Pochodne funkcji jednej zmiennej


0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
Załóżmy , że funkcja 0x01 graphic
jest określona na pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
.

Ilorazem różnicowym funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
odpowiadającym przyrostowi 0x01 graphic
zmiennej niezależnej , gdzie 0x01 graphic
, nazywamy liczbę 0x01 graphic
.

Definicja 1 . Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
i istnieje granica ilorazu różnicowego

0x01 graphic
,

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
i oznaczamy 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
istnieje i jest skończona , to funkcję tę nazywamy różniczkowalną w punkcie 0x01 graphic
.

Przykład Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Wtedy mamy : 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zatem 0x01 graphic
.

Geometryczna interpretacja pochodnej : Jeżeli funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
pochodną, to prostą o współczynniku kierunkowym 0x01 graphic
przechodzącą przez punkt 0x01 graphic
nazywamy styczną do krzywej 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
. Zatem styczna do krzywej 0x01 graphic
w punkcie o odciętej 0x01 graphic
ma równanie

0x01 graphic
.

Fizyczna interpretacja pochodnej :

Załóżmy , że punkt porusza się po prostej ( osi liczbowej ) i jego położenie w chwili 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
.

Wtedy liczba 0x01 graphic
będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili 0x01 graphic
do chwili 0x01 graphic
do czasu jego przebycia 0x01 graphic
nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili 0x01 graphic
.

Podobnie zakładając , że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
, liczbę 0x01 graphic
wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili 0x01 graphic
do chwili 0x01 graphic
do czasu 0x01 graphic
, w którym ta zmiana nastąpiła , nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili 0x01 graphic
.

Jest więc jasne , że jeżeli zmiany 0x01 graphic
są coraz mniejsze , to zarówno średnia prędkość i średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość oraz przyspieszenie danego punktu w chwili 0x01 graphic
.

Jeżeli więc istnieją granice :

0x01 graphic

oraz 0x01 graphic
,

to nazywamy je odpowiednio : prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
oznacza czas ( liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej ) , a 0x01 graphic
- ładunek elektryczny ( mierzony w kulombach ) , jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili początkowej do chwili 0x01 graphic
. Mamy tu funkcję 0x01 graphic
.

Iloraz różnicowy

0x01 graphic

jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między chwilami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
,

a granica tego ilorazu przy 0x01 graphic
, czyli pochodna

0x01 graphic
jest natężeniem prądu w chwili 0x01 graphic
.

Przykład . Napisać równanie stycznej do paraboli 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
.

Mamy : 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Zatem szukana styczna ma postać :

0x01 graphic
.

Uwaga . Funkcja różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
jest ciągła w tym punkcie .

Odwrotnie być nie musi (!) , tzn. z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność funkcji w tym punkcie .

Istotnie , rozważmy funkcję 0x01 graphic
. Jak wiemy , jest ona ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

Z drugiej strony mamy : 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

co oznacza , że funkcja 0x01 graphic
nie jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
.

Twierdzenie 1 . Jeżeli funkcje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają skończone pochodne w punkcie 0x01 graphic
, to

( 1 ) 0x01 graphic
,

( 2 ) 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest pewną stałą ,

( 3 ) 0x01 graphic
,

( 4 ) 0x01 graphic
, o ile 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Przykłady

1) 0x01 graphic

= 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
,

2) 0x01 graphic
,

3) 0x01 graphic

=0x01 graphic
.

Twierdzenie 2 ( O pochodnej funkcji złożonej )

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
ma pochodną w punkcie 0x01 graphic
, zaś funkcja 0x01 graphic
ma pochodną w punkcie 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
ma pochodną w punkcie 0x01 graphic
oraz zachodzi wzór

0x01 graphic
.

Przykłady :

1) 0x01 graphic
,

2) 0x01 graphic
,

3) 0x01 graphic
,

4) 0x01 graphic
,

5) 0x01 graphic
.

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Definicja 2 Pochodną właściwą 0x01 graphic
- tego rzędu funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
definiujemy indukcyjnie :

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Ponadto przyjmujemy 0x01 graphic
.

