6. SZACOWANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW RÓWNANIA POPYTU

Model ekonometryczny ma następującą postać:

gdzie:

y_t - zmienna objaśniana;

x_t - zmienna objaśniająca;

₀, ₁ - parametry modelu;

_t - składnik losowy.

Celem jest znalezienie szacunków nieznanych parametrów modelu: ₀ i ₁.

Po oszacowaniu parametrów równanie regresji liniowej będzie miało następującą postać:

gdzie:

- wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej;

- estymatory parametrów ₀ i ₁.

Parametry ₀ i ₁ równania regresji będziemy szacować stosując metodę najmniejszych kwadratów (MNK). Jest to metoda najczęściej stosowana. Inną metodą szacunku parametrów jest np. metoda największej wiarygodności.

Po obliczeniu estymatorów parametrów ₀ i ₁ będziemy mogli przedstawić nasze oszacowanie funkcji popytu:

Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej uzyskane z równania regresji stanowią bardzo dobre dopasowanie do wartości rzeczywistych. Czym jednak dopasowanie uzyskane za pomocą regresji liniowej i metody najmniejszych kwadratów różni się od dopasowania uzyskanego „na oko”?

Estymatory MNK charakteryzują się tym, że suma kwadratów reszt jest najmniejsza. Innymi słowy, estymatory MNK minimalizują sumę kwadratów odchyleń wartości empirycznych od wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej.

Dla równania regresji liniowej obejmującego jedną zmienną objaśniającą estymatory MNK obliczamy według wzorów:

Tak obliczone estymatory parametrów ₀ i ₁ minimalizują sumę kwadratów reszt (SSE), tzn. spełniają funkcję celu:

.

Przykład

W podręczniku W.F. Samuelsona i S.G. Marksa „Ekonomia menedżerska” (PWE, Warszawa 2008, s. 171) oszacowana została na podstawie podanych danych liczbowych funkcja popytu na bilety lotnicze określonej linii na pewnej trasie w USA:

Q = 478,6 - 1,63P,

gdzie Q oznacza przeciętną liczbę sprzedanych biletów w jednym rejsie, a P cenę biletu wyrażoną w dolarach.

W analizach rynku wykorzystujemy także często tzw. odwróconą funkcję popytu, która w tym przypadku ma postać:

P = 293,6 - 0,61Q.

Odwrócona funkcja popytu jest potrzebna do wyznaczenia ceny, po której można sprzedać określoną ilość towaru. Możemy również - podstawiając przeznaczoną do sprzedaży ilość - obliczyć spodziewany utarg:

U = PQ = (293,6 - 0,61Q)Q = 293,6Q - 0,61Q².

Na przykład, jeżeli w samolocie jest 100 miejsc i wszystkie bilety zostaną sprzedane, to utarg wyniesie: 23260 dol. Można to zresztą sprawdzić, obliczając z poprzedniego równania cenę, po której można sprzedać Q = 100 biletów. Cena ta wynosi 232,60 dol.

Funkcja popytu w postaci odwróconej przydaje się także do sporządzenia wykresu funkcji popytu. Na wykresie funkcji popytu na osi pionowej umieszcza się zwykle cenę dobra, a na osi poziomej ilość:

Znając funkcję popytu można określić prawdopodobny popyt przy zakładanych wartościach zmiennych objaśniających. W rozważanym przypadku możemy określić wielkość popytu na bilety lotnicze przy dowolnym poziomie ceny.

7. REGRESJA WIELORAKA

Kiedy jest kilka zmiennych objaśniających, mamy do czynienia z tzw. regresją wieloraką. Mamy wtedy równanie regresji o ogólnej postaci:

.

Na przykład, popyt na bilety lotnicze na określonej trasie sprzedawane przez daną linię może zależeć od trzech czynników: ceny biletu danej firmy, ceny biletu oferowanego na tej samej trasie przez linię konkurencyjną oraz przeciętnego dochodu mieszkańca danego regionu.

