dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. [phone]) EGZAMINY NA UNIWERSYTECIE EKONOMICZNYM WE WROCŁAWIU Odcinek 10 (47); dalszy ciąg cyklu odcinków poświęconych omawianiu zadań z wymienionego w tytule egzaminu. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje.

EGZAMIN; FIR STUDIA DZIENNE

4 CZERWCA 2012

ZADANIA 3 i 4

W tym odcinku omawiamy pojęcie jądra przekształcenia liniowego i jego wymiaru; dane one są w konkretnym zadaniu. Odcinek ten mogą czytać studenci, którzy chcą zdobyć kilka informacji o jądrze przekształcenia liniowego rzędzie przekształcenia i defekcie przekształcenia. Będzie również mowa o wektorach własnych przekształcenia liniowego. Kolejne zadanie dotyczy standardowych granic funkcji.

Zadanie 3. Podać przykład dowolnego przekształcenia liniowego
takiego, że
(wymiar jądra równy 3). Dla przekształcenia tego obliczyć
i
.

Zaczniemy od komentarza. Zadanie to wykazało, jak wielka jest mizeria, jeśli chodzi o znajomość pojęć teoretycznych wśród studentów; owszem potrafią oni rozwiązywać nawet skomplikowane zadania rachunkowe, z chwilą jednak, gdy pojawia się jakieś pojęcie teoretyczne, rozkładają ręce; a przecież pojęcia teoretyczne, to istota matematyki. Można z tego wyciągnąć wniosek, studenci nie umieją matematyki, tylko rachunki. Trzeba przyznać, że znajomość matematyki jest w ogóle umiejętnością rzadką, rzadszą, niżby się mogło wydawać. Uwaga ta nie tyczy tylko studentów, lecz znacznie szerszego kręgu osób. Autor odcinków nie jest w tym spostrzeżeniu oryginalny, znacznie wcześniej, bo już w dwudziestych latach poprzedniego wieku podobne słowa napisał śp. prof. Hugo Steinhaus - zob. Czem jest, a czem nie jest matematyka.

Wyjaśnienie pierwsze

Wymiar jądra jest często nazywany w algebrze liniowej defektem przekształcenia. Jest znane twierdzenie, że defekt przekształcenia plus rząd przekształcenia dają w sumie wymiar przestrzeni argumentów. W zadaniu podano, że defekt przekształcenia jest równy trzy, więc rząd przekształcenia musi być równy zero. Oznacza to, że jedynym przekształceniem spełniającym warunki zadania jest przekształcenie, zerowe, to znaczy takie, które każdemu wektorowi z przestrzeni R³ przyporządkowuje wektor zerowy z tej przestrzeni, stąd
oraz
.

Wyjaśnienie drugie

Zgodnie z definicją jądro przekształcenia
jest zbiorem wszystkich wektorów
takich, że
; z tego, że wymiar jądra wynosi 3 wynika, że w przestrzeni
istnieje baza złożona z trzech wektorów
takich, że

1. 
   ;
   oraz
   .

Niech teraz
będzie dowolnym wektorem z przestrzeni
; ponieważ wektory
stanowią bazę, więc istnieją dokładnie trzy liczby rzeczywiste α, β, γ takie, że
; teraz skorzystamy z faktu, że przekształcenie f jest liniowe i zapiszemy:

2. 
   

z uwagi na równości (1) mamy zależność:

3. 
   ;

tak więc dla każdego
zachodzi równość
; znowu otrzymaliśmy rezultat, że jedynym przekształceniem liniowym spełniającym warunki zadania jest przekształcenie zerowe.

Komentarz do wyjaśnień i treści zadania:

Przeczytajmy uważnie polecenie; nikt nie oczekuje od studenta dowodzenia, że jedynym przekształceniem liniowym spełniającym podane warunki jest przekształcenie zerowe, a jedynie podać przykład takiego przekształcenia; stąd rozwiązanie będzie w dwu linijkach:

Rozwiązanie. Dla każdego
definiujemy:
, stąd
oraz
;

to wszystko, co trzeba było zrobić; z tych prac, które sprawdzał autor odcinków tego zadania nikt nawet nie próbował robić, a było ono najprostsze z całego zestawu.

Polecenie b) Wektor
jest wektorem własnym przekształcenia liniowego
dla wartości własnej
oraz
(wymiar jądra jest równy 1). Wyznaczyć dwa inne wektory własne tego przekształcenia dla dowolnych (niekoniecznie różnych) wartości własnych. Precyzyjnie uzasadnić odpowiedź.

Rozwiązanie. Z faktu, że wektor
jest wektorem własnym dla wartości własnej
wynika, iż
; z tego, że wymiar jądra jest równy 1 wynika, że istnieje pewien niezerowy wektor
taki, że
, tak więc
jest wartością własna przekształcenia f , lecz z podanych warunków nie można wydedukować, jaki wektor z przestrzeni
jest wektorem własnym przynależnym do wartości własnej
; z treści zadania nie da się wyznaczyć innych wartości własnych. Jedynymi wektorami, które możemy podać są wektory własne przynależne do wartości własnej
. Każdy z nich jest iloczynem dowolnej, różnej od zera liczby rzeczywistej i wektora
; skoro w treści zadania było polecenie, aby podać dwa przykłady, można dać np.:
oraz
.

Zadanie 4 Obliczyć granice funkcji. Ze względów redakcyjnych granicę funkcji każdorazowo będziemy oznaczać literą g.

Polecenie a)
;
;
;
; odp.
.

Polecenie b)

;
;
;
;

po tych prostych przekształceniach skorzystamy z twierdzenia z analizy matematycznej, które głosi, że dla każdej liczby rzeczywistej p zachodzi równość:

4. 
   

wykorzystując pomarańczową ramkę i fakt, że granica ilorazu równa się ilorazowi granic oraz, że podnoszenie do sześcianu jest funkcją ciągłą dostajemy:

; odp.
.

Polecenie c)

;

licznik wyrażenia pod znakiem granicy zmierza do 2, natomiast mianownik do zera; wartość bezwzględna wyrażenia zmierza zatem do nieskończoności; należy liczyć granice jednostronne W pobliżu minus dwójki licznik przyjmuje wartości dodatnie, więc o znaku całego wyrażenia decyduje mianownik; wykres funkcji
wygląda tak:

Z rys. 1 wynika, że na lewo od minus dwójki wartości mianownika są dodatnie, a na prawo ujemne; wykorzystując te dane możemy zapisać odpowiedź:

oraz
.

Komentarz. Polecenie brzmiało obliczyć granice , w odpowiedzi należy zaznaczyć, że granica nie istnieje, gdyż granice jednostronne są różne.

Polecenie d)
;
;
;
; odp.
.

Polecenie e)
;
;
;
; po wykorzystaniu wzoru (4) w ramce dajemy odpowiedź
;

odpowiedź:
, czyli
.

Polecenie f)
; w tym przypadku mamy do czynienia z nieoznaczonością typu zero nad zero. Najprostszym środkiem prowadzącym do rozwiązania będzie użycie reguły d'Hospitala. Nie będziemy w pełni przywoływać tego pięknego twierdzenia z analizy matematycznej, powiemy tylko, że przechodzimy na granicę pochodnych:

5. 
   

i to jest prawidłowa odpowiedź.

Komentarz. Gdyby w liczniku polecenia c zamiast plus jedynki stała minus jedynka, wówczas tamten przykład rozwiązywalibyśmy tak, jak polecenie f :

6. 
   .

Koniec odcinka.

1

x

y

2

-2

-16

Rys. 1.

Wykres funkcji

y = x⁴ - 16

+

-

---