Zmienne Modelu Wielorównaniowego:

1. objaśniane; objaśniające

2. endogeniczne (nieopóźnione Y_t oraz opóźnione Y_t-r); egzogeniczne (nieopóźnione E_t i opóźnione E_t-k)

3. łącznie współzależne (ZŁW) = nieopóźnione endogeniczne;

z góry ustalone (ZZU) = opóźnione endogeniczne oraz egzogeniczne.

Zmienna endogeniczna Yt wzięta z różnymi opóźnieniami to różne zmienne endogeniczne opóźnione.

• Zmienne łącznie współzależne (ZŁW):

Y₁, Y₂, ..., Y_m. Ogólnie Y_m, m = 1, 2, …, K.

• Zmienne z góry ustalone (ZZU):

X₁, X₂, ..., X_k. Ogólnie X_i, i = 1, ..., K.

Do ZZU zaliczamy też sztuczną zmienną jedynkową.

Postać strukturalna:

Postać modelu wskazująca na bezpośrednie powiązania ZŁW z pozostałymi ZŁW oraz ze zmiennymi ZZU.

γ_jm - współczynnik stojący przy Y1, w równaniu dla Y_m.

Β_im - współczynnik stojący przy X1, w równaniu dla Y_m.

i, j - dotyczą zmiennej objaśniającej

m - dotyczy zmiennej objaśnianej

Y_m = Σ γ_jm Y_j + Σ β_im X_i.

m - numer równania

j - numer zmiennej endogenicznej w roli zmiennej objaśniającej

i - numer zmiennej z góry ustalonej.

Postać strukturalna w zapisie macierzowym

Γ = [γ_jm]. j,m = 1, 2, ..., M. Macierz współczynników przy ZŁW (macierz kwadratowa M x M).

Β = [βim]. i = 1, ..., k. Macierz współczynników przy ZZU (macierz prostokątna K x M).

Kolumna każdej macierzy odpowiada równaniu (ZŁW), a wiersz odpowiada zmiennej objaśniającej (ZŁW lub ZZU).

Podstawowe pojęcia badań operacyjnych:

Zadanie decyzyjne - opis sytuacji decyzyjnej

Zmienne decyzyjne - zmienne, których wartości należy określić kierując się celem podmiotu gospodarczego

Funkcja celu - formuła matematyczna określająca cel

Warunki ograniczające - wyrażenia matematyczne reprezentujące ograniczenia i postulaty techniczne, ekonomiczne, organizacyjne, prawne, ekologiczne.

Postać matematyczna - nierówności lub równania.

Warunki znakowe - postulaty dotyczące znaku zmiennych decyzyjnych

(np. x >= 0, x =< 0, x > 0, x < 0)

Warunki typu - postulaty dotyczące typu zmiennych decyzyjnych.

Zmienne decyzyjne mogą być:

• ciągłe (dowolne wartości z pewnego przedziału, np. x >= 0)

• całkowitoliczbowe (=dyskretne) x є N (z = 0, 1, 2 ...)

• binarne x = 0 lub 1 (=dwuwartościowe)

Rozwiązanie dopuszczalne - takie wartości zmiennych decyzyjnych, dla których spełnione są wszystkie warunki ograniczające i wszystkie warunki znakowe oraz typu.

Rozwiązanie niedopuszczalne - takie wartości zmiennych decyzyjnych, dla których nie jest spełniony przynajmniej jeden warunek ograniczający lub typu lub znakowy.

Rozwiązanie optymalne - najkorzystniejsze rozwiązanie dopuszczalne, czyli takie wartości zmiennych decyzyjnych, dla których spełnione są wszystkie warunki ograniczające i wszystkie warunki znakowe i typu, a funkcja celu osiąga wartość najkorzystniejszą.

Rozwiązanie idealne - rozwiązanie w ogóle najlepsze, bez żadnych istotnych warunków ograniczających.

