Józef Szymczak
Granica funkcji w punkcie
(notatki z wykładu)
Definicja granicy funkcji
f (x)
Funkcja ma w punkcie x0 granicę równą g gdy dla każdego ciągu argumentów
(xn )
, gdzie xn `" x0 i xn " D dla każdego n,
f
jeżeli lim xn = x0 , to lim f (xn ) = g .
n" n"
Zapisujemy ten fakt symbolicznie:
lim f (x) = g .
xx0
Granica w punkcie x0 może być w szczególności granicą niewłaściwą. Można też rozpatry-
wać granicę w punkcie niewłaściwym ( - " lub + " ).
W celu stwierdzenia, że w punkcie x0 funkcja nie ma granicy, wystarczy wskazać dwa
różne ciągi argumentów zbieżne do punktu x0 takie, że odpowiednie ciągi wartości funkcji są
zbieżne do różnych granic.
x
lim32-2 = 2
Przykład 1. Wykażemy na podst. definicji, że .
x
x1
Wybierając dowolny ciąg (xn ) argumentów taki, że lim xn = 1, otrzymujemy następującą
n"
granicę ciągu wartości funkcji:
2xn 2Å"1 2
lim f (xn ) = lim = = = 2 .
3xn -2 3Å"1-2 3-2
n" n"
Przy obliczaniu granic funkcji w punkcie x0 ważnymi pojęciami są granice jednostronne:
lewostronna i prawostronna.
f (x)
Funkcja ma w punkcie x0 granicę lewostronną (właściwą lub niewłaściwą) równą g,
co zapisujemy symbolicznie
lim- f (x) = g ,
xx0
(xn )
gdy dla każdego ciągu argumentów należących do dziedziny funkcji takich, że xn < x0 ,
jeżeli lim xn = x0 , to lim f (xn ) = g .
n" n"
f (x)
Analogicznie definiujemy granicę prawostronną funkcji w punkcie x0 , którą
zapisujemy symbolicznie: lim+ f (x) = g .
xx0
Uwaga.
lim f (x) = g Ô! lim- f (x) = g '" lim+ f (x) = g
xx0
xx0 xx0
f (x)
Jeśli granice jednostronne funkcji w punkcie x0 są różne, to mówimy, że funkcja nie
ma granicy w tym punkcie.
lim sgn(x) = -1, lim sgn(x) = 1.
x0- x0+
Funkcja sgn(x) nie ma zatem granicy w punkcie x0 = 0 .
Zauważmy, że dla funkcji stałej f (x) = c
mamy lim c = c w każdym punkcie x0 " R .
xx0
1 1
lim = -" lim = 0
x x
x-"
x0-
1 1
lim = " lim = 0
x x
+
x"
x0
a a -a
a > 0
Ogólnie możemy zauważyć, że jeżeli , to lim = -" i lim = " natomiast lim = "
x x x
x0- x0+ x0-
-a
i lim = -" .
x
x0+
Twierdzenie (o granicy sumy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeżeli lim f (x) = a oraz lim g(x) = b , to
xx0 xx0
f (x)
a
lim ( f (x) + g(x)) = a + b ; lim ( f (x) Å" g(x)) = a Å" b ; lim = ( g(x) `" 0, g `" 0 ).
g(x) b
xx0 xx0 xx0
Uwaga. Granice funkcji przy warunku, gdy x " lub gdy x -" obliczamy podobnie jak dla
ciągów. Zapamiętać przy tym trzeba też zachowanie się podstawowych funkcji elementarnych,
gdy argument zmierza do nieskończoności.
Przykłady.
1 x+3-x 3 3
1. lim(1 - = lim = lim = ["] = 0 .
x
x+3) x" x(x+3)
x" x" x2 +3x
(x+3)(x-3)
x2-9
2. lim = lim = lim(x + 3) = 6 .
x-3 x-3
x3 x3 x3
(x-2)(x-3)
x2-5x+6
3. lim = lim = lim (-1)(x - 3) = 1.
2-x
x-2
x2- x2- x2-
x+1 1-x - 5
4. lim = [03- ] = -" . 5. lim = [02 ] = -" . 6. lim = [05+ ] = " .
+
2-x 3-x
4-x2
x2+ x3- x2-
1 1
5 x x
7. lim = [05- ] = -" . 8. lim e = [e" ] = " . 9. lim e = [e-" ] = 0 .
4-x2
x-2- x0+ x0-
10. lim ln x = " . 11. lim ln x = -" .
x"
x0+
W przypadku granic funkcji zachodzą następujące wzory (tożsamości):
sin x tan x arcsin x arctan x
lim = lim = lim = lim = 1 ;
x x x x
x0 x0 x0 x0
1
x
1 1) x x
lim(1 + ) = lim (1 + = lim(1 + x) = e .
x x
x" x-" x0
Przykład.
cos(y+Ä„ )
-sin y
cos x 2
lim = lim = lim = -1.
y y
x-Ä„ y0 y0
xĄ 2
2
Asymptoty funkcji
Prosta x = x0 , gdzie x0 " D , jest asymptotÄ… pionowÄ…
f
funkcji f, gdy przynajmniej jedna z granic jednostronnych
lim- f (x) lub lim+ f (x) jest niewłaściwa.
xx0 xx0
Asymptota pionowa może być zatem jednostronna lub
obustronna.
x2
Na przykład funkcja f (x) = ma asymptotę pionową
x-3
obustronną o równaniu x = 3 , ponieważ
x2 x2
lim = [09- ] = -" oraz lim = [09+ ] = " .
x-3 x-3
x3- x3+
Prosta y = y0 , jest asymptotÄ… poziomÄ… funkcji f, gdy
lim f (x) = y0 lub lim f (x) = y0 .
x-" x"
4x
Na przykład funkcja f (x) = ma asymptotę
2x-3
4x 4
poziomą o równaniu y = 2 , ponieważ lim = = 2 .
