Modele nieliniowe - dodatkowe zadania

Case 1. Postanowiono zbudować „dobry” model potęgowy, opisujący kształtowanie kubatury (Y w hm³) budynków oddanych do użytku w Polsce w latach 1976-1995. Postawiono hipotezę, że potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi w takim modelu mogą być: zatrudnienie w budownictwie (X₁ w 1000 osób), produkcja cementu (X₂ w mln ton), wartość środków trwałych w budownictwie (X₃ w mld zł, ceny stałe 1980 = 100), produkcja szkła okiennego ciągnionego w przeliczeniu na 2 mm (X₄ w km2), produkcja stali (X₅ w mln ton). Rozważany model ma postać:
. Na podstawie Roczników Statystycznych GUS zebrano następujące obserwacje:

Kubatura	ZATR	CEMENT	ŚRODKI	SZKŁO	STAL
194,7	1385	19,8	55,83	65,9	15,6
213	1373	21,3	69,81	72,4	17,8
204,5	1394	21,7	79,19	70,5	18,2
199,3	1372	19,2	81,25	71,1	19,2
146,2	1337	18,4	94,09	69,5	19,4
124,4	1294	13,2	95,03	60,1	15,7
132,9	1224	16	95,51	55,7	14,8
144,7	1219	16,2	97,34	63	16,2
143,7	1243	16,6	98,86	69,7	16,5
135,1	1282	15	99,72	63,6	16,1
136,6	1317	15,8	99,82	59	17,1
138,3	1339	16,1	104,8	66,6	17,1
149	1350	17	114,1	68,6	16,7
118,2	1318	17,1	108,2	72,9	15,2
106	1243	12,5	107,6	57,2	13,6
97,4	1116	12	100,17	53,4	10,3
94,5	1014	11,9	99,5	50,5	9,8
74,5	880	12,2	96,3	46,3	9,9
67,4	853	13,8	98,45	42,9	11,1
64,5	827	13,9	97,16	38,1	11,8

POLECENIA:

1. Podaj sposób utworzenia liniowego modelu pomocniczego.

2. Oszacuj model ze wszystkimi potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi.

3. Napisz równanie teoretyczne pomocniczego modelu liniowego i odtwórz równanie modelu oryginalnego.

4. Podaj interpretację otrzymanych ocen parametrów modelu potęgowego.

5. Oceń dobroć dopasowania tego modelu do obserwacji.

6. Czy przy poziomie istotności α = 0.05 uznać możemy, że zmienne objaśniające występujące w modelu mają istotny wpływ na kubaturę budynków oddawanych w Polsce do użytku?
   Jeżeli nie, dokonaj odpowiedniej modyfikacji modelu.

Case 2. Poniższe dane przedstawiają liczbę pasażerów hiszpańskich linii lotniczych w latach 1990-2001.

Rok	Czas	Liczba pasażerów (w mln)
1990	1	63
1991	2	68
1992	3	71
1993	4	73
1994	5	75
1995	6	82
1996	7	81
1997	8	89
1998	9	95
1999	10	101
2000	11	109
2001	12	116

Postanowiono skonstruować trend wykładniczy, opisujący zmiany liczby pasażerów w badanym okresie.

1. Podaj sposób utworzenia pomocniczego modelu liniowego.

2. Oszacuj parametry modelu pomocniczego.

3. Odtwórz równanie oszacowanego trendu wykładniczego.

4. Podaj interpretację uzyskanych ocen parametrów.

5. Czy przyjmując poziom istotności α = 0.05 mamy podstawy, by uznać, że zmiany liczby pasażerów w czasie są istotne statystycznie?

6. Czy Twoim zdaniem model można wykorzystać do prognozowania liczby pasażerów w Hiszpanii? Odpowiedź uzasadnij.

Case 3. SPRZEDAŻ LALEK

Przedsiębiorstwo produkujące zabawki stwierdziło, że wielkość sprzedaży pewnego typu lalek wykazuje od kilku miesięcy tendencję spadkową. W związku z tym postanowiono postawić prognozę, jaka będzie wielkość tej sprzedaży w kolejnych trzech miesiącach. Poniższa tabelka zawiera wielkości sprzedaży z ostatnich 16 miesięcy.

Miesiąc	Sprzedaż lalek
Czerwiec	2500
Lipiec	2250
Sierpień	2000
Wrzesień	1900
Październik	1890
Listopad	1700
Grudzień	1650
Styczeń	1600
Luty	1550
Marzec	1600
Kwiecień	1590
Maj	1600
Czerwiec	1500
Lipiec	1450
Sierpień	1490
Wrzesień	1390

1. Skonstruuj wykres przedstawiający zebrane obserwacje.

2. Oszacuj parametry trendu hiperbolicznego opisującego zmiany wielkości sprzedaży lalek
   i podaj interpretację uzyskanych wyników.

3. Oceń jakość uzyskanego modelu. Czy nadaje się on do stawiania prognoz?

4. Jeżeli tak, ustal prognozę sprzedaży lalek na miesiące październik - grudzień.

Case 1. Postanowiono skonstruować model opisujący zależność wydajności pracowników (mierzonej wartością tygodniowej produkcji (w setkach zł) od ich stażu pracy. Zebrano następujące informacje:

Wydajność	Staż pracy (w latach)
5,3	1
6,1	1,7
6,5	1,4
7,3	1,8
7,5	2
8,2	2,1
10,4	2,3
10,8	2,8
12,1	3,5
13,2	3,3
15,5	4,8
15,4	5,1
16,1	7
17,2	8,2
18,3	8
18,0	10,2
18,5	8
21,8	12,7
20,5	12
22,1	15
23,2	14,4
20,1	15,3
19,5	16,1

Na podstawie wykresu punktów empirycznych zdecydowano, że zależność wydajności od stażu opisuje parabola. Oszacuj parametry tego modelu i na podstawie otrzymanych wyników odpwoedz na następujące pytania:

1. Zapisz równanie oszacowanego modelu

2. Oceń dobroć dopasowania modelu do zebranych obserwacji.

3. Jak oceniasz wpływ czynników losowych na wydajność pracowników?

4. Czy model potwierdził, że parabola jest właściwym modelem do opisu badanego zjawiska? Odpowiedź uzasadnij.

5. Na podstawie modelu ustal, jaka jest maksymalna tygodniowa wydajność pracownika i przy jakim stażu pracy jest ona osiągana.

6. Zastanów się, czy możliwe jest, by pracownik osiągnął wydajność na poziomie 2300 zł tygodniowo. Swoją odpowiedź uzasadnij.

---