PORTFEL INWESTYCYJNY BANKU

Zadania zaliczeniowe do wykładu prof. dr hab. Jerzego Nowakowskiego

Justyna Sucharska

31995

Studia dzienne

Semestr letni 2005/2006

Zadanie 1

Dane są trzy obligacje.

Obligacja A:

3 letnia, o nominale 1000 zł; odsetki stałe płatne raz w roku na koniec roku; rentowność obligacji Y_A= rentowność 52 tyg. bonów skarbowych;

Obligacja B:

2 letnia, o nominale 100 zł; odsetki stałe, płatne co pół roku w wysokości p (p>0); rentowność Y_B;

Obligacja C:

2 letnia o nominale 100 zł; odsetki płatne co pół roku; oprocentowanie równe rentowności 26 tyg. bonów skarbowych; rentowność Y_C;

Dla wybranych Y_A, Y_B, Y_C, p oraz rentowności bonów, jak też parametru r wykonaj poniższe polecenia:

1. Oblicz duration i convexity obligacji A oraz C. Otrzymane rezultaty skomentuj.

2. Jak zmieni się cena obligacji C, jeżeli jej rentowność wzrośnie o 2 pkt. Proc.

3. Skonstruuj uodporniony portfel, uwzględniając convexity, jeżeli wiadomo, że jego wartość po dwóch latach ma wynieść 20 mln. zł.

4. Jak zarządzać portfelem z punktu C, jeżeli wiadomo, że rentowność dla obligacji A wzrosła o r%, rentowność obligacji B wzrosła o ²/₃ r, a rentowność obligacji C spadła o ½ r. Zmiana nastąpiła po roku.

Dane:

• Obligacja A

Wartość nominalna: N= 1000 PLN

Termin wykupu w latach (liczba okresów): n= 3

Wysokość odsetek (kupon): p= 3,99% p.a.

Częstotliwość wypłaty kuponu w roku (liczba podokresów): k= 1

Wartość jednostki kuponu: C=

N= 39,90 PLN

Stopa rentowności (YTM): Y_A= r₅₂= 4,083% p.a. (przetarg z dnia 5.06.2006)

• Obligacja B

Wartość nominalna: N= 100 PLN

Termin wykupu w latach (liczba okresów): n= 2

Wysokość odsetek (kupon): p= 4,2% p.a.

Częstotliwość wypłaty kuponu w roku (liczba podokresów): k= 2

Wartość jednostki kuponu: C=

N=

100 PLN= 2,10 PLN

Stopa rentowności (YTM): Y_B= 4,4% p.a.

• Obligacja C

Wartość nominalna: N= 100 PLN

Termin wykupu w latach (liczba okresów): n= 2

Wysokość odsetek (kupon): p= r₃₄ = 3,125% p.a.

Częstotliwość wypłaty kuponu w roku (liczba podokresów): k= 2

Wartość jednostki kuponu: C= 1,56 PLN

Stopa rentowności (YTM): Y_C= 3,25% p.a.

Obliczenia

Zacznę od obliczenia wartości bieżącej (ceny obligacji):

PV =

Wartość bieżąca obligacji A:

PV_A= 997,42 PLN

Wartość bieżąca obligacji B:

PV_B= 99,62 PLN

Wartość bieżąca obligacji C:

PV_C= 99,76 PLN

Ad a)

Pojęcie duration, zaproponowane w roku 1938 przez Macaulay'a, oznacza średni termin wykupu obligacji (czas trwania obligacji). Czas trwania jest definiowany jako średnia ważona wartości bieżącej przepływów pieniężnych i jest wykorzystywany jako miara wrażliwości ceny obligacji na zmiany stopy dochodu w okresie do wykupu tej obligacji. Duracja jest podawana w latach i jest niższa od terminu trwania obligacji. Oblicza się ją ze wzoru:

D =

D_A= 2,89 lat

D_C= 1,95 lat

Wniosek: Wartość 2,89 lat oznacza, że średni termin zamrożenia środków w inwestycji w obligację A to 2,89 roku. Analogicznie interpretujemy wskaźnik dla obligacji C. Ryzyko zmiany ceny jest więc większe w przypadku obligacji A.

Wypukłość (convexity) jest drugą pochodną ceny i dokładniej odwzorowuje wrażliwość wartości obligacji na zmianę stóp procentowych. Koryguje błąd duracji dla większych zmian stóp procentowych. Obliczana jest ona ze wzoru:

Conv =

Conv_A= 5,26 (lat)²

Conv_C= 2,35 (lat)²

Komentarz: Poprawność wyników potwierdza fakt, iż z dłuższą kuracją wiąże się większa convexity.. Ponieważ convexity obligacji A > convexity obligacji B możemy stwierdzić, że cena obligacji A jest bardziej wrażliwa na zmiany YTM.

