Ćwiczenie 11

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Ważną rolę w automatyce odgrywa znajomość właściwości dynamicznych zarówno obiektu automatyzowanego, jak i całego układu regulacji. Właściwości te mogą być przedstawione za pomocą charakterystyk dynamicznych. Badanie własności obiektu ( identyfikacja ) odbywa się za pomocą różnych sygnałów wymuszających. Zależnie od rodzaju sygnału użytego do badania dynamiki wyróżnia się :

• charakterystyki skokowe,

• charakterystyki impulsowe,

• charakterystyki częstotliwościowe.

Charakterystyki skokowe lub impulsowe, pomimo dużej prostoty w badaniu i łatwości opracowania wyników, nie zawsze dają trafne oszacowania właściwości dynamicznych obiektu.

Aby uzyskać charakterystykę częstotliwościową należy wykonać wiele eksperymentów, z których każdy polega na wprowadzeniu na wejście obiektu sinusoidalnych zmian wielkości wejściowych o stałej częstotliwości i ustalonej amplitudzie. Sygnał wyjściowy będzie wtedy przebiegiem również sinusoidalnym, lecz o innej amplitudzie i przesunięty w fazie. Z każdego eksperymentu uzyskuje się dane dla jednego punktu charakterystyki częstotliwościowej.

Badania częstotliwościowe są czasochłonne, pozwalają jednak uzyskać najdokładniejsze informacje o właściwościach badanego obiektu w założonym paśmie częstotliwości bez konieczności zmiany punktu pracy obiektu w trakcie badań.

Warto dodać, że sygnał wejściowy nie musi być wiernym odwzorowaniem sinusoidy.

11.1. Badania częstotliwościowe

Jeśli na wejście obiektu zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny o amplitudzie A₁ oraz częstotliwości f, to na wyjściu obiektu liniowego, po krótkotrwałym przebiegu przejściowym, ustala się sygnał również sinusoidalny o takiej samej częstotliwości jak sygnał wejściowy, ale o innej amplitudzie A₂ i przesunięty w fazie o kąt
(rys11.1).

Rys.11.1. Przebiegi sygnału wejściowego
i wyjściowego
podczas badania obiektu metodą częstotliwościową.

Sygnał wejściowy sinusoidalny o równaniu:

wywołuje sygnał wyjściowy sinusoidalny o równaniu:

(11.1)

gdzie:

A₁ , A₂ - amplitudy sygnału wejściowego i wyjściowego,

ω = 2πf- pulsacja sygnałów, [rd/s]

f - częstotliwość sygnałów, [Hz], f =1/T

T - okres sygnału sinusoidalnego, [s]

ϕ(ω)- przesunięcie fazowe:
(patrz rys.11.1).

W analizie częstotliwościowej rozpatruje się tylko składowe zmienne sygnałów: wejściowego
i wyjściowego
(ich wahania wokół wartości średnich ).

Istotnym pojęciem w metodzie częstotliwościowej jest tzw. transmitancja widmowa
Jest ona funkcją zespoloną pulsacji

(11.2)

Transmitancja widmowa dla wybranego
daje się przedstawić jako punkt na płaszczyźnie zespolonej w zapisie kartezjańskim

(11.3)

lub biegunowym

(11.4)

gdzie:

- moduł transmitancji widmowej

-faza (argument transmitancji widmowej)-(patrz rys.11.1 i 11.2).

Rys.11.2. Przedstawienie wybranego punktu transmitancji widmowej na płaszczyźnie liczb zespolonych

Na podstawie wzoru Eulera wyrażenie w nawiasie we wzorze (11.4)

(11.5)

Można więc wzór (11.4) dla transmitancji widmowej przedstawić w postaci

(11.6)

gdzie moduł
można wyznaczyć na podstawie wzorów (11.1) i (11.2), jako iloraz amplitud sygnałów sinusoidalnych.

