2011-05-02
SZEREGI LICZBOWE
DEF 1. Niech a1, a2, a2,..., an będzie ciągiem liczbowym. Wówczas ciąg sum :
S1 =� a1
S2 =� a1 +� a2
...
Sn =� a1 +� a2 +� ... +� an
.....
nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an i oznaczamy symbolem
Ą�
=� a1 +� a2 +� ... +� an +� ...,
��an
n=�1
Ą�
Sumy S1, S2,..., Sn,... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu .
��an
n=�1
Z.KASPERSKI, t.8 1
P1. Obliczyć n-te sumy częściowe szeregów:
Ą�
DEF 2. Szereg liczbowy =� a1 +� a2 +� ... +� an +� ... nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum
��an
n=�1
częściowych Sn jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim Sn =� S . Liczbę S
n��Ą�
Ą�
będziemy nazywać sumą tego szereg, czyli =� S .
��an
n=�1
P2. Zbadad zbieżnośd szeregów z P1.
DEF 3. Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +Ą� lub -Ą� albo nie ma
żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Ą�
1
P3.Wykazad, że szereg jest rozbieżny
��
n
n=�1
Z.KASPERSKI, t.8 2
1
2011-05-02
Twierdzenie 1.
Tw. 1 jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym-patrz P3.
n
Ą� Ą�
n +� 2
P4. Uzasadnid, że szeregi: a. �� �� b. są rozbieżne.
��ć�1-� 1 �� , ��
n n +�100
Ł� ł�
n=�1 n=�1
DEF 4.Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci
Ą�
qn-�1
��a1
n=�1
będący sumą ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a1 i ilorazie q. Jeżeli
�� a1=0 to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0
�� a1ą�0 i |q|ł�1 to szereg jest rozbieżny
a1
�� |q|<1 to szereg jest zbieżny do S=
1-� q
Ą� Ą�
1
n-�1
�� ��(-�1) 1
P5. Znalez
d sumy szeregów: a)
2n-�1 b) n=�1 2n-�1
n=�1
Z.KASPERSKI, t.8 3
DEF 6. Szereg harmoniczny rzędu r to szereg, którego wyrazy są odwrotnościami r-tych potęg liczb
naturalnych
Ą�
1 1 1 1
=� 1+� +� +� ... +� +� ...
��
nr 2r 3r nr
n=�1
Twierdzenie 2. Szereg harmoniczny jest zbieżny dla r>1 i rozbieżny dla rŁ�1 .
Rozbieżnośd tego szeregu jest niezwykle powolna:
PRZYKA
ADY
Aby Sn przekroczyła 10 potrzeba ponad 10 000
Ą�
1
wyrazów, aby przekroczyd 20- potrzeba blisko pół
(a) r = 1, rozbieżny
��
n
n=�1
miliarda!
Ą�
1
(b) r=1/2 , rozbieżny
��
n
n=�1
Ą�
1
(c) r = 10, zbieżny
��
n10
n=�1
Ą�
1
(d) r = 9/2 , zbieżny
��
n=�1 n9
Z.KASPERSKI, t.8 4
2
2011-05-02
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
1. Kryterium porównawcze:
P6. Zbadać zbieżność szeregów:
Z.KASPERSKI, t.8 5
2. Kryterium ilorazowe:
P7. Zbadać zbieżność szeregu
3.Kryterium d Alamberta:
P8. Zbadać zbieżność szeregów:
Z.KASPERSKI, t.8 6
3
2011-05-02
4.Kryterium Cauchy ego:
P9. Zbadać zbieżność szeregów:
Z.KASPERSKI, t.8 7
4