Wiadomości wstępne

Pod popularnym pojęciem logika, kryją się wszystkie podstawowe reguły wnioskowania w matematyce. Można by powiedzieć iż logika to najbardziej podstawowa teoria w matematyce. Cała reszta matematyki w taki czy inny sposób korzysta z logiki. Bez zasad logiki nie byłby możliwy żaden dowód matematyczny...

Aby zacząć jakiekolwiek dyskusje na temat logiki potrzeba wprowadzić szereg pojęć podstawowych i aksjomatów.

Pojęcia pierwotne

1) Zmienna zdaniowa - podstawowe pojęcie rachunku zdań - zmienna (oznaczana zazwyczaj literką p,q lub w) przechowuje pewne zdanie matematyczne.
2) Prawda i fałsz - dwa możliwe stany charakteryzujące zdanie matematyczne
3) Zdanie matematyczne - zdanie o ktorym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe
4) Wartość zmiennej zdaniowej - W(p) - zwraca jeden gdy zdanie przechowywane w p jest prawdziwe i zero gdy zdanie to jest fałszywe.
5) Furmuła rachunku zdań - dowolna formuła stworzona ze skończonej ilości zniennych zdaniowych i dozwolonych spójników logicznych.

Spójniki logiczne

W logice ważną rolę odgrywa kilka spójników:

1) Zaprzeczenie (NIE, NOT). Oznaczamy je symbolem "
". Wartość logiczna zaprzeczenia danego zdania jest odwrotna niż wartość logiczna tego zdania.Operator ten jest jednoargumentowy.

2) Koniunkcja (I, AND). Oznaczamy ją symbolem "
". Jest to operator dwuargumentowy. Wartość logiczną koniunkcji przedstawia poniższa tabelka:

p q	1	0
1	1	0
0	0	0

3) Alternatywa (LUB, OR). Oznaczamy ją symbolem "
". Jest to operator dwuargumentowy. Jego wartość logiczną przedstawia poniższa tabelka:

p q	1	0
1	1	1
0	1	0

4) Implikacja (z p wynika q). Oznaczamy ją sybolem "
". Jest to operator dwuargumentowy.

p q	1	0
1	1	0
0	1	1

5) Równoważność (p rownoważne z q). Oznaczamy ją symbolem "
". Jest to operator dwuargumentowy.

p q	1	0
1	1	0
0	0	1

6) Alternatywa wykluczająca (XOR, albo). Oznaczamy symbolem "
", używana jest sczególnie często w informatyce. W programowaniu zazwyczaj oznacza się tą operaję nazwą XOR. Jest to operacja dwuargumentowa.

p   q	1	0
1	0	1
0	1	0

Dzięki powyższych tabelek można badać łatwo wartości logiczne bardziej skomplikowanych wyrażeń. Wśród wyrażeń logicznych szczególną rolę odgrywają tzw. Tautologie.

Tautologie

Tautologia to formuła rachunku zdań, ktorej wartość logiczna zawsze (niezależnie od podstawionych zdań) wynosi jeden. Oto kilkanaście podstawowych tautologi, będących przy okazji regułami wnioskowania:

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.


14.


15.


16.


17.


18.


19.


20.


21.


22.

Za zmienne logiczne p i q można w szczególności podstawiać twierdzenia matematyczne i tym samym korzystając z tautologi rachunku zdań dowodzić kolejnych twierdzeń. W praktyce struktura logiczna każdego dowodu w matematyce sprowadza się do jakieś grupy tautologi rachunku zdań.

Rachunek kwantyfikatorów

Kwantyfikatory służą do uogolnienia pojęć rachunku zdań poprzez określanie zakresu zmienności zmiennej logicznej. Zdanie złożone z kwantyfikatorów i zdań logicznych ma jednoznacznie określoną wartość logiczną a zatem samo w sobie jest zdaniem logicznym. Wyróżniamy dwa kwantyfikatory jak następuje:

Kwantyfikator ogólny

Który czytamy : Dla każdego x należącego do X prawda że fi od x.

Kwantyfikator szczególny

Który czytamy : Istnieje takie x należące do X że, prawda że, fi od x.

Kwantyfikator szczególny określający istnienie dokładnie jednego elementu

Który czytamy : Istnieje dokładnie jeden element x w zbiorze X że fi od x.
Dla wytłumczenia znaczenia kwantyfikatorów często stosuje się uproszczony model w którym zbiór X ma n elementów. Założyć że:

To prawdziwe są następujące równoważności:

Tak naprawdę kwantyfikatory są bardziej ogólne, gdyż ich zakresem mogą być zbiory nieskończone przeliczlane a także nieskończone nieprzeliczalne. Powyższy przykład jest jednak dość przejżysty i uwidacznia powiązanie kwantyfikatorów z koniunkcją, alteratywą oraz alternatywą wykluczającą.W rachunku kwantyfikatorów obowiązuje szereg praw podobnych do analogicznych praw w rachunku zdań. Poniżej znajduje się kilkanaście najważniejszych:

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.


14.


15.


16.


17.


18.


19.


20.

Kwantyfikatory określają zasięg poprawności danego zdania logicznego. Są absolutnie koniecznym uzupełenieniem rachunku zdań jeśli chcemy budować sensowną teorię.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Wstęp do matematyki współczesnej" - H. Rasiowa
"Wstęp do teorii mnogości" - K.Kuratowski
"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
"Zarys matematyki wyższej dla studentów" - R. Leitner, tom pierwszy i drugi.
Wszelkie podręczniki algebry oraz tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki na studia.Polecam też książki:

"Kółko matematyczne dla olimpijczyków" - H.Pawłoski.
"Zadania dla uczniów lubiących matematykę" - W. Bednarek
"Matematyka - Zadania" - W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski

---