Równanie popytu jest w takim przypadku następujące:

,

gdzie:

Q - liczba sprzedanych biletów w jednym rejsie

P - cena własna biletu (w dolarach)

P_K - cena konkurenta (w dolarach)

Y - dochód realny mieszkańca regionu (indeks)

Estymatory parametrów równania regresji możemy oszacować znowu metodą najmniejszych kwadratów. Także i tutaj estymatory MNK charakteryzują się tym, że minimalizują sumę kwadratów odchyleń wartości teoretycznych od wartości empirycznych zmiennej objaśnianej (tzn. sumę kwadratów reszt - SSE). Kiedy występuje kilka zmiennych objaśniających, podane poprzednio wzory na parametry nie mają zastosowania. Estymatory MNK znajdujemy za pomocą odpowiednich operacji wykonywanych na macierzach.

W postaci macierzowej jednorównaniowy model ekonometryczny możemy zapisać w następujący sposób:

co jest równoważne zapisowi:

.

Po oszacowaniu parametrów równanie regresji zapisane w postaci macierzowej będzie wyglądało następująco:

co jest równoważne zapisowi:

.

Wektor estymatorów nieznanych parametrów dla modelu zapisanego w postaci macierzowej znajdujemy według wzoru:

Wzór ten ma zastosowanie nie tylko do modelu z kilkoma zmiennymi objaśniającymi - jest on również prawidłowy dla modelu, w którym jest tylko jedna zmienna objaśniająca.

Nie martw się:

Powyższe wzory nie są nam potrzebne, gdyż wszystkie obliczenia wykona komputer po uruchomieniu procedury regresji liniowej znajdującej się np. w programie Microsoft Excel.

8. WYKORZYSTANIE RÓWNANIA REGRESJI

W cytowanym przykładzie uzyskano równanie regresji:

Q = 28,84 - 2,12P + 1,03P_K + 3,09Y.

Znając cenę własnego biletu, cenę biletu oferowanego przez konkurencyjną linię oraz wysokość dochodów realnych mieszkańców, można dość dokładnie określić liczbę biletów, które zostaną sprzedane.

Na przykład, jeżeli zmienne objaśniające przyjmą następujące wartości: P = 235, P_K = 240, Y = 109,0, to prognozowana liczba sprzedanych biletów w jednym rejsie wyniesie Q = 114,7.

Estymowane równanie regresji można więc wykorzystać do prognozowania popytu przy pewnych założeniach dotyczących wartości zmiennych objaśniających. Można też badać wpływ pewnych zmian czynników określających popyt na wielkość sprzedaży.

Na przykład, z równania regresji wynika, że obniżenie własnej ceny biletu o 10 dol. (przy braku reakcji konkurenta) może przysporzyć nam dodatkowo 21 pasażerów w jednym rejsie. Natomiast podobna obniżka ceny biletu zastosowana przez konkurenta oznaczać będzie dla nas utratę 10 potencjalnych pasażerów. Aby do tego nie dopuścić, trzeba będzie obniżyć własną cenę o ok. 5 dol.

Prognoza to określenie prawdopodobnej wielkości sprzedaży w przyszłości przy określonych założeniach. Symulacja to badanie wpływu pewnych hipotetycznych zmian na rynku na wielkość naszej sprzedaży.

9. INTERPRETACJA PARAMETRÓW

Jak interpretować wartości oszacowanych parametrów modelu regresji?

Estymator
informuje, o ile przeciętnie wzrosła (gdy
) lub zmalała (gdy
) wartość zmiennej objaśnianej, gdy ceteris paribus (tzn. przy innych czynnikach nie zmienionych) wartość zmiennej objaśniającej x_k wzrosła o jednostkę.

Dla funkcji popytu o postaci:

Q = 478,6 - 1,63P

mamy następującą interpretację parametru:

• Przy innych czynnikach nie zmienionych, wzrost ceny własnej biletu o 1 dol. powoduje przeciętnie zmniejszenie liczby sprzedanych biletów w jednym rejsie o 1,63.

Dla funkcji popytu o postaci:

Q = 28,84 - 2,12P + 1,03P_K + 3,09Y

mamy następującą interpretację parametrów:

• Przy innych czynnikach nie zmienionych, wzrost ceny własnej biletu o 1 dol. powoduje przeciętnie zmniejszenie liczby sprzedanych biletów o 2,12.