Rozwiązanie kompromisowe - rozwiązanie, które nie jest optymalne, ale nie jest najgorsze.

optymalne ≠ idealne

Klasyfikacja zadań decyzyjnych:

1. ze względu na postać warunków ograniczających i funkcji celu:

1. liniowe - gdy funkcja celu oraz wszystkie warunki ograniczające są liniowe względem zmiennych decyzyjnych (Suma składników typu ax, a - liczba)

2. nieliniowe - gdy nie jest liniowe, bądź gdy funkcja celu lub choćby jeden warunek ograniczający jest nieliniowy

2. ze względu na typ zmiennych decyzyjnych:

1. ciągłe - gdy postuluje się, ażeby wszystkie zmienne były ciągłe

2. dyskretne - postuluje się, by chociaż jedna zmienna decyzyjna była dyskretna

3. binarne - postuluje się, by chociaż jedna zmienna decyzyjna była binarna.

Rozwiązanie zadania - metoda geometryczna. Polega na rozwiązaniu Zadania programowania liniowego (ZPL) poprzez wykreślenie warunków ograniczających na wykresie i znalezieniu na nim rozwiązania najlepszego. Metoda ma jedynie znaczenie dydaktyczne, gdyż obejmuje jedynie dwie zmienne.

Rozwiązanie optymalne jest jednym z rozwiązań dopuszczalnych.

Rozwiązanie optymalne (jeśli istnieje) znajduje się na wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych (ZRD).

Wierzchołek ZRD nazywamy rozwiązaniami bazowymi.

Warunki wiążące - te, które spełnione są z równością (które wyznaczają rozwiązanie)

Warunki niewiążące - te, które spełnione są z nierównością ostrą.

Liczba rozwiązań optymalnych Zadania programowania liniowego ciągłego. (ZPL):

1. 0 - gdy nie ma rozwiązań dopuszczalnych (rozwiązanie sprzeczne)

2. 1 gdy tylko jeden wierzchołek zbioru rozwiązań dopuszczalnych jest optymalny

3. nieskończenie wiele - gdy przynajmniej dwa wierzchołki ZRD są optymalne (optymalne są też punkty na krawędzi między nimi).

Zadanie ma postać:

1. standardową - gdy wszystkie warunki ograniczające są nierównościami słabymi (≤, ≥)

2. kanoniczną - gdy wszystkie warunki ograniczające są równaniami

3. mieszaną - gdy niektóre warunki ograniczające są nierównościami słabymi, a inne równaniami.

Sprowadzanie postaci standardowej do kanonicznej jest możliwe poprzez wprowadzenie tzw. zmiennych swobodnych (=uzupełniających = bilansujących)

Z każdym warunkiem w postaci nierówności związuje się jemu właściwą zmienną swobodną, która równoważy lewą i prawą stronę nierówności.

Zmienne swobodne są nieujemne.

Wagi funkcji celu są zerowe, wagi zmiennych są zerowe (neutralność)

Rozwiązanie bazowe ZPL

Zadanie programowania liniowego (ZPL) - jest to rozwiązanie układu równań Ax = b, które dodatkowo spełnia warunek nieujemności oraz ograniczenie znakowe.

Rozwiązanie bazowe ZPL jest konstruowane w specjalny sposób rozwiązania układu Ax = b, rozwiązania optymalnego szukamy pośród rozwiązań bazowych ZPL.

Procedura konstruowania rozwiązania bazowego ZPL:

1. Spośród zmiennych decyzyjnych wybieramy tyle zmiennych, ile jest warunków (równań) czyli r. Nazywamy je zmiennymi bazowymi. Pozostałe zmienne to zmienne niebazowe

2. Przyjmijmy, że zmienne niebazowe mają wartość zero. W wyniku tego układ prostokątny przekształci się w kwadratowy (r,r) układ równań liniowych.

Jego zmiennymi będą zmienne bazowe.

3. Rozwiązujemy - o ile się da - kwadratowy układ równań względem zmiennych bazowych

4. Sprawdzamy, czy dla tego rozwiązania spełnione są warunki znakowe.

Jeśli tak, to ono jest rozwiązaniem bazowym ZPL.

Jeśli minimum jedna zmienna jest mniejsza od zera, to nie jest to wierzchołek

zbioru rozwiązań, ale jest rozwiązaniem układu równań.

Metoda SIMPLEKS

Standardową metodą rozwiązywania Zadań programowania liniowego jest Simpleks.