Ad b)

Wiemy, iż przy danej stopie rentowności YTM_C= 3,25%, wartość bieżąca obligacji C (jej cena) wynosi:

PV_C= 99,76 PLN- wynika o z obliczeń przedstawionych na początku rozwiązania.

Po wzroście o 2 p.p. YTM_C'= 5,25%

Zatem PV_C'= 96,01 PLN

Przy wzroście rentowności o 2 p.p. cena obligacji zmalała o 3,75 PLN (o 3,76 %).

Ad c)

Strategię uodpornienia portfela (portfolio immunization) stosuje się w celu osiągnięcia pożądanej wartości portfela, a jednocześnie zabezpieczenia się prze ryzykiem reinwestowania oraz ryzykiem zmiany ceny. Polega ona na utworzeniu portfela, którego czas trwania (duration) równy jest okresowi inwestowania i którego wartość jest równa wartości bieżącej pożądanej wartości końcowej portfela.

D_P= X_A×D_A + X_B×D_B + X_C×D_C = 2

Należy zauważyć, iż immunizacja działa przy małych zmianach stóp procentowych, gdyż każdy ruch zmienia parametry równania. Aby immunizacja była całkowicie efektywna, musi być ciągle monitorowana i dopasowywana do nowej sytuacji.

Celem naszego inwestora jest osiągnięcie po dwóch latach portfela o wartości 20 mln zł.

Dla rozwiązania problemu potrzebne jest obliczenie duration oraz convexity obligacji B:

D_B= 1,94 lat

Conv_B= 2,3 (lat)²

W celu znalezienia optymalnego udziału obligacji w portfelu, należy rozwiązać poniższy układ równań:

2,89× X_A+ 1,94× X_B+ 1,95× X_C=2

oraz

X_A + X_B + X_C = 1, gdzie 0 < X_A, X_B, X_C < 1

Parametrem będzie X_A , gdyż obligacja A pełni kluczową rolę w tym przypadku (ma największa wypukłość). Do wyboru optymalnego korzystam z kryterium wypukłości, które mówi, iż do portfela należy wybierać obligacje o największej wypukłości.

2,89× X_A+ 1,95× X_C<2

2,89× X_A +1,94× X_B<2

X_A
(0,053 ; 0,06)

Dla dalszych obliczeń obieram X_A= 5,9% (dla tej wartości udział najbardziej rentownej obligacji-A jest dominujący).

Zatem, podstawiając X_B= 54,6%; X_C= 39,5%

Wartość portfela po 2 latach ma wynosić 20 mln PLN. Obliczam wartość bieżącą portfela

PV = FV/(1+r₅₂)^t

Założono ponadto, że średnia oczekiwana stopa rentowności do wykupu jest równa rentowności 52 - tygodniowych bonów skarbowych (4,083%) z przetargu w dniu 5 czerwca 2006.

PV= 18461645 PLN

Należy kupić obligacje za 18461645 zł, według przyjętego udziału. Struktura portfela immunizowanego będzie wyglądać następująco:

Q =

Obligacja A= 1089 sztuk

Obligacja B= 100800 sztuk

Obligacja C= 72923 sztuk

Ad d)

Dla obliczeń przyjmujemy r= 3,5%

Zatem Y_A= 7,583%

Y_B= 4,42%

Y_C= 1,5%

Zauważmy, że na wartość końcową portfela składają się (przy czym r oznacza stopę procentową po pierwszym roku):

• Dochód z odsetek otrzymanych po pierwszym roku z obligacji A zainwestowany na drugi rok, ze wzoru: 1089× 39,90 (1+Y)

• Dochód z odsetek otrzymanych po drugim roku z obligacji A wynoszący: 1089 ×39,90= 383040 PLN

• Dochód ze sprzedaży obligacji A po dwóch latach: 1089 [39,90/ (1+Y) + 1039,90/ (1+Y)²]

• Dochód z odsetek otrzymanych po pierwszym roku z obligacji B zainwestowany na drugi rok, ze wzoru: 100800 × 4,20 (1+Y)

• Dochód z odsetek otrzymanych po drugim roku z obligacji B wynoszący: 100800 ×4,20= 341170,2 PLN

