Załóżmy , że funkcja
jest określona na pewnym otoczeniu punktu
.
Ilorazem różnicowym funkcji
w punkcie
odpowiadającym przyrostowi
zmiennej niezależnej , gdzie
, nazywamy liczbę
.
Definicja 1 . Jeżeli funkcja
jest określona w pewnym otoczeniu punktu
i istnieje granica ilorazu różnicowego
,
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
i oznaczamy
, tzn.
.
Jeżeli
istnieje i jest skończona , to funkcję tę nazywamy różniczkowalną w punkcie
.
Przykład Niech
,
. Wtedy mamy :
.
Zatem
.
Geometryczna interpretacja pochodnej : Jeżeli funkcja
ma w punkcie
pochodną, to prostą o współczynniku kierunkowym
przechodzącą przez punkt
nazywamy styczną do krzywej
w punkcie
. Zatem styczna do krzywej
w punkcie o odciętej
ma równanie
.
Fizyczna interpretacja pochodnej :
Załóżmy , że punkt porusza się po prostej ( osi liczbowej ) i jego położenie w chwili
jest
.
Wtedy liczba
będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od chwili
do chwili
do czasu jego przebycia
nazywamy średnią prędkością tego punktu w chwili
.
Podobnie zakładając , że prędkość punktu poruszającego się po prostej w chwili
jest
, liczbę
wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od chwili
do chwili
do czasu
, w którym ta zmiana nastąpiła , nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w chwili
.
Jest więc jasne , że jeżeli zmiany
są coraz mniejsze , to zarówno średnia prędkość i średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość oraz przyspieszenie danego punktu w chwili
.
Jeżeli więc istnieją granice :
oraz
,
to nazywamy je odpowiednio : prędkością chwilową i przyspieszeniem chwilowym w chwili
.
Niech
oznacza czas ( liczony w sekundach od pewnej chwili początkowej ) , a
- ładunek elektryczny ( mierzony w kulombach ) , jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od chwili początkowej do chwili
. Mamy tu funkcję
.
Iloraz różnicowy
jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między chwilami
i
,
a granica tego ilorazu przy
, czyli pochodna
jest natężeniem prądu w chwili
.
Przykład . Napisać równanie stycznej do paraboli
w punkcie
.
Mamy :
,
,
. Zatem szukana styczna ma postać :
.
Uwaga . Funkcja różniczkowalna w punkcie
jest ciągła w tym punkcie .
Odwrotnie być nie musi (!) , tzn. z ciągłości funkcji w punkcie nie wynika jej różniczkowalność funkcji w tym punkcie .
Istotnie , rozważmy funkcję
. Jak wiemy , jest ona ciągła w punkcie
.
Z drugiej strony mamy :
,
,
co oznacza , że funkcja
nie jest różniczkowalna w punkcie
.
Twierdzenie 1 . Jeżeli funkcje
i
mają skończone pochodne w punkcie
, to
( 1 )
,
( 2 )
, gdzie
jest pewną stałą ,
( 3 )
,
( 4 )
, o ile
.
Przykłady
1)
=
=
=
,
2)
,
3)
=
.
Twierdzenie 2 ( O pochodnej funkcji złożonej )
Jeżeli funkcja
ma pochodną w punkcie
, zaś funkcja
ma pochodną w punkcie
, to funkcja
ma pochodną w punkcie
oraz zachodzi wzór
.
Przykłady :
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
Definicja 2 Pochodną właściwą
- tego rzędu funkcji
w punkcie
definiujemy indukcyjnie :
dla
, gdzie
.
Ponadto przyjmujemy
.
Przykłady
1)
,
,
,
,
,
, … ,
dla
.
2)
,
,
,
,… ,
3)
,
,
,
,
,
,
,
Ogólnie :
dla
.
4)
,
,
,
,
,
, … ,
Ogólnie :
dla
,
.
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 3 . ( Rolle'a )
Jeżeli funkcja
spełnia warunki :
1. jest ciągła na przedziale
;
2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na
;
3.
,
to istnieje punkt
taki , że
.
Interpretacja geometryczna tw. Rolle'a - na wykresie funkcji ciągłej na przedziale
domkniętym , maj,alej pochodną wewnątrz tego przedziału i przyjmującej jednakowe
wartości na końcach przedziału , istnieje punkt , w którym styczna jest równoległa do osi
.
Twierdzenie 4 . ( Lagrange'a o wartości średniej )
Jeżeli funkcja
jest ciągła w przedziale
i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału , to istnieje co najmniej jeden punkt
taki , że
.
