Symetria osiowa na płaszczyźnie

Symetrią osiową względem prostej k nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem dowolnego punktu A jest taki punkt A`, że spełnione są następujące warunki:

• punkty A i A` leżą na prostej prostopadłej do prostej k i po obu stronach prostej k

• odległości punktów A i A` od prostej k są równe.

Przykłady:

1. Punkt F jest symetryczny do punktu A względem prostej a

2. Punkt F nie jest symetryczny do punktu A względem prostej a

3. Przykłady trójkątów symetrycznych:

• Trójkąt LMN jest symetryczny do trójkąta ABC względem prostej d leżącej poza trójkątem ABC

• Trójkąt LNC jest symetryczny do trójkąta ABC względem prostej d mającej jeden punkt wspólny z trójkątem ABC

• Trójkąt LMN jest symetryczny do trójkąta ABC względem prostej d przecinającej dwa boki trójkąta ABC

• Trójkąt NBC jest symetryczny do trójkąta ABC względem prostej d leżącej wzdłuż boku trójkąta ABC

4. Czworokąt QRST nie jest symetryczny do czworokąta ABCD

5. Obrazem koła względem prostej k, przecinającej to koło i nie zawierającej jego środka, jest koło o takim samym promieniu.

Jeżeli istnieje taka prosta, że symetria osiowa względem tej prostej przekształca figurę na nią samą, to figura jest symetryczna osiowo.

FIGURY OSIOWOSYMETRYCZNE

Na poniższym rysunku przedstawione są figury.
Wzdłuż każdej poprowadzono prostą.

Figury te są OSIOWOSYMETRYCZNE, zaznaczone zaś proste są OSIAMI SYMETRII tych figur.

Osią symetrii figury F nazywamy taką prostą l o ile istnieje, że obrazem figury F w symetrii osiowej względem tej prostej jest ta sama figura.

1. Oto trójkąt równoramienny i jego jedyna oś symetrii.

2. Oto osie symetrii odcinka.

Oś symetrii odcinka nazywamy jego symetralną.

Konstrukcja symetralnej odcinka AB

Narysuj dowolny odcinek AB.

Zakreśl o(A,AB) ( o(A,BC) - okrąg o środku w punkcie A i promieniu długości równej długości odcinka AB), a następnie o(B,AB). Poprowadź prostą przez punkty przecięcia się tych okręgów. Prosta ta (zielona) jest symetralną odcinka AB.

3. Jak myślisz, czy to są wszystkie osie symetrii koła (okręgu)?

Oczywiście, że nie, ponieważ koło (okrąg) ma nieskończenie wiele osi symetrii.

4. Zobaczmy jak przebiega oś symetrii kąta AOB.

Prosta k zawiera półprostą OC, dzielącą kąt AOB na połowy. Prosta k to oś symetrii kąta.
Prosta k jest dwusieczną kąta AOB.

Konstrukcja dwusiecznej kąta

Narysuj dowolny kąt. Wierzchołek kąta oznacz np. literą B. Zakreśl dowolny okrąg o środku w wierzchołku kąta. Punkty przecięcia się ramion kąta z okręgiem oznacz odpowiednio B i C. Następnie zakreśl o(A,AC) i o(C,AC). Poprowadź półprostą o początku w wierzchołku kąta i przechodzącą przez punkty przecięcia się dwóch ostatnich okręgów. Zielona półprosta jest dwusieczną kąta ABC.

Zadanie 1.

Oto kilka figur, wskaż ich osie symetrii, o ile istnieją.