Szereg czasowy

Miary analizy struktury rzadko znajdują zastosowanie dla szeregów czasowych. Warto podkreślić, że podobnie jak cechy wyróżniamy trzy rodzaje szeregów:

• strukturalne,

• czasowe,

• terytorialne.

Podstawą analizy dynamiki jest szereg czasowy, zawierający informacje na temat danego zjawiska masowego w czasie. Taki szereg zawiera dwie kolumny (wiersze). W pierwszej kolumnie podaje się konkretne momenty lub okresy czasu, a w drugim ilość (wartość) zjawiska zaobserwowanego tych jednostkach czasu..

Tablica 1.

Ogólna postać szeregu czasowego

Czas (t)	Zjawisko (yt)
t1 t2 . . . tn	y1 y2 . . . yn

Tabelaryczna lub graficzna prezentacja danych, tak jak to widzimy np. w tablicy 3 i na rys. 1 stanowi podstawę bardziej szczegółowej analizy statystycznej.

W niniejszym rozdziale wyodrębniono dwie ważne grupy metod statystycznych znajdujących zastosowanie w odniesieniu do szeregów czasowych:

• miary średnie,

• miary dynamiki.

Miary średnie w szeregach czasowych.

Miary analizy struktury dość rzadko znajdują zastosowanie w szeregach czasowych. Wyjątkiem są tutaj miary średnie, zwłaszcza średnia arytmetyczna prosta (nie ważona), która może być stosowana zarówno dla szeregów okresów jak i momentów, przy czym w obydwu przypadkach przyjmuje inne formy:

• dla szeregu okresów - średnia arytmetyczna prosta,

• dla szeregów momentów - średnia chronologiczna.

Pierwszy rodzaj szeregów ma miejsce wówczas, gdy zjawisko obserwowane jest w jednostce czasu t obejmującej pewien okres, np. rok, kwartał, miesiąc, tydzień itp. tydzień W ekonomii są to wielkości noszące nazwę strumieni, np. produkcja, konsumpcja. Wiele przykładów szeregów okresów możemy znaleźć w rocznikach statystycznych GUS. Należą do nich informacje o produkcji czy cenach ważniejszych wyrobów, dochodzie narodowym (wytworzonym lub podzielonym) w kolejnych latach itp.

Przykład szeregu okresów widzimy również w tablicy 2 a jego graficzną prezentację w postaci diagramu szeregu czasowego na rysunku 1.

Tablica 2.

Wydobycie węgla kamiennego w Polsce w latach 1990-1996

Lata	Produkcja węgla (w tyś. ton)
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996	147 736 140 376 131 531 130 479 133 933 137 166 137 987

Gdybyśmy chcieli znaleźć średnioroczną produkcję węgla w badanym okresie 1990-1996, to wystarczyłoby obliczyć średnią arytmetyczną według wzoru:

Średnia arytmetyczna prosta

W naszym przykładzie średnia ta wynosi 137030 tyś. ton, bowiem

Powyższy sposób obliczenia średniej - zakładający równość poszczególnych jednostek czasowych (lat) - jest ścisły. Stwierdzamy zatem, że w latach 1990-1996 średnioroczne wydobycie węgla kamiennego w Polsce wynosiło około 137 mln ton.

Średnia chronologiczna

Średnia chronologiczna to zmodyfikowana postać średniej arytmetycznej. Znajduje ona zastosowanie do wyznaczania przeciętnego poziomu zjawiska obserwowanego w różnych momentach czasu. W ekonomii takie wielkości noszą nazwę zasobów. Mogą to być zapasy wyrobów gotowych, stan gotówki na określony dzień itp. Przykład szeregu momentów prezentuje tablica 3.

Chcąc wyznaczyć średni miesięczny zapas wyrobów gotowych w I kwartale 1998 roku, należy najpierw ustalić przeciętny stan zapasów w poszczególnych miesiącach. miesiącach tym celu obliczamy średnie dla stycznia, lutego i marca 1998:

Dla stycznia:
tyś. szt.

Dla lutego:
tyś. szt.

Dla marca:
tyś. szt.

Tablica 3.

Zapasy wyrobów gotowych w I kwartale 1998 r.

Dzień, Miesiąc, rok	Zapasy wyrobów Gotowych (w tyś. szt.)
31 XII 1997 31 I 1998 28 II 1998 31 III 1998	18,3 19,1 16,2 17,6

Źródło: Dane umowne.