• Przy innych czynnikach nie zmienionych, wzrost ceny biletu oferowanego przez konkurenta powoduje przeciętnie wzrost liczby sprzedanych przez nas biletów o 1,03.

• Przy innych czynnikach nie zmienionych, wzrost dochodów realnych mieszkańców o 1 punkt procentowy powoduje przeciętnie wzrost liczby sprzedanych biletów o 3,09.

W podanym przykładzie popytu na bilety lotnicze, przytoczonym z podręcznika W.F. Samuelsona i S.G. Marksa „Ekonomia menedżerska” wątpliwości budzą wysokie wartości liczbowe estymowanych parametrów równania regresji. Np. w prostym równaniu regresji parametr 1,63 podany przy cenie własnej biletu sugeruje, że obniżka ceny o 10 dol. powoduje zwiększenie liczby sprzedanych biletów w jednym rejsie o 16,3. Podobnie w równaniu regresji wielorakiej parametr 2,12 przy cenie własnej biletu sugeruje, że obniżka ceny o 10 dol. spowoduje zwiększenie liczby sprzedanych biletów o 21,2. Wydaje się to mało prawdopodobne. Dlatego, chociaż estymowane równania popytu dają dobre odwzorowanie rzeczywistego kształtowania się wielkości sprzedaży, w pierwszym naszym podejściu do tego przykładu podanym w poprzednim rozdziale zmieniliśmy wartości liczbowe parametrów.

10. OCENA JAKOŚCI RÓWNANIA

Analizę regresji można przeprowadzić za pomocą różnych programów komputerowych. Wystarczy jedynie określić ogólną postać równania regresji i wprowadzić dane: wartości zmiennej zależnej i zmiennych objaśniających. Oprócz parametrów równania regresji, obliczonych metodą najmniejszych kwadratów, otrzymamy dane ukazujące jakość oszacowanego równania. Dane te pozwalają ocenić:

• czy równanie ma dobre własności statystyczne,

• czy dobrze wyjaśnia zależność pomiędzy zmiennymi,

• czy nadaje się do przeprowadzenia prognozy.

Istnieje wiele kryteriów, według których ocenia się równania regresji. Najważniejsze z nich to:

• współczynnik determinacji

• skorygowany współczynnik determinacji

• statystyka F

• istotność parametrów

• błąd standardowy regresji
  

Współczynnik determinacji

Współczynnik determinacji R² informuje, jaka część zmienności zmiennej zależnej jest wyjaśniona przez równanie regresji. Jest to miernik dobroci dopasowania, pokazujący, w jakim stopniu równanie regresji pasuje do danych empirycznych.

Współczynnik R² jest obliczany według wzoru:

,

gdzie SSE to suma kwadratów reszt (zmienność nie uwzględniona w równaniu regresji), a TSS - suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej objaśnianej od jej średniej. Wartość R² jest zawarta w przedziale <0,1>. Pożądane jest możliwie największe R². W naszym przykładzie R² = 0,78, co oznacza, że równanie regresji objaśnia 78% całej zmienności zmiennej zależnej.

Skorygowany współczynnik determinacji

Wprowadzenie dodatkowych zmiennych objaśniających zwiększa wartość R². Skorygowany współczynnik R² uwzględnia fakt, że wprowadzanie dodatkowych zmiennych objaśniających zawsze poprawia stopień dopasowania (zmniejsza SSE), ale następuje to kosztem zmniejszenia liczby stopni swobody. Współczynnik ten obliczamy według formuły:

,

gdzie N - k oznacza liczbę stopni swobody, która jest równa liczbie obserwacji (N) pomniejszonej o liczbę oszacowanych parametrów (k).

Różnicę w stosunku do R² stanowi poprawka uwzględniająca liczbę stopni swobody. Skorygowany współczynnik R² jest zawsze mniejszy od R². W naszym przykładzie wynosi on 0,72.

Statystyka F

Statystyka F ma podobne zastosowanie jak skorygowany współczynnik R². Jest ona liczona według wzoru:

.