Przykłady

1) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,0x01 graphic
, … , 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

2) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,… , 0x01 graphic

3) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Ogólnie : 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

4) 0x01 graphic
,0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, … ,

Ogólnie : 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Twierdzenia o wartości średniej

Twierdzenie 3 . ( Rolle'a )

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
spełnia warunki :

1. jest ciągła na przedziale 0x01 graphic
;

2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na 0x01 graphic
;

3. 0x01 graphic
,

to istnieje punkt 0x01 graphic
taki , że

0x01 graphic
.

Interpretacja geometryczna tw. Rolle'a - na wykresie funkcji ciągłej na przedziale

domkniętym , maj,alej pochodną wewnątrz tego przedziału i przyjmującej jednakowe

wartości na końcach przedziału , istnieje punkt , w którym styczna jest równoległa do osi 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Twierdzenie 4 . ( Lagrange'a o wartości średniej )

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w przedziale 0x01 graphic
i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału , to istnieje co najmniej jeden punkt 0x01 graphic
taki , że 0x01 graphic
.

UWAGA Geometrycznie oznacza to , że na łuku , który jest wykresem funkcji 0x01 graphic
, znajduje się co najmniej jeden punkt o odciętej 0x01 graphic
, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce tego łuku .

Przykład 0x01 graphic
dla dowolnych 0x01 graphic
.

Istotnie , niech 0x01 graphic
będą dowolnie ustalone i takie , że 0x01 graphic
i niech 0x01 graphic
. Wtedy mamy 0x01 graphic
i na mocy twierdzenia Lagrange'a , istnieje 0x01 graphic
takie , że

0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
.

Twierdzenie 5 . Załóżmy , że funkcja 0x01 graphic
jest różniczkowalna na przedziale 0x01 graphic
. Jeżeli dla każdego 0x01 graphic
jest

( 1 ) 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest stała na 0x01 graphic
,

( 2 ) 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest rosnąca na 0x01 graphic
,

( 3 ) 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest niemalejąca na 0x01 graphic
,

( 4 ) 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest malejąca na 0x01 graphic
,

( 5 ) 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest nierosnąca na 0x01 graphic
.

Przykłady : Zbadamy monotoniczność funkcji

1) 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Zatem0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
oraz0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.0x01 graphic

Oznacza to , że funkcja 0x01 graphic
jest rosnąca na przedziałach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
( ale nie jest rosnąca na zbiorze 0x01 graphic
!!! ) , a malejąca na zbiorze 0x01 graphic
.

2) Niech 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Ponieważ 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Oznacza to , że funkcja 0x01 graphic
jest malejąca na przedziałach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
0x01 graphic
ale nie jest malejąca na zbiorze 0x01 graphic
!!! 0x01 graphic
.

3) Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji 0x01 graphic
.

Dziedziną funkcji jest zbiór 0x01 graphic
.

Mamy : 0x01 graphic
.

Zatem0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
oraz

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Oznacza to , że funkcja jest rosnąca w przedziale 0x01 graphic
a malejąca w przedziałach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Twierdzenie 6. ( Cauchy'ego )

Jeżeli funkcje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są ciągłe na przedziale 0x01 graphic
, mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
, to istnieje punkt 0x01 graphic
taki , że

0x01 graphic
.

Twierdzenie 7 . ( Reguła de l'Hospitala )

Załóżmy , że funkcje 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
oraz , że

(1) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
i 0x01 graphic
0x01 graphic

(2) istnieje granica 0x01 graphic
właściwa lub niewłaściwa .

Wtedy

0x01 graphic
.

Przykłady :

(1) 0x01 graphic
=0x01 graphic
, (2) 0x01 graphic
,

(3) 0x01 graphic
.

Rozwiniecie Taylora funkcji

Definicja 3 . Niech funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
0x01 graphic
pochodną właściwą 0x01 graphic
rzędu , gdzie 0x01 graphic
N0x01 graphic
. Wielomian

0x01 graphic

Nazywamy wielomianem Taylora rzędu 0x01 graphic
funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
i oznaczamy symbolem 0x01 graphic
. Dla 0x01 graphic
wielomian nazywamy wielomianem Maclaurina .