Aby wyznaczyć przeciętny miesięczny zapas w I kwartale 1998 roku, obliczamy teraz średnią arytmetyczną średnich
,
i
:

tyś. szt.

Warto zauważyć, że ten sam wynik otrzymalibyśmy, obliczając
w następujący sposób:

tyś. szt.

Oznacza to że średni miesięczny zapas magazynu w I kwartale 1998 roku wynosił 17750 sztuk.

Łatwo zauważyć, że średnia chronologiczna wyznaczona z szeregu momentów zawierającego n obserwacji przyjmie postać formuły:

Miary dynamiki

Obserwując dane w postaci szeregu czasowego lub diagramu, wstępnie określamy dynamikę badanego zjawiska. Najogólniej możemy zanotować wzrost
, spadek
lub brak zmian (0) w czasie.

Szersza analiza dynamiki wymaga jednak stosowania specjalnych miar, umożliwiających bardziej dokładny opis czy charakterystykę rozwoju badanego zjawiska.

W badaniu zjawiska więcej niż jednym okresie (momencie) najczęściej stosowane są następujące miary dynamiki:

• przyrosty absolutne (bezwzględne) i względne (stosunkowe)

• wskaźniki dynamiki (indeksy)

Przyrosty absolutne i względne

Do najprostszych miar używanych w analizie szeregów czasowych należą przyrosty absolutne i stosunkowe (względne).

Przyrost absolutny

Jest różnicą zaobserwowaną w poziomie danego zjawiska w dwóch różnych okresach (momentach). Jeżeli przez y_­c oznaczamy poziom zjawiska w okresie przyjętym za podstawę porównań, a przez y_t poziom tego samego zjawiska w okresie obserwowanym (badanym, sprawozdawczym), to przyrost absolutny
możemy zapisać zgodnie z formułą:

W zależności od celu badania w szeregu okresów lub momentów można wyznaczyć przyrosty absolutne jednopodstawowe lub łańcuchowe.

Przyrosty absolutne jednopodstawowe

Charakteryzują się stałą podstawą porównań. Wielkość zjawiska w kolejnych okresach (momentach) jest porównywana ze stałą wielkością z okresu bazowego (podstawowego). Najczęściej okresem (momentem) bazowym jest okres wyjściowy, np. rok 1990 z tablicy 2.

Jeżeli przez
oznaczymy wielkość zjawiska w okresie bazowym, to przyrosty absolutne jednopodstawowe zapiszemy w postaci:

lub krócej

gdzie t to jednostki czasu od 1 do n lub od 0 do n.

Należy zwrócić uwagę, że w pierwszym przypadku (od 1 do n)mamy n obserwacji, a w przypadku drugim (od 0 do n) n+1 obserwacji.

Jest to ważne, bowiem w różnych pozycjach literatury statystycznej można się spotkać sposobami takimi dwoma sposobami oznaczeń kolejnych jednostek czasu.

jest wielkością mianowaną, wyrażona w takich samych jednostkach jak
i
.

Przyrosty absolutne łańcuchowe (o zmiennej podstawie)

Charakteryzują się zmienną podstawą porównań. ZA bazowy (podstawę porównań) przyjmuje się okres (moment) poprzedzający okres (moment) badany.

Okres badany w pierwszym etapie służy za bazowy w kolejnym porównaniu tworząc w ten sposób ciąg łańcuchowych przyrostów, które można zapisać w następujący sposób:

ogólnie:

Należy zwrócić uwagę, że tracimy jedną informację ( w pierwszym okresie).
,podobnie jak przyrosty jednopodstawowe, jest wielkością mianowaną (absolutną).

Dzięki przyrostom absolutnym dowiemy się, o ile zjawisko wzrosło, zmalało czy w ogóle nie zmieniło się. Nie uzyskamy jednak wystarczających informacji, chociażby na temat dynamiki np. cen dwóch różnych artykułów: herbaty i kawy. Aby uzyskać odpowiedź, czy wzrost cen tych dóbr przebiegał równomiernie lub czy cena któregoś z nich wzrastała szybciej należy wyznaczyć przyrosty względne (stosunkowe).

Przyrost względny

Jest to stosunek przyrostu absolutnego do poziomu zjawiska o okresie podstawowym.