• Dochód ze sprzedaży obligacji B po dwóch latach: 100800 [4,20/ (1+Y) + 104,20/ (1+Y)²]

• Dochód z odsetek otrzymanych po pierwszym roku z obligacji C zainwestowany na drugi rok, ze wzoru: 72923× 3,12 (1+Y)

• Dochód z odsetek otrzymanych po drugim roku z obligacji C wynoszący: 72923 ×3,12= 23041,20 PLN

• Dochód ze sprzedaży obligacji C po dwóch latach: 72923 [3,12/ (1+Y) + 103,12/ (1+Y)²]

Zatem dla przyjętych przeze mnie Y całkowity dochód wynosi:

1109021 + 10983857 + 7756660= 19749538 PLN.

Jak więc widzimy musimy zmienić skład portfela, aby uzyskać pożądany przez nas dochód.

Po obliczeniach w arkuszu kalkulacyjnym excel uzyskujemy następujące wyniki:

D_A= 2,98 lat

D_B= 1,9 lat

D_C= 1,91 lat

Rozwiązujemy układ równań:

2,98× X_A+ 1,9× X_B+ 1,91× X_C=1

oraz

X_A + X_B + X_C = 1, gdzie 0 < X_A, X_B, X_C < 1

2,98× X_A+ 1,91× X_C<1

2,98× X_A +1,9× X_B<1

X_A
(0,08 ; 0,09)

Zatem : X_A= 8,9%; X_B= 52,3 %; X_C= 38,8%

Struktura nowego portfela będzie wyglądać następująco:

Obligacja A= 1643 sztuk

Obligacja B= 96554 sztuk

Obligacja C= 71631 sztuk.

Zatem inwestor powinien dokupić 554 obligacji A, jednocześnie sprzedając 4246 obligacji B oraz 1292 obligacje C.

Zadanie 2

Dane są następujące obligacje skarbowe z kuponem płatnym co ½ roku.

Obligacja	PV	Roczny kupon	Termin do wykupu (lata)
1	101,3	6,125	0,5
2	102,85	6,25	1
3	102,87	5,25	1,5
4	102,65	4,75	2
5	108,42	7,25	2,5
6	110,17	7,5	3
7	121,48	10,75	3,5
8	118,61	9,38	4
9	110,33	7	4,5
10	107,7	6,25	5

Ponadto wiadomo, że cena 2 tyg. bonów skarbowych wynosi P= 99,83. Na podstawie powyższych cen wyznacz natychmiastową 0- kuponową krzywą dochodowości, dla terminu zapadalności do lat 5.

Rozwiązanie

Za pomocą krzywej stopy dochodu (yield curve, term structure of interest rates) ilustrowana jest zależność pomiędzy stopą dochodu w okresie do wykupu, a długością okresu do terminu wykupu. Zależność tę wyznacza się dla obligacji tego samego typu, różniących się jedynie terminami wykupu. Na osi odciętych zaznaczona jest długość okresu do terminu wykupu, a na osi rzędnych stopa dochodu w okresie do terminu wykupu.

Dla obliczeń przyjmuję cenę nominalną bonów skarbowych oraz obligacji w wysokości 100.

Aby wyznaczyć zerokuponową krzywą dochodowości należy obliczyć rentowności podanych instrumentów finansowych. Zadanie polega więc na znalezieniu takich stóp YTM_x, że zdyskontowana wartość kuponów oraz wartości nominalnej równej 100 jest równa wartości PV. Należy więc znaleźć takie YTM_x, aby poniższa równość była spełniona:

gdzie:

n - termin do wykupu,

k = 1 dla obligacji z terminem wyrażonym w pełnych latach, k = 2 w przeciwnym wypadku

Do znalezienia tych wartości korzystam z solvera. Wynik jest przedstawiony w poniższej tabelce.

Termin zapadalności (w latach)	Rentowność
0,04	4,43%
0,5	3,48%
1	3,31%
1,5	3,27%
2	3,36%
2,5	3,69%
3	3,85%
3,5	4,10%
4	4,23%
4,5	4,44%
5	4,50%

Rentowność 2-tygodniowego bonu skarbowego została policzona ze wzoru

Wyniki nanoszę na wykres i otrzymuję krzywą dochodowości:

Krzywa dochodowości ma nietypowy kształt dla obligacji z terminem zapadalności do 2 lat. Jest ona opadająca, co może oznaczać na przykład, że rynki oczekują obniżenia stóp procentowych przez bank centralny w okresie najbliższych 2 lat.

8

---