dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 8 (45) Otwieramy cykl odcinków poświęconych omawianiu zadań z wymienionego w tytule egzaminu. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje.

EGZAMIN; FIR STUDIA DZIENNE

4 CZERWCA 2012

ZADANIE 1

Odcinek ten obejmuje rozwiązywanie układów równań metodą Gaussa; układy są nieoznaczone, a więc ważne jest zapisywanie rozwiązania z użyciem parametru.

Zadanie 1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.

Polecenie a)

1. 
   

Dane są trzy równania oraz cztery niewiadome; w takiej sytuacji układ na pewno nie będzie oznaczony. Może więc być bądź nieoznaczony, bądź sprzeczny. Metoda Gaussa pozwoli nam ten dylemat rozstrzygnąć; jeśli układ okaże się nieoznaczony, wówczas stosując konsekwentnie metodę Gaussa dostaniemy rozwiązanie. Zaczniemy od zapisu macierzowego układu (1)

2. 
   
   ;

kolejne kolumny po lewej stronie niebieskiej kreski oznaczają współczynniki przy niewiadomych, odpowiednio: x, y, z, t , po prawej stronie kreski znajdujemy tzw. wyrazy wolne. Z prawej strony macierzy kolorem pomarańczowym zaznaczyliśmy plan wykonywania operacji elementarnych Gaussa. Będziemy w pamięci mnożyć wiersz trzeci przez minus dwa i dodamy do pierwszego. Robimy to w tym celu, aby uzdatnić kolumnę pierwszą. Uzdatnić, to znaczy doprowadzić do sytuacji, że w kolumnie tej li tylko jeden wyraz będzie różny od zera. Uważny Czytelnik zauważy, że nie robimy nic innego, jak tylko mnożymy w pamięci obustronnie trzecie równanie przez minus dwa i dodajemy stronami do pierwszego, w celu wyrugowania z równanie pierwszego niewiadomej x. Metoda Gaussa jest zatem niczym innym, jak metodą przeciwnych współczynników znaną z programu gimnazjum.

Wykonajmy plan zaznaczony kolorem pomarańczowym we wzorze (2), otrzymamy kolejną postać układu równań:

3. 
   ;

nad pierwszą kolumną pojawił się znaczek OK. co oznacza, że kolumna jest uzdatniona, czyli tylko jeden z tworzących ją elementów jest różny od zera. Z prawej strony wzoru (3) zaznaczyliśmy plan uzdatnienia kolumny drugiej, w tym celu wiersz pierwszy mnożymy w rozumie przez minus trzy i dodajemy do wiersza drugiego, a oto, co otrzymamy:

4. 
   ;

uzdatnione już są kolumny pierwsza i druga, co uwypuklono nad macierzą (4); aby uzdatnić kolumnę trzecią, trzeba za pomocą drugiego wiersza wykonać dwie operacje elementarne: drugi wiersz dodać do pierwszego oraz drugi przemnożyć w pamięci przez minus dwa i dodać do trzeciego, co zaznaczono po prawej stronie macierzy (4), a oto, co uzyskujemy po wykonaniu tego planu:

5. 
   .

W tym miejscu moglibyśmy już zakończyć wykonywanie operacji elementarnych lecz uporządkujemy jeszcze kolejność równań reprezentowanych przez macierz (5): trzeci wiersz zapiszemy, jako pierwszy, z kolei pierwszy wiersz, jako drugi i wreszcie drugi, jako trzeci; zaznaczono to w planie działania po prawej stronie macierzy (5)

6. 
   .