Podobnie jak dla przyrostów absolutnych wyróżniamy dwa rodzaje przyrostów względnych (T_y):

• przyrosty względne jednopodstawowe,

• przyrosty względne łańcuchowe.

Przyrost względny jednopodstawowy

Określony jest jako stosunek przyrostu absolutnego jednopodstawowego do poziomu zjawiska w okresie (momencie) przyjętym za podstawę.

Można zapisać go wzorem:

Przyrost względny łańcuchowy

Przyrost względny łańcuchowy określany jest jako stosunek przyrostu absolutnego łańcuchowego do poziomu zjawiska w okresie (momencie) t-1, czyli bezpośrednio poprzedzającym okres t.

Można go zapisać wzorem:

Zarówno przyrosty względne jednopodstawowe jak i łańcuchowe są liczbami względnymi, niemianowanym, i lub wyrażonymi w procentach. W tym ostatnim przypadku należy ułamek w dwóch poprzednich wzorach pomnożyć przez 100.

Przyrost łańcuchowy , zwany również wskaźnikiem tempa wzrostu (spadku), znajduje szczególnie zastosowanie w badaniach dynamiki zjawisk masowych, np. procesów ludnościowych, konsumpcji, produkcji, kształtowania się cen.

Indywidualne wskaźniki dynamiki (indeksy)

Obok przyrostów absolutnych absolutnych względnych kolejnymi miarami służącymi do analizy zmian zjawiska w czasie są wskaźniki dynamiki, zwane często indeksami. Podobnie jak przyrosty względne indeksy należą do miar względnych, zatem mogą znaleźć zastosowanie w porównaniach dynamiki zjawisk, nawet takich które wyrażone są w różnych jednostkach (kg, szt. zł. itp.). Wśród metod indeksowych można najogólniej wyróżnić dwie grupy:

1. indeksy indywidualne (jednopodstawowe, łańcuchowe, rachunek )

2. indeksy agregatowe

• dla wielkości absolutnych (jednopodstawowe, łańcuchowe, rachunek indeksowy)

• dla wielkości stosunkowych

Rachunek indeksów indywidualnych

Mając dany ciąg indeksów jednopodstawowych lub łańcuchowych dotyczących tego samego zjawiska, można dokonać zmiany jednych indeksów na drugie i odwrotnie. W zasadzie możemy wyodrębnić trzy różne sytuacje:

• z ciągu indeksów łańcuchowych otrzymujemy ciąg indeksów indeksów stałej podstawie,

• zamieniamy indeksy o stałej danej podstawie na indeksy o stałej innej podstawie,

• z ciągu indeksów jednopodstawowych otrzymujemy ciąg indeksów łańcuchowych

Indeksy agregatowe dla wielkości absolutnych

W analizie dynamiki zjawiska, które nie jest jednorodne, należy posługiwać się indeksem zespołowym, który umożliwia analizowanie zachodzących zmian w całej (niejednorodnej) zbiorowości. Do takich niejednorodnych zbiorowości należy produkcja, spożycie, sprzedaż różnych produktów zarówno zarówno punktu widzenia makro-, jak i mikroekonomicznego.

Trudno jest mówić o dynamice produkcji przedsiębiorstwa, na którą składają się produkty budowlane, usługi transportowe czy też same usługi budowlane, jeśli do analizy stosowane były indeksy proste. Podobnie rzecz wygląda w przypadku spożycia gospodarstwa domowego, na które składa się kilkaset różnych towarów usług. By móc mówić o dynamice produkcji czy spożycia w takich sytuacjach jak wyżej, należy posługiwać się pewnymi agregatami, innymi słowy należy doprowadzić do sumowalności różne produkty, często wyrażone w zupełnie innych jednostkach miary. Na spożycie gospodarstwa domowego składają się produkty mięsne (w kg), mleko(l), odzież (szt.),itp. Tworząc agregat będący wartością spożycia w dwóch okresach: badanym (n) i podstawowym (0), możemy ustalić zmiany w poziomie zjawiska, obliczając indeksy wartości, ilości oraz cen.

Oczywiście dla poszczególnych produktów (j) wchodzących w skład danego agregatu spożycia można wyznaczyć indywidualne indeksy ilości (q) i cen (p), które przyjmują postać formuł:

gdzie:

- indywidualny indeks ilości dla dobra j,

- ilość dobra j w okresie badanym,

- ilość dobra j w okresie podstawowym;

gdzie:

- indywidualny indeks ceny dla dobra j,

- cena dobra j w okresie badanym,

- cena dobra j w okresie podstawowym.