W formule tej dzielimy objaśnioną część zmienności (R²), przez część nie objaśnioną (1 - R²), korygując każdą z nich o stopnie swobody. Im bardziej dokładne są szacunki zmiennej objaśnianej wyprowadzane z równania regresji, tym wyższa będzie wartość F. Statystyka F pozwala więc ocenić ogólną istotność równania regresji. W naszym przykładzie statystyka F przyjmuje wartość 14,2 przy 3 i 12 stopniach swobody. Porównując to z tablicą rozkładu F stwierdzamy, że możemy odrzucić hipotezę o zerowej wartości współczynników regresji z prawdopodobieństwem 99%. Tak więc równanie regresji ma istotną wartość objaśniającą.

Istotność parametrów

Istotność oszacowań współczynników regresji możemy ocenić za pomocą ich błędów standardowych. Miarą błędu standardowego współczynnika regresji (parametru stojącego przed zmienną objaśniającą) jest odchylenie standardowe jego dyspersji. Im niższy jest błąd standardowy, tym dokładniejsza jest ocena wartości parametru.

W praktyce do oceny istotności parametrów stosujemy najczęściej statystykę t, tzn. iloraz obliczonej wartości współczynnika regresji i jego błędu standardowego. Statystyka t informuje nas, czy oszacowany parametr jest istotny. Zazwyczaj stawiamy warunek: |t| > 1, a jeśli nie jest on spełniony, odrzucamy daną zmienną. W naszym przykładzie wszystkie cztery parametry mają t > 1, tzn. mogą być uznane za istotne.

Błąd standardowy regresji

Błąd standardowy regresji (inaczej: odchylenie standardowe reszt) jest miarą nie objaśnionej zmienności zmiennej zależnej. Oblicza się go według wzoru:

.

W naszym przykładzie s = 14,77.

Metoda regresji opiera się na określonych założeniach dotyczących rozkładu składnika losowego, tzn. rozkładu reszt. Kluczowe znaczenie ma założenie, że składnik ten jest niezależny i ma rozkład normalny o średniej równej zeru i stałej wariancji. Jeżeli założenie to nie jest ściśle spełnione, to równanie regresji oszacowane za pomocą MNK nie będzie statystycznie poprawne.

Dwa główne problemy związane z odchyleniami losowymi to heteroskedastyczność i autokorelacja składnika losowego. Heteroskedastyczność występuje, gdy wariancja składnika losowego nie jest stała, lecz zmienia się w obrębie badanej próby. Autokorelacja występuje wtedy, gdy reszty nie objaśnione przez równanie regresji nie mają charakteru losowego, lecz tworzą pewien regularny ciąg. Obydwa te zjawiska powodują, że oszacowane parametry równania regresji będą obciążone błędem. Do wykrywania autokorelacji służy m. in. statystyka Durbina-Watsona (powinna mieć wartość zbliżoną do 2).

11. RADY PRAKTYCZNE

Liczba obserwacji

Liczba obserwacji nie może być zbyt mała, gdyż uzyskane z tego oszacowania badanej zależności mogą okazać się niemiarodajne. Z drugiej strony, w analizie szeregów czasowych nie powinniśmy zanadto wydłużać okresu obserwacji, gdyż prawidłowości określające kształtowanie się badanej zmiennej mogą w dłuższym okresie ulegać zmianom. Dla uzyskania w równaniu regresji w miarę poprawnego obrazu badanej zależności niezbędnych jest z reguły przynajmniej kilkanaście obserwacji.

Liczba zmiennych objaśniających

Dodatkowe zmienne objaśniające poprawiają stopień dopasowania równania regresji do danych empirycznych, ale uzyskana tą drogą poprawa idzie w parze ze zmniejszeniem istotności parametrów i wartości poznawczej równania. Dlatego lepiej pominąć mniej istotne zmienne. Liczba zmiennych objaśniających musi pozostawać również w rozsądnej proporcji do liczby obserwacji.

Wybór równania regresji

Przewidywanie popytu jest po części nauką, a po części sztuką. Użycie nawet najbardziej złożonych narzędzi i technik statystycznych nie gwarantuje dobrej jakości prognoz. Ważną rolę w konstruowaniu i wykorzystaniu równań popytu odgrywa doświadczenie i rozsądek.