Operacje elementarne zostały zakończone; pozostaje tylko zapisać rozwiązanie; aby ułatwić sobie zadanie zapiszmy układ (6) w postaci rozwiniętej z użyciem niewiadomych: x, y, z , t:

7. 
   ,

czyli

8. 
   , gdzie
   ;

zapis (8) jest rozwiązaniem z tzw. parametrem własnym. W dziesiątkach prostych rachunków wykonywanych w metodzie Gaussa bardzo łatwo się pomylić; student w takim wypadku traci wszystkie punkty, jakie są do zdobycia w tym zadaniu; stąd wynika dobra rada:

KONIECZNIE WYKONUJEMY SPRAWDZENIE WYNIKU:

do równań (1) wstawiamy po kolei zależności (8)

Pierwsze z równań (1)

9. 
   OK.

drugie z równań (1)

10. 
    OK.

trzecie z równań (1)

11. 
    OK.

Zależności (8) są więc poprawną odpowiedzią.

Komentarz. Istnieją inne sposoby zapisania rozwiązania (8), jeden z nich, to zapis rozwiązania z tzw. parametrem zewnętrznym:

12. 
    , gdzie
    ;

rozwiązanie (12) można zapisać w postaci wektorowej tak:

13. 
    , gdzie
    ;

lub tak:

14. 
    , gdzie
    .

przechodzimy do następnego przykładu.

Polecenie b)

15. 
    ;

W sytuacji, gdy są trzy równania oraz cztery niewiadome układ na pewno nie będzie oznaczony. Może więc być bądź nieoznaczony, bądź sprzeczny. Metoda Gaussa da odpowiedź. Zapisujemy układ w postaci macierzowej; po prawej stronie będziemy zaznaczali plan działania, który dalej będziemy wykonywać bez zbędnych wyjaśnień:

16. 
    
    ;

uzdatniamy czwartą kolumnę; wykonamy plan zaznaczony w (16):

17. 
    ;

tym razem uzdatniamy kolumnę trzecią; za pomocą planu z prawej strony macierzy (17)

18. 
    .

Z prawej strony macierzy (18) umieszczono plan uzdatnienia kolumny pierwszej; wykonajmy te operacje elementarne:

19. 
    ;

trzeba trochę uporządkować macierz (19) pierwszy i trzeci wiersz przemnożymy przez minus jeden, a następnie poprzestawiamy wiersze; zamienimy miejscami pierwszy z trzecim, a drugi pozostawimy na miejscu, oto, co otrzymamy:

20. 
    
    .

Zauważmy, że kolumny: pierwsza, trzecia i czwarta, z pominięciem drugiej tworzą macierz jednostkową; właśnie o wyodrębnienie takiej macierzy w tym zadaniu chodzi; z postaci (20) otrzymamy rozwiązanie zadania; zapiszmy układ równań, którego reprezentacją jest ta macierz:

21. 
    ,

stąd mamy rozwiązanie z parametrem wewnętrznym y:

22. 
    , gdzie
    .

Wzór (21) będzie stanowił odpowiedź, jeśli sprawdzimy poprawność rozwiązania; a zatem sprawdzamy po kolei równania tworzące układ (15):

równanie pierwsze

23. 
    OK.

równanie drugie

24. 
    OK.

wreszcie równanie trzecie:

25. 
    OK.

Teraz z czystym sumieniem możemy stwierdzić, że wzór (22) jest odpowiedzią.

W komentarzu zapiszemy odpowiedź w innych formach:

z parametrem zewnętrznym

26. 
    , gdzie
    ,

to samo w konwencji zapisu wektorowego

27. 
    , gdzie
    ,

to samo w układzie poziomym

28. 
    .

Kończymy to zadanie, dalszych należy szukać w kolejnych odcinkach. Jeszcze raz przypominam: jeśli wystarcza czasu, to koniecznie sprawdzać wyniki w taki sposób, jak podałem w tym odcinku; student nie traci wówczas cennych punktów w głupi sposób.

Koniec odcinka.

1

(-2)·III + I

(-3)·I + II

II + I

(-2)·II + III

I

III

II

2·I +II

(-3)·II +III

III +II

III +I

OK

OK

OK

OK

OK

OK

OK

OK

OK

OK

OK

II

·(-1) ; III

OK

·(-1) ; I

---