UWAGA Geometrycznie oznacza to , że na łuku , który jest wykresem funkcji
, znajduje się co najmniej jeden punkt o odciętej
, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce tego łuku .
Przykład
dla dowolnych
.
Istotnie , niech
będą dowolnie ustalone i takie , że
i niech
. Wtedy mamy
i na mocy twierdzenia Lagrange'a , istnieje
takie , że
. Stąd
.
Twierdzenie 5 . Załóżmy , że funkcja
jest różniczkowalna na przedziale
. Jeżeli dla każdego
jest
( 1 )
, to funkcja
jest stała na
,
( 2 )
, to funkcja
jest rosnąca na
,
( 3 )
, to funkcja
jest niemalejąca na
,
( 4 )
, to funkcja
jest malejąca na
,
( 5 )
, to funkcja
jest nierosnąca na
.
Przykłady : Zbadamy monotoniczność funkcji
1)
dla
.
Wtedy
dla
. Zatem
oraz
.
Oznacza to , że funkcja
jest rosnąca na przedziałach
i
( ale nie jest rosnąca na zbiorze
!!! ) , a malejąca na zbiorze
.
2) Niech
dla
.
Wtedy
dla
. Ponieważ
,
, więc
.
Oznacza to , że funkcja
jest malejąca na przedziałach
i
ale nie jest malejąca na zbiorze
!!!
.
3) Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji
.
Dziedziną funkcji jest zbiór
.
Mamy :
.
Zatem
oraz
. Oznacza to , że funkcja jest rosnąca w przedziale
a malejąca w przedziałach
i
.
Twierdzenie 6. ( Cauchy'ego )
Jeżeli funkcje
i
są ciągłe na przedziale
, mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na
oraz
dla każdego
, to istnieje punkt
taki , że
.
Twierdzenie 7 . ( Reguła de l'Hospitala )
Załóżmy , że funkcje
,
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu
oraz , że
(1)
i
(2) istnieje granica
właściwa lub niewłaściwa .
Wtedy
.
Przykłady :
(1)
=
, (2)
,
(3)
.
Rozwiniecie Taylora funkcji
Definicja 3 . Niech funkcja
ma w punkcie
pochodną właściwą
rzędu , gdzie
N
. Wielomian
Nazywamy wielomianem Taylora rzędu
funkcji
w punkcie
i oznaczamy symbolem
. Dla
wielomian nazywamy wielomianem Maclaurina .
Twierdzenie 8 . ( wzór Taylora z resztą Lagrange'a )
Jeżeli funkcja
ma pochodną rzędu
na przedziale
, ma pochodną właściwą
na przedziale
, to istnieje punkt
taki , że
.
Uwaga Równość występującą w tezie twierdzenia 8 nazywamy wzorem Taylora , a wyrażenie
n-tą resztą Lagrange'a .
Ekstrema funkcji
Definicja 4 . Załóżmy , że funkcja
jest określona w pewnym otoczeniu punktu
.
Mówimy , że funkcja ma w punkcie
minimum ( maksimum ) lokalne , jeżeli
istnieje
takie , że
(*)
dla każdego
.
Minima i maksima lokalne funkcji obejmujemy wspólna nazwą - ekstrema .
Twierdzenie 9 . ( Fermata - warunek konieczny istnienia ekstremum )
Niech
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu
.
Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
oraz ma ekstremum lokalne w punkcie
, to
.
Uwaga . Implikacja odwrotna jest fałszywa. Istotnie , niech
. Wtedy
, skąd
ale w punkcie
funkcja
nie ma ekstremum .
Wniosek . Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tych punktach , w których jej pochodna jest równa zero , albo w których jej pochodna nie istnieje .
Przykład Funkcja
ma w punkcie
minimum , ale nie ma w tym punkcie pochodnej .
Twierdzenie 10 . ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum )
Niech
będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu
.
Jeżeli
( 1 )
oraz
( 2 ) istnieje
takie , że
dla
i
dla
dla
i
dla
,
to funkcja
ma w punkcie
maksimum
minimum
lokalne .
Przykłady : Znaleźć ekstrema następujących funkcji ( jeśli istnieją ) :
1)
.
Dziedzina funkcji :
.
Z warunku koniecznego wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej . Mamy
, zatem
W tych punktach podana funkcja może mieć ekstremum lokalne . Mamy
dla
i
dla
. Wynika stąd , że
pochodna w sąsiedztwie punktu
zmienia znak z „+” na „- ''
co oznacza (na podstawie Tw.7 ) , że w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne .
Analogicznie , w sąsiedztwie punktu
pochodna zmienia znak z „ -'' na „ + '' co
oznacza , ze w tym punkcie funkcja ma minimum lokalne .
2)
.
.
Wyznaczamy punkty , w których funkcja może mieć ekstremum lokalne rozwiązując
równanie
.
Mamy
i
.
Ponieważ w sąsiedztwie punktu
pochodna zmienia znak z „+'' na „ - ''
więc funkcja ma tym punkcie maksimum lokalne . Analogicznie , w sąsiedztwie punktu
pochodna zmienia znak z „+'' na „- '' więc funkcja ma w tym punkcie
minimum lokalne .
3)
,
.
Zauważmy , że
dla
.
Oczywiście funkcja
jest funkcją ciągłą , a ponadto
. Stąd
.
Sprawdzimy , czy funkcja
ma pochodną w punkcie
.
,
, co oznacza , że w punkcie
funkcja
nie ma pochodnej .
Wobec tego
,
,
.
Zatem funkcja
ma minimum w punktach :
,
oraz maksimum w punkcie
.
4) Niech
dla
.
Wtedy
dla
. Stąd
.
. Oznacza to , że funkcja
nie ma ekstremów .
Twierdzenie 11 . ( II warunek wystarczający istnienia ekstremum )
Niech funkcja
określona w pewnym otoczeniu punktu
ma w punkcie
skończoną pochodną
przy pewnym
i niech
,
.
(a) Jeżeli
jest liczbą parzystą , to funkcja
ma w punkcie
ekstremum lokalne właściwe , przy czym gdy
, jest to maksimum lokalne , a gdy
, jest to minimum lokalne .
(b) Jeżeli
jest liczbą nieparzystą , to funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum lokalnego .
Najmniejsza i największa wartość funkcji
Jeżeli funkcja
jest ciągła określona na przedziale domkniętym
, to osiąga swoją wartość najmniejszą i największą w pewnych punktach tego przedziału .
Załóżmy , że funkcja ma pochodną w tym przedziale . Wtedy aby znaleźć najmniejszą i największą
wartość funkcji w przedziale
postępujemy następująco :
(1) Znajdujemy wszystkie punkty
przedziału
, w których pochodna funkcji
jest
równa 0 oraz wszystkie punkty
przedziału
, w których pochodna tej funkcji
nie istnieje ;
(2) Obliczamy wartości funkcji
w punktach końcowych
,
oraz we wszystkich punktach
;
(3) Spośród liczb
wybieramy najmniejszą i największą , które są wartością najmniejszą i największą w przedziale
.
Przykład
Niech
. Wyznaczyć wartości najmniejszą i największą funkcji na przedziale
.
Funkcja
jest ciągła i
.
W punkcie
funkcja
nie ma pochodnej .
Zatem
.
Obliczamy więc wartości funkcji
w punktach : 1 , 3,
, 2. Mamy
,
,
,
.
Zatem największą wartością funkcji
w przedziale
jest 9 , zaś najmniejszą - liczba 0 .
Wypukłość i wklęsłość funkcji
Definicja 4 . Niech funkcja
będzie określona na przedziale
, gdzie
.
Funkcję
nazywamy wypukłą ( wklęsłą ) na przedziale
, jeżeli
:
[
:
] .
Twierdzenie 12 . Niech
będzie funkcją określoną na przedziale
.
(1) Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest ściśle wypukła na
.
(2) Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest ściśle wklęsła na
.
Niech
będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie
.
Definicja 5 . Punkt
nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji
, jeżeli istnieje liczba
taka , że funkcja
jest ściśle wypukła na przedziale
oraz ściśle wklęsła na przedziale
lub odwrotnie .
Twierdzenie 13 . ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )
Jeżeli
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
oraz istnieje druga pochodna
, to
.
Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe !
Twierdzenie 14 . Niech
będzie funkcją ciągłą w punkcie
. Jeżeli istnieje
takie , że spełnione są nierówności :
dla
i
dla
lub
dla
i
dla
.
Przykład Niech
dla
. Wtedy
i
, przy czym
nie istnieje . Oczywiście
jest funkcją ciągłą .
Zatem
.
Wobec tego
,
.
Funkcja jest wypukła w przedziałach :
i
, a wklęsła w przedziale
.
Wykres funkcji
ma dwa punkty przegięcia :
i
.
POCHODNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
5