STOPY PROCENTOWE - miernik przychodu, jaki przysługuje posiadaczowi kapitału z racji udostępnienia go innym w określonym czasie. W przypadku sektora bankowego mamy do czynienia ze stopami oficjalnymi banku centralnego oraz rynkowymi tak określa się oprocentowanie kredytów i depozytów pomiędzy bankami. Występuje również stopa nominalna - oficjalne oprocentowanie - i realna - pomniejszone o wartość inflacji. Przy wyliczaniu oprocentowania kredytów i depozytów (ich stóp procentowych) banki posługują się stopą podstawową (lub bazową), której wartość ustalana jest indywidualnie w banku - na ogół w oparciu o stopy rynkowe.

Skąd się biorą oczekiwania dotyczące przychodu z kapitału?

Istnieją liczne zakazy pobierania odsetek np. Riba w Koranie, czy banki oparte o współwłasność (kasa zapomogowo-pożyczkowa PWR oraz szwedzki bank JAK)

„Podstawą kapitalizmu jest chciwość”

Pieniądz kruszcowy: ważna jest jego waga nie zmienna w czasie.

Stopy podlegają popytowi i podaży pieniądza

Pierwsza próba manipulowania stopami procentowymi poprzez podaż pieniądza wiąże się z Centralnym Bankiem Francji z 1847 roku. Podstawowe prace pochodzą z początków klasycznej ekonomii i związane są z Adamem Smithem. W latach dwudziestych XX wieku Irving Fisher wprowadził rozróżnienie pomiędzy odsetkami nominalnymi i realnymi.

Teoria dystrybucji wyjaśniała istotę procentu.

Milton Friedman - uznał podaż za główny czynnik wpływający na poziom produktu narodowego brutto, inflacji przypisuje rolę jedynie rolę zjawiska pieniężnego.

OSETKI PROSTE - dotyczą kapitału lub tej jego części, która nie została dotychczas spłacona.

r - stopa odsetek w danym okresie

B₀ - kapitał początkowy

n - ilość okresów, które upłynęły

PRZYKŁAD 1

Załóżmy że, posiadacz karty kredytowej ma saldo równe 2500 zł, a stopa oprocentowania wynosi 12,99%. Czyli po 3 miesiącach musi spłacić:

Pieniądz nie miał w tym przypadku zmieniającej wartości w czasie i zależał jedynie od ilości okresów.

Regularne spłacanie zadłużeń na karcie kredytowej ma zazwyczaj dodatkowe koszty, które należy brać pod uwagę przy porównywaniu kredytów.

PROBLEMY Z ODSETKAMI PROSTYMI:

• Pieniądz ma swoją wartość w czasie - kiedy stopy procentowe są takie same

• Niespłacone odsetki są dodawane do kapitału

STOPA KAPITAŁU ZŁOŻONEGO:

I_comp - odsetki składowe

B₀ - początkowa wielkość zadłużenia

B_n - zadłużenie po n okresach

r - stopa odsetek dla danego okresu

PRZYKŁAD 2

Załóżmy że posiadacz karty kredytowej z przykładu 1 nie spłaca zadłużenia przez 3 okresy.

Wniosek: Lepiej spłacaj regularnie!

POTĘGA PROCENTU SKŁADANEGO

Najstarszy bank centralny:

• Szwedzki 1657 rok

• Angielski 1694 rok

• Polski 1826

Załóżmy, że celem gospodarczym Polski jest podwojenie PKB w ciągu 10 lat. Jaki powinien być roczny PKB aby osiągnąć cel? 7,2%

Jacob Bernoulli badał następujący proces związany z procentem składanym:

=Jeśli pożyczamy 1 zł na 100% to na koniec okresu mamy 2 zł

=Jeśli przy tych samych warunkach naliczamy odsetki co pół roku to na koniec roku będziemy mieli

=Jeśli naliczymy co kwartał, to mamy
czyli

RSO - realna stopa oprocentowania

Ponieważ kredyty i pożyczki obciążone są często różnymi opłatami, które nie mają charakteru odsetkowego przyjmuje się, że zlicza się wszelkie obciążenia dla umownego okresu, którym najczęściej jest rok i podaje realną stopę oprocentowania (jest to stopa oprocentowania prosta dla jednego okresu).