Metoda Simpleks jest metodą sekwencyjnego, ukierunkowanego przeglądu rozwiązań bazowych. Jest to żmudna procedura i w wielu wypadkach - niewykonalna.

Zmienne dualne

Z danym liniowym zadaniem decyzyjnym (LZD), które nazywamy zadaniem pierwotnym, można zmieniać w ściśle określony sposób pewne inne liniowe zadanie decyzyjne - dualne. Są to tzw. zadania sprzężone.

Podstawowe reguły:

• w zadaniu dualnym jest tyle zmiennych, ile warunków w zadaniu pierwotnym i tyle warunków, ile jest zmiennych w zadaniu pierwotnym. Z każdym warunkiem zadania pierwotnego związana jest jemu właściwa zmienna dualna.

• Danemu warunkowi zadania pierwotnego odpowiada jemu właściwa zmienna dualna (y₁, y₂, ..., y_r)

• Interpretacja zmiennych dualnych. Optymalna wartość zmiennej dualnej y_r określa wzrost funkcji celu zadania pierwotnego spowodowany jednostkowym wzrostem wyrazu wolnego r - tego warunku zadania pierwotnego.

Programowanie w warunkach ryzyka i niepewności.

Ryzyko - znany rozkład prawdopodobieństwa wielkości losowych.

Niepewność - rozkład prawdopodobieństwa nie jest znany.

Programowanie stochastyczne (=niedeterministyczne) - gdy przynajmniej jeden z parametrów jest wielkością losową (=niedeterministyczną, stochastyczną).

Model gry z naturą:

Podstawowe reguły wyboru strategii czystych.

Strategią czystą nazywamy wybór jednej decyzji.

Strategia mieszana - kombinacja strategii czystych (przyjmowanych z określonymi wagami)

Reguła Bayes'a:

Wybierz decyzję, dla której średnia jest największa.

Reguła maxmin (Walda)

Wybierz decyzję, dla której minimalna wartość jest największa.

m_j - min {a_1j, a_2j, ..., a_Rj}

Reguła Hurwicza

Wybierz decyzję, dla której średnia ważona wartości minimalnej oraz maksymalnej jest największa.

Waga wartości: min. α є <0,1> - współczynnik ostrożności.

Obliczamy wartości minimalne (m_j) oraz maksymalne (M_j) przy decyzji j.

h_j = α m_j + (1 - α) M_j. Decyzja o największym h

Reguła maxmin jest szczególnym przypadkiem reguły Hurwicza, gdy α = 100% (α = 1)

Strategia mieszana:

y - minimalna gwarantowana korzyść

x_j - udział j-tej strategii (j-tej decyzji) w strategii mieszanej (częstotliwość stosowania j-tej stretegii czystej)

Decyzja wielokrotna: maksymalizujemy średnią korzyść z podjęcia decyzji j.

x_j - udział j-tej strategii (j-tej decyzji) w strategii mieszanej

SIECI CZYNNOŚCI:

1. węzły - odpowiadają zdarzeniom

2. łuki - odpowiadają czynnościom

3. skierowanie - zgodnie z następstwem czynności

4. obciążanie - czasy trwania czynności

Dzięki równoległemu wykonywaniu czynności można skrócić czas realizacji.

droga w sieci - sekwencja występujących po sobie czynności, począwszy od zdarzenia początkowego do zdarzenia kończącego;

najkrótszy termin realizacji całego przedsięwzięcia - jest równy czasowi przejścia najdłuższej drogi (drogi krytycznej);

czas przejścia drogi - suma czasów wykonania czynności tworzących;

droga krytyczna - droga, której czas przejścia jest najdłuższy;

najwcześniejszy możliwy termin zajścia zdarzenia - najwcześniejsze możliwe zakończenie wszystkich czynności kończących się tym zdarzeniem;

w_j = max {w_i+t_ij} dla i є A_j

w_i - najwcześniejszy możliwy moment zajścia zdarzenia poprzedzającego

i - numer zdarzenia poprzedzającego

t_ij - czas trwania czynności od zdarzenia poprzedzającego do tego zdarzenia

A_j - zbiór zdarzeń poprzedzających zdarzenie j

---