Równanie Clapeyrona

Równanie Clapeyrona czyli równanie stanu gazu doskonałego wyraża ścisłą zależność pomiędzy bardzo istotnymi parametrami określającymi stan gazu: liczbą jego moli, jego ciśnieniem, objętością i temperaturą.

Ma ono prostą postać:

PV = nRT

gdzie: P - ciśnienie, V - objętość, n - liczba moli, R - stała gazowa, T - temperatura

Powyższe fundamentalne prawo obowiązuje ściśle tylko dla gazu doskonałego, czyli pewnej idealizacji, która jest wynikiem następujących założeń:

• cząsteczki gazu są punktami materialnymi (pomijamy ich małą objętość)

• cząsteczki gazu poruszają się i oddziałują ze sobą tylko podczas zderzeń

• zderzenia cząstek gazu są idealnie sprężyste (całkowita energia kinetyczna jest zachowana)

Dla gazów rzeczywistych (realnie istniejących) równanie Clapeyrona obowiązuje tylko w przybliżeniu, a do lepszych przewidywań potrzebujemy tzw. równania van der Waalsa.

Skąd bierze się taka zależność.

Należy wyobrazić sobie naczynie o objętości V, które zawiera N cząstek gazu doskonałego. Będą one cały czas zderzać się ze ściankami tego naczynia (bo są w ruchu).

Przedstawię teraz nieco uproszczone rozumowanie, które jednak doprowadzi do prawidłowych wniosków.

W okresie czasu dt nie wszystkie cząstki gazu są w stanie dotrzeć do ścianki 1, ale tylko te, które są od niej oddalone maksymalnie o odległość vxdt (vx - składowa x prędkości cząstki). Będą to więc cząstki zawarte w objętości Avxdt (A - powierzchnia ścianki 1).

Jako, że ta objętość stanowi tylko ułamek totalnej objętości V, to liczba cząstek docierających w czasie dt do ścianki 1, będzie tylko ułamkiem N. Ściślej mówiąc - będzie wynosiła: N (Avxdt)/V.

Po zderzeniu ze ścianką 1 składowa x pędu cząstki zmieni zwrot na przeciwny (odbicie), czyli jej wartość zmieni się od mvx do -mvx (przyrost: 2mvx). Całkowita zmiana pędu gazu na ściance 1 wynosi zatem: 2mvxN (Avxdt )/V. Jako że zmiana pędu w czasie dt to po prostu siła (F = dp/dt), to wzór na siłę nacisku na ściankę 1 przedstawia się następująco:

F = 2mvxN (Avxdt)/(V dt) = 2mvxN (Avx)/V

Ciśnienie P wywierane na ściankę 1 to siła nacisku na nią podzielona przez powierzchnię A ścianki:

P = F/A = (N 2mvx2)/V

W rzeczywistym świecie nie wszystkie cząstki gazu mają tę samą prędkość, lecz cechuje ją pewien rozrzut. Trzeba więc uśrednić wielkość vx2, co oznaczymy jako vx2śr.

Wiadomo jednak, że podczas uśredniania bierzemy po uwagę wszystkie cząstki gazu, czyli nie tylko te, które zmierzają do ścianki 1: vx2, lecz także te, które się od niej oddalają i nigdy do niej nie dotrą (-vx)2. Obydwie grupy są równoliczne, więc vx2śr zawiera w sobie dwa razy więcej niż zwykłe vx2. Czyli u nas: vx2śr = 2vx2.

Można napisać:

P = (N mvx2śr)/V

Należy teraz uwzględnić to, że cząstki w gazie poruszają się nie tylko w wymiarze X, ale także w dwóch pozostałych wymiarach: Y i Z. Żaden wymiar nie jest wyróżniony, więc:

vx2śr = vy 2śr = vz2śr

vx2śr = (1/3)(vx2śr + vy2śr + vz2śr) = (1/3)v2śr

P = (1/3)Nmv2śr/V

Wiadomo, że (1/2)mv2śr to średnia energia kinetyczna cząstki gazu Ekin śr. Zapisujemy zatem:

P = (1/3)Nmv2śr/V = (1/3)N 2(1/2)mv2śr/V = (2/3)N Ekin śr/V

Bardzo ważna w fizyce zasada ekwipartycji energii mówi, że na każdy stopień swobody cząstki gazu, będącego w temperaturze T, przypada ta sama energia średnia: kT/2 (k - stała Boltzmanna). Cząstka gazu doskonałego ma tylko 3 stopnie swobody (związane z ruchem postępowym w 3 wymiarach) i ma tylko energię kinetyczną. A więc:

Ekin śr = 3kT/2

Możemy teraz połączyć wszystko, co do tej pory otrzymaliśmy:

P = (2/3)N Ekin śr/V = (2/3)N(3/2)kT/V = NkT/V

PV = NkT

Wiadomo, że stała gazowa R = NAk (gdzie: NA to liczba Avogadra - liczba cząstek w jednym molu gazu).

PV = NkT = N (R/NA) T = (N/NA)RT

Liczba wszystkich cząsteczek gazu (N) do ich liczby w jednym molu (NA) to po prostu liczba moli gazu (n). I tak otrzymujemy równanie Clapeyrona: PV = nRT.

1

---