Twierdzenie 8 . ( wzór Taylora z resztą Lagrange'a )

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
ma pochodną rzędu 0x01 graphic
na przedziale 0x01 graphic
, ma pochodną właściwą 0x01 graphic
na przedziale 0x01 graphic
, to istnieje punkt 0x01 graphic
taki , że

0x01 graphic
.

Uwaga Równość występującą w tezie twierdzenia 8 nazywamy wzorem Taylora , a wyrażenie

0x01 graphic

n-tą resztą Lagrange'a .

Ekstrema funkcji

Definicja 4 . Załóżmy , że funkcja 0x01 graphic
jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
.

Mówimy , że funkcja ma w punkcie 0x01 graphic
minimum ( maksimum ) lokalne , jeżeli

istnieje 0x01 graphic
takie , że

(*) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

dla każdego 0x01 graphic
.

Minima i maksima lokalne funkcji obejmujemy wspólna nazwą - ekstrema .

Twierdzenie 9 . ( Fermata - warunek konieczny istnienia ekstremum )

Niech 0x01 graphic
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu 0x01 graphic
.

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest różniczkowalna w punkcie 0x01 graphic
oraz ma ekstremum lokalne w punkcie 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Uwaga . Implikacja odwrotna jest fałszywa. Istotnie , niech 0x01 graphic
. Wtedy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
ale w punkcie 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
nie ma ekstremum .

Wniosek . Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tych punktach , w których jej pochodna jest równa zero , albo w których jej pochodna nie istnieje .

Przykład Funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum , ale nie ma w tym punkcie pochodnej .

Twierdzenie 10 . ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum )

Niech 0x01 graphic
będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
.

Jeżeli

( 1 ) 0x01 graphic
oraz

( 2 ) istnieje 0x01 graphic
takie , że 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
0x01 graphic
,

to funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum 0x01 graphic
minimum0x01 graphic
lokalne .

Przykłady : Znaleźć ekstrema następujących funkcji ( jeśli istnieją ) :

1) 0x01 graphic
.

Dziedzina funkcji : 0x01 graphic
.

Z warunku koniecznego wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej . Mamy

0x01 graphic
, zatem 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

W tych punktach podana funkcja może mieć ekstremum lokalne . Mamy

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Wynika stąd , że

pochodna w sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
zmienia znak z „+” na „- ''

co oznacza (na podstawie Tw.7 ) , że w punkcie 0x01 graphic
funkcja ma maksimum lokalne .

Analogicznie , w sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
pochodna zmienia znak z „ -'' na „ + '' co

oznacza , ze w tym punkcie funkcja ma minimum lokalne .

2) 0x01 graphic
. 0x01 graphic
.

Wyznaczamy punkty , w których funkcja może mieć ekstremum lokalne rozwiązując

równanie 0x01 graphic
.

Mamy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Ponieważ w sąsiedztwie punktu 0x01 graphic
pochodna zmienia znak z „+'' na „ - ''

więc funkcja ma tym punkcie maksimum lokalne . Analogicznie , w sąsiedztwie punktu

0x01 graphic
pochodna zmienia znak z „+'' na „- '' więc funkcja ma w tym punkcie

minimum lokalne .

3) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zauważmy , że 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Oczywiście funkcja 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą , a ponadto

0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
.

Sprawdzimy , czy funkcja 0x01 graphic
ma pochodną w punkcie 0x01 graphic
.

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, co oznacza , że w punkcie 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
nie ma pochodnej .

Wobec tego

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Zatem funkcja 0x01 graphic
ma minimum w punktach : 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz maksimum w punkcie 0x01 graphic
.

4) Niech 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Oznacza to , że funkcja 0x01 graphic
nie ma ekstremów .