Indeksy agregatowe dla wielkości stosunkowych

Gdy będziemy analizować zmiany zjawiska wyrażonego w postaci ilorazu dwóch wielkości, znajdą zastosowanie indeksy agregatowe dla wielkości stosunkowych.

Jeśli naszą wielkością jest wydajność pracy, to można ją określić jako stosunek poziomu produkcji do liczby zatrudnionych (czasu pracy):

gdzie:

v - wydajność pracy,

q - produkcja (ilościowo lub wartościowo),

T - czas pracy lub liczba zatrudnionych (czasami liczba roboczogodzin)

W przypadku indywidualnej wydajności pracy (jeden zakład) wyznaczamy indywidualny indem (i_v):

W sytuacji, gdy potrzebne jest zbudowanie agregatowego indeksu wydajności pracy (np. dla kilku oddziałów tego samego przedsiębiorstwa), konieczne się staje obliczanie średniej wydajności dla okresu badanego
i podstawowego
, a następnie ustalenie dynamiki średniej wydajności:

zatem

oraz

gdzie M oznacza liczbę jednostek (oddziałów) wyznaczających dany agregat.

Ponieważ
zatem dwa powyższe wzory można przedstawić w sposób następujący:

Wszechstronny indeks wydajności pracy

Agregatowy indeks wydajności pracy mówi o dynamice średniej wydajności pracy w przedsiębiorstwie, czyli:

z podzielenia dwóch powyższych wzorów mamy:

Indeks wszechstronny ( o zmiennej strukturze) reaguje zarówno na zmiany w poziomie indywidualnych (cząstkowych) wskaźników charakteryzujących poszczególne podzbiory wchodzące w skład agregatu, jak i na zmiany w strukturze tego agregatu.

Indywidualnymi wskaźnikami są wydajności cząstkowe v_jn von v_j0, natomiast strukturę agregatu określają wskaźniki struktury zatrudnienia (czasu pracy) w okresie badanym i podstawowym oznaczone przez
i
.

Gdy chce się ustalić wpływ działania poszczególnych czynników, np.. wpływ zmian w cząstkowych wydajnościach na zmiany w średniej wydajności, należy wyeliminować efekty zmian w strukturze agregatu. Wówczas oblicza się tzw. indeks o stałej strukturze, stosując przy tym formułę Laspeyresa lub Paaschego.

Indeks wydajności pracy o stałej strukturze

W agregowanym indeksie wydajności pracy według formuły Laspeyresa lub Paaschego zakłada się, że zachodzą zmiany w cząstkowych wydajnościach, natomiast nie ulega zmianie struktura zatrudnienia (czas pracy), przy czym dla formuły Laspeyresa jest ona stała na poziomie okresu podstawowego, a dla Paaschego na poziomie okresu badanego:

lub

Indeks wydajności pracy z uwzględnieniem zmian strukturalnych

Kolejną czynnością jest ustalenie wpływu zmian w strukturze zatrudnienia (czasu pracy) na zmiany w średniej wydajności poprzez eliminację wpływu zmian w cząstkowych wydajnościach pracy. Dokonujemy tego, wyznaczając indeks zmian strukturalnych przy zastosowaniu formuły Paaschego:

lub Laspeyresa:

W formule pierwszej zakłada się że cząstkowe wydajności pracy są stałe na poziomie okresu badanego, natomiast formule drugiej są one stałe na poziomie okresu podstawowego.

Podobnie jak dla indeksów wartości, ilości i cen tutaj można ustalić zależność pomiędzy wszechstronnym indeksem wydajności pracy a indeksem o stałej strukturze według formuły Laspeyresa (Paaschego) i indeksem zmian strukturalnych według formuły Paaschego (Laspeyresa):

Znajomość dwóch z trzech czynników w zależności powyższych wzorów pozwala na ustalenie brakującego trzeciego indeksu, co znacznie upraszcza obliczenia.

Literatura:

• „Statystyka praktyczna” Wacława Starzyńska - Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 2002

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

Rysunek 1.

Wydobycie węgla kamiennego w Polsce w latach 1990-1996

Źródło: Dane z tablicy 2

---