2x-3 2
xÄ…"
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem
asymptoty ukośnej
Prosta y = ax + b , jest asymptotą ukośną funkcji f, gdy
lim ( f (x) - (ax + b)) = 0 (lub gdy lim ( f (x) - (ax + b)) = 0 )
x" x-"
Z powyższej zależności wynikają wzory na wyznaczanie
współczynników asymptoty ukośnej (jeśli istnieją odpowiednie
granice):
f (x)
b = lim ( f (x) - ax)
a = lim
x xÄ…"
xÄ…"
2x2
Przykład. Wyznaczyć asymptotę ukośną funkcji f (x) = . Dziedziną tej funkcji jest zbiór R -{3}.
x-3
x2 x2
Zauważmy, że lim = " , lim = -" , czyli funkcja nie ma asymptoty poziomej.
x-3 x-3
x" x-"
f (x)
2x2 = 2x
lim = lim lim = 2 , skąd wynika, że a = 2 .
x
x(x-3) x-3
xÄ…" xÄ…" xÄ…"
2x2 2x2 - 2x2 + 6x 6x
lim ( f (x) - ax) = lim ( - 2x) = lim = lim = 6 , więc b = 6 .
x-3 x-3 x-3
xÄ…" xÄ…" xÄ…" xÄ…"
2x2
Prosta y = 2x + 6 jest zatem asymptotą ukośną funkcji f (x) = .
x-3
Ciągłość funkcji w punkcie
Definicja funkcji ciągłej
f (x)
Funkcja jest ciągła w punkcie a , jeżeli
1. funkcja ta jest określona w pewnym otoczeniu punktu a ,
2. istnieje granica lim f (x) ,
xa
3. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie a , tzn. lim f (x) = f (a) .
xa
Funkcja jest ciągła w każdym punkcie pewnego przedziału, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
wewnętrznym tego przedziału oraz prawostronnie ciągła na jego lewym końcu i lewostronnie ciągła na
jego prawym końcu, pod warunkiem, że końce te należą do danego przedziału.
Punkt, w którym naruszone są warunki ciągłości, nazywamy punktem nieciągłości danej funkcji.
Obok przedstawione sÄ…
graficznie przykłady różnych
punktów nieciągłości.
Punkty x1, x2, x3 to tzw.
punkty nieciągłości I rodzaju.
W punktach nieciągłości II
rodzaju nie istnieje przynajmniej
jedna granica jednostronna
Uwaga. Każda funkcja elementarna jest ciągła na całej swojej dziedzinie.
Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą we wszystkich punktach, w których mianownik nie
przyjmuje wartości zerowej.
Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
1- e1/ x dla x < 0
Å„Å‚
f (x) =
PrzykÅ‚ad. Zbadać ciÄ…gÅ‚ość funkcji òÅ‚ .
ółx dla x e" 0
W przypadku tej funkcji należy sprawdzić jej ciągłość w punkcie x = 0 , ponieważ dla wszystkich
niezerowych argumentów funkcje składowe są ciągłe (jako funkcje elementarne). Mamy więc:
f (0) = 0 ,
lim f (x) = lim 1- e1/ x = 1 - 0 = 1,
x0- x0-
lim+ f (x) = lim+ x = 0 .
x0 x0
Widzimy, że badana funkcja ma różne granice
jednostronne dla x = 0 , a więc nie jest ciągła w
tym punkcie (graficznie następuje przeskok
wykresu przy przejściu przez ten punkt).
x dla x < 0
Å„Å‚
f (x) =
Zadanie. Zbadać ciÄ…gÅ‚ość funkcji òÅ‚ .
ół1- ex dla x e" 0
Twierdzenie (własność Darboux o wartościach pośrednich funkcji ciągłej)
Funkcja y = f (x) f (a) `" f (b) , przyjmuje
ciągła na przedziale < a; b > , dla której
f (a)
na tym przedziale wszystkie wartości zawarte pomiędzy i f (b) .
Z twierdzenia Darboux wynika następujący
Wniosek. Jeżeli funkcja y = f (x) jest ciągła na przedziale < a; b > oraz
f (a) Å" f (b) < 0 (czyli funkcja przyjmuje na koÅ„cach tego przedziaÅ‚u wartoÅ›ci o
różnych znakach), to istnieje przynajmniej jeden punkt c " (a; b) taki, że f (c) = 0
(miejsce zerowe funkcji).
Wniosek ten jest wykorzystywany przy obliczaniu przybliżonych wartości rozwiązań równań
postaci f (x) = 0 .
x2
Przykład. Sprawdzić, czy istnieje rozwiązanie równania - 2x = 0 w przedziale < -1; 0 > .
Jeśli rozważymy lewą stronę równania jako funkcję f (x) = x2 -2x , to widzimy, że
1
f (-1) =1- 2-1 = f (0) = 0- 20 = -1
, . Dana funkcja jest ciągła, ma na końcu tego przedziału wartości
2
o różnych znakach, a więc musi istnieć w tym przedziale punkt będący miejscem zerowym rozważanej
funkcji, czyli istnieje rozwiązanie wyjściowego równania.
lnx + x
Zadanie. Sprawdzić, czy równanie -2 = 0 ma rozwiązanie w przedziale < 1; 2 > .