Oceniając ogólną przydatność oszacowanego równania popytu, trzeba odpowiedzieć na kilka istotnych pytań:

1. Czy oszacowane równanie ma sens ekonomiczny? Czy zmienne objaśniające zostały właściwie dobrane? Czy postać algebraiczna równania jest zgodna z zasadami ekonomii?

2. Czy znaki i wartości parametrów są zgodne z oczekiwaniami i czy mają one sens ekonomiczny?

3. Czy w świetle uzyskanych wyników dane równanie ma wartość informacyjną? W jakim stopniu pasuje ono do danych rzeczywistych? Jakie czynniki są najważniejszymi determinantami wielkości popytu?

Jeżeli dane równanie regresji pozwala zadowalająco odpowiedzieć na te pytania, to możemy je zaakceptować i wykorzystać w analizie i prognozie popytu.

12. DOKŁADNOŚĆ I JAKOŚĆ PROGNOZ

Dokładność prognoz

Dokładność prognozy oceniamy przez porównanie prognozowanych wartości badanej zmiennej z wartościami rzeczywistymi. Miarą trafności prognozy jest średni błąd bezwzględny:

,

gdzie:

Q* - wartość prognozowana,

Q - wartość rzeczywista,

m - liczba okresów, dla których sporządzono prognozę.

W przypadku prognozy na jeden tylko okres obliczamy po prostu wielkość absolutnego błędu lub wyrażamy go w odsetkach wielkości rzeczywistej.

Inną miarą jest średnie odchylenie:

.

Podobnie jak w ocenie dobroci dopasowania RMSE zależy od sumy kwadratów odchyleń. Jednak tym razem chodzi o wielkość błędu popełnionego w przewidywaniu przyszłych wartości zmiennej, nie zaś o stopień dopasowania równania do danych rzeczywistych obserwowanych w przeszłości. Ten miernik uwzględnia liczbę okresów objętych prognozą (m) pomniejszoną o liczbę współczynników równania regresji (k).

Jakość prognoz

Dokładność prognoz - zarówno mikroekonomicznych, jak i makroekonomicznych - systematycznie wzrasta w związku z poprawą jakości danych i doskonaleniem modeli prognostycznych. Jednak poprawa jakości prognoz jest stosunkowo powolna i wciąż zdarzają się prognozy jawnie chybione.

Aby prognoza była użyteczna, powinna zawierać informacje o przyjętych założeniach i zastosowanej metodzie oraz o skali możliwego błędu lub o prawdopodobieństwie sprawdzenia się.

Na ogół dokładność prognoz wzrasta w miarę skracania ich horyzontu. Ale ważna jest również jednostka czasu przyjęta w prognozie (np. prognozy dynamiki w skali rocznej są na ogół bardziej dokładne niż prognozy kwartalne).

Dokładność prognoz opracowywanych przez rozmaite ośrodki zależy od przyjętych założeń i metod oraz sposobu pomiaru.

Ogólnie biorąc, prognozy wyprowadzane z modeli są trafniejsze niż czysto ekstrapolacyjne projekcje, ale dla wielu zmiennych ekonomicznych ta przewaga (jeżeli występuje) okazuje się niewielka.

PODSUMOWANIE

1. W planowaniu produkcji i sprzedaży oraz w kształtowaniu cen kluczowe znaczenie mają prognozy popytu.

2. Podstawowym narzędziem w prognozach popytu są równania regresji opisujące zależność wielkości sprzedaży od czynników określających popyt.

3. Analiza regresji pozwala wyznaczyć wartości liczbowe parametrów wyrażających wpływ różnych czynników na wielkość popytu oraz dostarcza wskaźników pozwalających ocenić dokładność równania.

4. Warunkiem koniecznym trafnej prognozy jest rzetelność wyjściowych informacji i sensowność przyjmowanych założeń modelowych.

5. Dokładność prognoz ekonomicznych ulega stałej, lecz dość powolnej poprawie.

4/2

Q = 478,6 - 1,63P

UWAGI KRYTYCZNE

ROZKŁAD RESZT

---