PRZYKŁAD 3

Oferta samochodu już od 30700 zł w kredycie 50/50 - czyli pół ceny teraz a pół za rok bez odsetek ma RSO = 4,5% (należy doliczyć 4,5% opłatę administracyjną)

Przy udzielaniu kredytów powszechnie stosuje się stopy procentowe składane, jednak rzadko są to stopy stałe. Zazwyczaj przyjmuje się jakiś punkt rejestracyjny dla danego okresu. W Polsce jest to WIBOR czyli wybrany indeks określający stopę procentową, po której pożyczają sobie pieniądze banki w Polsce + ustalona marża danego banku.

WIBOR - stopa procentowa, po jakiej banki udzielają pożyczek innym bankom.

ON- (over night) - wysokość rocznej stopy procentowej, jaką banki zapłacą środki

ZŁOŻENIE STÓP PROCENTOWYCH

=Odsetki traktujemy jako cenę pieniądza, to jak każda cena, tak i ta podlega inflacji. Kalkulując odsetki zawarte w umowach kredytowych, czyli odsetki kredytowe nominalne, zakładamy że składają się one z odsetek rzeczywistych oraz inflacji:

=Próbujemy tutaj wyrazić odsetki w warunkach stałej siły nabywczej, chociaż są problemy:

-Niestałość inflacji

-Nieprzewidywalność inflacji w dłuższych okresach

Konieczne jest wprowadzenie czynnika ryzyka: Wysokość stóp procentowych dla większej liczby okresów nie będzie najprawdopodobniej stała oraz nie będzie całkowicie przewidywalna

r_t - stopa rzeczywista procentowa

π_t­ - co dzieje się z inflacją

σ - to co jest nieprzewidywalne

Załóżmy że wpłacamy na konto dowolną sumę, P, po pewnym czasie, t, przy zadanym oprocentowaniu, i, spodziewamy się kwoty Y. Tempo w jakim dokonają się zmiany wynosi:

Rozwiązaniem tego równania jest

1. 
   

Załóżmy, że wkładamy na konto gotówkę w tempie F jednostek na rok, czyli:

Z tablic całek znajdujemy, że rozwiązaniem jest:

K- stała całkowania

Należy ustalić stałą K ponieważ początkowy depozyt P, to znany już jeden punkt, dla którego spełnione jest równanie rozwiązania, a mianowicie punkt początkowy: (t,y)=(0,P)

Stała K:

Lub

2.
;

Równanie 1 to specjalny przypadek równania 2 dla F=0

Musimy zbadać zachowanie wyrażenia:

dla i=0;

Rozwijając w szereg McLaurina e^it w okolicach i=0 znajdujemy:

I odejmując stronami 1 i dzieląc przez i otrzymujemy w zerze:

Zatem równanie akumulacji gotówki (równanie nr 2) ma teraz postać
czyli suma gotówki wraca liniowo wraz z upływem czasu dla i=0

STOPA ZWROTU - procentowy zysk lub strata z inwestycji

ROI - (Return of Investment)

Używa się dwóch rodzajów stóp: arytmetycznej i logarytmicznej

Inwestując 100 zł i otrzymując po roku zysk równy 10 zł mówimy, że stopa zwrotu z tej inwestycji wyniosła 10%.

Równanie akumulacji gotówki - przypadek ciągły: Załóżmy, że wpłacamy na konto pewną dowolną sumę, P, po pewnym czasie, t, przy zadanym oprocentowaniu, i , spodziewamy się kwoty Y.

Tempo w jakim dokonują się zmiany wynosi:

Pokażemy, że
jest rozwiązaniem tego równania:

1. 
   

Gdy wkładamy na konto gotówkę w tempie F jednostek na rok to:

Rozwiązanie:

Z tablicy całek:

Należy wyznaczyć stałą K

STOPA ZWROTU ARYTMETYCZNA

Główny problem z arytmetyczną stopą zwrotu polega na tym, że nie jest ona symetryczna. Pozytywne i negatywne zwroty nie są symetryczne.

PRZYKŁAD 4

Gdybyśmy zastosowali złożenie ciągłe to wynik byłby symetryczny. Jednak wtedy zwrot 50% (arytmetyczny) równy jest 40,55% zwrotowi ciągłemu.

LOGARYTMICZNA LUB CIĄGŁA STOPA ZWROTU

---