WYNIKU:
do równań (1) wstawiamy po kolei zależności (8)
Pierwsze z równań (1)
OK.
drugie z równań (1)
OK.
trzecie z równań (1)
OK.
Zależności (8) są więc poprawną odpowiedzią.
Komentarz. Istnieją inne sposoby zapisania rozwiązania (8), jeden z nich, to zapis rozwiązania z tzw. parametrem zewnętrznym:
, gdzie 
;
rozwiązanie (12) można zapisać w postaci wektorowej tak:
, gdzie 
;
lub tak:
, gdzie 
.
przechodzimy do następnego przykładu.
Polecenie b)
;
W sytuacji, gdy są trzy równania oraz cztery niewiadome układ na pewno nie będzie oznaczony. Może więc być bądź nieoznaczony, bądź sprzeczny. Metoda Gaussa da odpowiedź. Zapisujemy układ w postaci macierzowej; po prawej stronie będziemy zaznaczali plan działania, który dalej będziemy wykonywać bez zbędnych wyjaśnień:
;
uzdatniamy czwartą kolumnę; wykonamy plan zaznaczony w (16):
;
tym razem uzdatniamy kolumnę trzecią; za pomocą planu z prawej strony macierzy (17)
.
Z prawej strony macierzy (18) umieszczono plan uzdatnienia kolumny pierwszej; wykonajmy te operacje elementarne:
;
trzeba trochę uporządkować macierz (19) pierwszy i trzeci wiersz przemnożymy przez minus jeden, a następnie poprzestawiamy wiersze; zamienimy miejscami pierwszy z trzecim, a drugi pozostawimy na miejscu, oto, co otrzymamy:
.
Zauważmy, że kolumny: pierwsza, trzecia i czwarta, z pominięciem drugiej tworzą macierz jednostkową; właśnie o wyodrębnienie takiej macierzy w tym zadaniu chodzi; z postaci (20) otrzymamy rozwiązanie zadania; zapiszmy układ równań, którego reprezentacją jest ta macierz:
,
stąd mamy rozwiązanie z parametrem wewnętrznym y:
, gdzie 
.
Wzór (21) będzie stanowił odpowiedź, jeśli sprawdzimy poprawność rozwiązania; a zatem sprawdzamy po kolei równania tworzące układ (15):
równanie pierwsze
OK.
równanie drugie
OK.
wreszcie równanie trzecie:
OK.
Teraz z czystym sumieniem możemy stwierdzić, że wzór (22) jest odpowiedzią.
W komentarzu zapiszemy odpowiedź w innych formach:
z parametrem zewnętrznym
, gdzie 
,
to samo w konwencji zapisu wektorowego
, gdzie 
,
to samo w układzie poziomym
.
Kończymy to zadanie, dalszych należy szukać w kolejnych odcinkach. Jeszcze raz przypominam: jeśli wystarcza czasu, to koniecznie sprawdzać wyniki w taki sposób, jak podałem w tym odcinku; student nie traci wówczas cennych punktów w głupi sposób.
Koniec odcinka.
1
(-2)·III + I
(-3)·I + II
II + I
(-2)·II + III
I
III
II
2·I +II
(-3)·II +III
III +II
III +I
OK
OK
OK
OK
OK
OK
OK
OK
OK
OK
OK
II
·(-1) ; III
OK
·(-1) ; I