(11.7)

Z eksperymentów częstotliwościowych otrzymuje się wartości modułu M
(z
ilorazu amplitudy wyjściowej do wejściowej) oraz przesunięcie fazowe (fazę)
dla wybranych wartości pulsacji
. W praktyce wyniki tych eksperymentów przedstawia się albo łącznie na płaszczyźnie liczb zespolonych ( tzw. charakterystyka amplitudowo-fazowa), albo w postaci tzw. wykresu Blacka (
we współrzędnych prostokątnych, rys.11.7-11.10 [2]), albo rozłącznie w postaci charakterystyk amplitudowo-fazowych

oraz fazowo- częstotliwościowych
.

Istnieje ścisły związek między transmitancją widmową i transmitancją operatorową:

(11.8)

1. Przykłady

Przykład 1.

Człon inercyjny pierwszego rzędu o transmitancji operatorowej:

ma transmitancję widmową:

gdzie:

Moduł transmitancji widmowej określony ze wzoru (11.4) ma postać:

; a fazę

Jest to zapisane biegunowo równanie połowy koła o środku w punkcie o współrzędnych (k/2,0) patrz rys11.3.

Rys11.3. Charakterystyka amplitudowo- fazowa na płaszczyźnie liczb zespolonych dla członu inercyjnego pierwszego rzędu.

Logarytmiczna charakterystyka modułu ma postać ( z definicji )

(11.9)

Dla inercji pierwszego rzędu:

(11.10)

patrz rys.11.4.

Ponieważ

więc:

(11.11)

Charakterystyce dokładnej (11.10) odpowiada więc przybliżona charakterystyka (11.11), składająca się z dwóch asymptot: poziomej na wysokości
i ukośnej o pochyleniu - 20 dB/dek (decybeli na dekadę).

Rys.11.4. Charakterystyki: amplitudowo-częstotliwościowa L()- Magnitude (dB)- oraz fazowo-częstotliwościowa
- Phase(deg)- dla członu inercyjnego 1 rzędu o transmitancji:
; k=10 ; T₁=10, s.

Punkt przecięcia tych asymptot występuje przy pulsacji
. Własność ta umożliwia wyznaczenie stałej czasowej T₁ członu inercyjnego pierwszego rzędu. Współczynnik wzmocnienia k wynika z wysokości asymptoty poziomej
.

Faza zmienia się od 0 do -90 stopni kątowych (π/2 radianów).

Przykład 2.

Obiekt inercyjny trzeciego rzędu o transmitancji operatorowej:

jest szeregowym połączeniem trzech członów inercyjnych z poprzedniego przykładu, więc:

=

stąd

oraz

Z własności logarytmów, że logarytm iloczynu równa się sumie logarytmów:

Jak widać, dla szeregowo połączonych członów charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe i fazowo-częstotliwościowe powstają jako wynik sumowania charakterystyk składowych. Charakterystyki te dla obiektu inercyjnego trzeciego rzędu o jednakowych stałych czasowych T₁ przedstawiono na rys.11.5. Punkt przecięcia asymptoty poziomej z ukośną występuje również przy pulsacji
, a nachylenie asymptoty ukośnej jest trzykrotnie większe niż dla inercji pierwszego rzędu i wynosi 60 decybeli na dekadę.

W obiekcie inercyjnym n -tego rzędu o różnych stałych czasowych występuje n punktów załamania uproszczonej charakterystyki L(ω), co umożliwia określenie pulsacji załamania ω_z, a stąd wartości stałych czasowych.

Za każdym punktem załamania nachylenie wzrasta o 20dB/dekadę. Zilustrowano na rys.11.6 na przykładzie inercji trzeciego rzędu.

Rys.11.5. Charakterystyka amplitudowo- Rys.11.6. Charakterystyka amplitudowo- częstotliwościowa członu 3 rzędu częstotliwościowa członu 3 rzędu

o jednakowych stałych czasowych o różnych stałych czasowych

11.3. Sposób korzystania z wykresów Blacka

Oprócz omówionych uprzednio charakterystyk częstotliwościowych używane są tzw. wykresy Blacka. Są to charakterystyki także amplitudowo-fazowe , lecz rysowane we współrzędnych prostokątnych, nie zaś biegunowych. Wykresy Blacka umożliwiają wyznaczenie zastępczej transmitancji obiektu przez porównanie charakterystyki amplitudowo-fazowej badanego obiektu, narysowanej w odpowiedniej skali, z charakterystykami odpowiednich transmitancji modelowych (rys.11.7,11.8,11.9,11.10).

