Elementy kombinatoryki. Wariacje

Wariacje bez powtórzeń

Interesuje nas losowanie, w którym elementy losujemy bez zwracania (bez powtórzeń) i kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Liczbę wszystkich r elementowych wariacji wylosowanych ze zbioru n elementowego obliczamy wg wzoru:

przy czym

W przypadku, gdy
, wyciągamy wszystkie elementy i ustawiamy je w ciąg. Liczbę takich ciągów obliczymy wg wzoru:

Przykład 1. Ile trójek klasowych (przewodniczący, zastępca i skarbnik) można utworzyć w klasie liczącej 30 uczniów?

Mamy tutaj
, zatem

przy czym rachunki wykonaliśmy na ClassPadzie 300.

Przykład 2. Jacek nagrał 5 utworów swojego zespołu „BumBumBum” i pragnie je wypalić na płytach w ten sposób, aby na każdej płycie była inna kolejność utworów. Jedna płyta kosztuje 30 groszy i jej wypalenie zajmuje średnio 5 minut. Ile Jacek wypali płyt, ile mu to zajmie czasu i ile zapłaci za swój pomysł?

Mamy tutaj
, zatem

liczba płyt:

łączny czas (w godzinach):

koszt (w złotych):

Przykład 3. W biegu sprinterskim na 100 m startuje 8 zawodników, a wśród nich 3 Polaków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy Polacy staną na podium?

Wszystkich możliwych wyników ukończenia biegu mamy
. Pierwsze 3 miejsca muszą zająć Polacy i mogą to zrobić na
sposobów, a pozostali zawodnicy zajmują 5 miejsc na
sposobów. Łącznie mogą przybiec na
sposobów. Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa Laplace'a wynika, że szukane prawdopodobieństwo jest ilorazem tych wielkości, czyli

Wariacje z powtórzeniami

Interesuje nas losowanie, w którym elementy losujemy ze zwracaniem (z powtórzeniami) i kolejność wylosowanych elementów jest istotna.

Liczbę wszystkich r elementowych wariacji wylosowanych ze zbioru n elementowego obliczamy wg wzoru:

Przykład 4. Do windy 16 piętrowego budynku wsiada na parterze 5 osób.

1. Na ile sposobów mogą wysiąść z windy?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie osoby wysiądą powyżej 10 piętra?

Każda osoba może wysiąść na 16 sposobów, a więc

Skoro wszyscy mają wysiąść powyżej 10 piętra, to każda osoba może wysiąść na 6 sposobów, czyli

Poszukiwane prawdopodobieństwo jest ilorazem tych liczb:

Przykład 5. Ile tablic rejestracyjnych postaci

LITERA-LITERA-CYFRA-CYFRA-CYFRA-CYFRA

można utworzyć, skoro LITERA jest wzięta ze zbioru 20 liter, zaś CYFRA ze zbioru 10 cyfr?

Przykład 6. W pudełku leży 6 klocków z literami A, B, C, D, E i F. Wyciągamy klocek zapisujemy literę i wrzucamy z powrotem do pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągając w ten sposób 3 klocki, litery nie powtórzą się?

---