Twierdzenie 11 . ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum )

Niech funkcja 0x01 graphic
określona w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
skończoną pochodną 0x01 graphic
przy pewnym 0x01 graphic
i niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

(a) Jeżeli 0x01 graphic
jest liczbą parzystą , to funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
ekstremum lokalne właściwe , przy czym gdy 0x01 graphic
, jest to maksimum lokalne , a gdy 0x01 graphic
, jest to minimum lokalne .

(b) Jeżeli 0x01 graphic
jest liczbą nieparzystą , to funkcja 0x01 graphic
nie ma w punkcie 0x01 graphic
ekstremum lokalnego .

Najmniejsza i największa wartość funkcji

Jeżeli funkcja 0x01 graphic
jest ciągła określona na przedziale domkniętym 0x01 graphic
, to osiąga swoją wartość najmniejszą i największą w pewnych punktach tego przedziału .

Załóżmy , że funkcja ma pochodną w tym przedziale . Wtedy aby znaleźć najmniejszą i największą

wartość funkcji w przedziale 0x01 graphic
postępujemy następująco :

(1) Znajdujemy wszystkie punkty 0x01 graphic
przedziału 0x01 graphic
, w których pochodna funkcji 0x01 graphic
jest

równa 0 oraz wszystkie punkty 0x01 graphic
przedziału 0x01 graphic
, w których pochodna tej funkcji

nie istnieje ;

(2) Obliczamy wartości funkcji 0x01 graphic
w punktach końcowych 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz we wszystkich punktach

0x01 graphic
;

(3) Spośród liczb 0x01 graphic
wybieramy najmniejszą i największą , które są wartością najmniejszą i największą w przedziale 0x01 graphic
.

Przykład

Niech 0x01 graphic
. Wyznaczyć wartości najmniejszą i największą funkcji na przedziale 0x01 graphic
.

Funkcja 0x01 graphic
jest ciągła i 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
nie ma pochodnej .

Zatem 0x01 graphic
.

Obliczamy więc wartości funkcji 0x01 graphic
w punktach : 1 , 3, 0x01 graphic
, 2. Mamy 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem największą wartością funkcji 0x01 graphic
w przedziale 0x01 graphic
jest 9 , zaś najmniejszą - liczba 0 .

Wypukłość i wklęsłość funkcji

Definicja 4 . Niech funkcja 0x01 graphic
będzie określona na przedziale 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Funkcję 0x01 graphic
nazywamy wypukłą ( wklęsłą ) na przedziale 0x01 graphic
, jeżeli

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
: 0x01 graphic

[ 0x01 graphic
0x01 graphic
: 0x01 graphic
] .

Twierdzenie 12 . Niech 0x01 graphic
będzie funkcją określoną na przedziale 0x01 graphic
.

(1) Jeżeli 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest ściśle wypukła na 0x01 graphic
.

(2) Jeżeli 0x01 graphic
dla każdego 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest ściśle wklęsła na 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu 0x01 graphic
, ciągłą w punkcie 0x01 graphic
.

Definicja 5 . Punkt 0x01 graphic
nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji 0x01 graphic
, jeżeli istnieje liczba 0x01 graphic
taka , że funkcja 0x01 graphic
jest ściśle wypukła na przedziale 0x01 graphic
oraz ściśle wklęsła na przedziale 0x01 graphic
lub odwrotnie .

Twierdzenie 13 . ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )

Jeżeli 0x01 graphic
jest punktem przegięcia wykresu funkcji 0x01 graphic
oraz istnieje druga pochodna 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe !

Twierdzenie 14 . Niech 0x01 graphic
będzie funkcją ciągłą w punkcie 0x01 graphic
. Jeżeli istnieje 0x01 graphic
takie , że spełnione są nierówności :

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
lub

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Przykład Niech 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Wtedy 0x01 graphic
i

0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
nie istnieje . Oczywiście 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą .

Zatem 0x01 graphic
.

Wobec tego

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Funkcja jest wypukła w przedziałach : 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, a wklęsła w przedziale 0x01 graphic
.

Wykres funkcji 0x01 graphic
ma dwa punkty przegięcia : 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

5



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Zestaw 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
9 Pochodna funkcji jednej zmiennej
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej pochodne
5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

więcej podobnych podstron