Łatwo zauważyć, że krzywe na tych rysunkach dla jednego typu modelu nie przecinają się, co ułatwia identyfikację typu modelu i jego parametrów. Identyfikacji obiektu dokonujemy w ten sposób, że nanosimy wyznaczoną charakterystykę obiektu na przeźroczysty papier w skali (rys.11.7-11.10) i przykładamy ją do tych rysunków. Staramy się znaleźć możliwie najlepszą zgodność krzywej z obiektu z jedną z krzywych modelu, uwzględniając również zgodność rozmieszczenia częstotliwości względnych na obu krzywych. Ustalenie parametru T dla obiektu za wyrównaniem (rys.11.7 i 11.8) wymaga skorzystania z linii stałego iloczynu
.Wyszukujemy punkt charakterystyki doświadczalnej o pulsacji ω, leżący na jednej z linii stałego iloczynu
( lub możliwie blisko niej) i wtedy stałą czasową określamy ze wzoru
.Drugi parametr modelu
lub n określa krzywa najbardziej zbliżona do doświadczalnej.

W przypadku obiektu bez wyrównania k określamy analogicznie jak poprzednio T, posługując się liniami stałego ilorazu
, a parametry T_o lub T ( rys.11.9 i 11.10) podobnie jak poprzednio z najbliższej krzywej.

Rys.11.7. Charakterystyki Blacka dla Rys.11.8.Charakterystyki Blacka dla

trasmitancji
trasmitancji

Rys.11.9. Charakterystyki Blacka Rys.11.10. Charakterystyki Blacka dla

trasmitancji
dla trasmitancji

11.4. Stanowisko pomiarowe

Do badania właściwości dynamicznych obiektów metodą częstotliwościową służą dwa zestawy. Pierwszy zestaw (rys.11.11) zawiera generator sygnałów sinusoidalnych, obiekt badany oraz oscyloskop dwukanałowy.

Rys.11.11. Schemat stanowiska do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych metodą tradycyjną (z oscyloskopem).

Rys.11.12. Schemat stanowiska do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych za pomocą analizatora transmitancji.

Drugi zestaw (rys.11.12) stanowi wyspecjalizowaną aparaturę - analizator transmitancji wyposażony w wewnętrzny generator sygnału sinusoidalnego- do wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych badanego obiektu. Analizator ten umożliwia odczytanie ze wskaźników wartości części rzeczywistej R(ω) oraz części urojonej Q(ω) transmitancji widmowej G(jω).

W obu zestawach obiektem badanym może być dowolne połączenie oporów, indukcyjności i pojemności elektrycznych (R,L,C). Najczęściej używa się inercyjnych członów RC.

11.5. Zadania do wykonania

Badania częstotliwościowe należy wykonać na wybranym przez prowadzącego obiekcie i zestawie aparaturowym. Na podstawie uzyskanych danych pomiarowych wyznaczyć:

1. Charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową M(ω).

2. Charakterystykę fazowo-częstotliwościową ϕ(ω).

3. Charakterystykę amplitudowo-fazową na płaszczyźnie liczb zespolonych.

4. Parametry zastępczej transmitancji obiektu np. posługując się wykresami Blacka.

11.6. Pytania kontrolne

1. Podać definicję transmitancji widmowej.

2. Podać związek między transmitancją operatorową i widmową.

3. Omówić sposób pomiaru charakterystyki częstotliwościowej.

4. Podać transmitancję widmową obiektu inercyjnego pierwszego rzędu.

5. Narysować charakterystykę amplitudowo-fazową, amplitudowo-częstotliwościową i fazowo-częstotliwościową obiektu inercyjnego pierwszego rzędu.

6. Podać sposób postępowania podczas wyznaczania parametrów transmitancji zastępczej metodami częstotliwościowymi.

7. Omówić posługiwanie się wykresami Blacka.

Literatura

1. Chorowski B., Werszko M.: Automatyzacja procesów przemysłowych - podstawy. Wyd. PWr., Wrocław 1981, str.59-68

2. Findeisen W.: Technika regulacji automatycznej PWN ,Warszawa 1978, str.64-82.

---