LOGIKA
wykład 3
IV. Zdania
V. Funktory
IV. Zdania
IV.1 Pojęcie zdania w sensie logicznym
Zdanie w sensie logicznym jest wyrażeniem jednoznacznie
stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iż jest tak a tak, albo też
stwierdzające, że tak a tak nie jest.
Stwierdzenie takie jest albo zgodne, albo niezgodne z rzeczywistością,
wobec czego zdanie w sensie logicznym jest wyrażeniem prawdziwym
albo jest wyrażeniem fałszywym.
Stąd można również podawać określenie, iż zdaniami w sensie
logicznym są takie i tylko takie wyrażenia, które są prawdziwe albo
fałszywe.
Zdaniami w sensie logicznym są:
 6 paz
dziernika tego roku zapytałem Piotra, czy lubi logikę
 Przed kwadransem prosiłem Piotra, żeby zamknął drzwi
Zdaniami w sensie logicznym nie są (choć są zdaniami w sensie gramatycznym):
 Czy Piotr lubi logikę?
 Zamknij drzwi, Piotrze!
Zdaniami logicznymi mogą być tylko zdania oznajmujące, bowiem
stwierdzają one, że tak a tak jest lub było, czy też nie jest lub nie było.
Ponadto zdaniami logicznymi mogą być też równoważniki zdań w
sensie gramatycznym o nadmienionych własnościach.
Jeśli pewien napis o cechach zdania oznajmującego (w sensie
gramatycznym) można rozumieć np. dwojako, to musimy osobno
mówić o zdaniu w sensie logicznym, które odpowiada temu napisowi
branemu w pierwszym znaczeniu, i o innym zdaniu w sensie logicznym
odpowiadającym temu napisowi w drugim jego znaczeniu.
Wyrażenie, które traktujemy jako zdanie w sensie logicznym, musi być
wyrażeniem jednoznacznym albo wypowiedzią, której kontekst sprawia,
że jest bierzemy ją w jakimś jednym, konkretnym znaczeniu.
IV.2 Wartość logiczna zdania
Skoro zdanie w sensie logicznym jest wyrażeniem stwierdzającym, że
tak a tak jest albo nie jest, to jest ono wyrażeniem prawdziwym albo
fałszywym.
Zdanie prawdziwe jest to zdanie, które opisuje rzeczywistość taką, jaka
ona jest (w pewnym momencie, w pewnym miejscu).
Zatem prawdziwe jest zdanie, które wiernie  odbija rzeczywistość.
Natomiast zdanie fałszywe jest to zdanie, które opisuje rzeczywistość
niezgodnie z tym, jak ona jest.
Prawdziwość zdania albo jego fałszywość nazywamy wartościami
logicznymi zdania.
Jako że w praktyce codziennego myślenia rozróżniamy dwie wartości
logiczne zdania, to mówimy o logice dwuwartościowej.
Wartości logiczne zdań często oznacza się cyframi 1 i 0, które
odpowiadają stosownie: prawdzie i fałszowi.
IV.3 Obiektywny charakter
prawdziwości i fałszywości zdań
Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to znaczy nie zależy
od poglądów tej czy innej osoby.
Od tego, czy ktoś dane zdanie uważa za prawdziwe, czy fałszywe, nie
zmienia się wartość logiczna zdania.
Nikt nie może zmienić wedle swego widzimisię wartości logicznej
jakiegokolwiek zdania, bowiem wartość logiczna zależy tylko od tego,
czy dane zdanie opisuje świat zgodnie z rzeczywistym stanem, czy też w
sposób z tym stanem niezgodny.
Fałszywe było i jest zdanie, że Słońce krąży dookoła Ziemi, choć
dawniej wszyscy myśleli, że to prawda.
Prawdziwe jest zdanie, że można rozszczepić atom, choć dawniej
uważano to za fałsz.
W potocznej rozmowie można usłyszeć takie powiedzenia:  To zdanie
jest dla Jana prawdziwe, a dla Piotra fałszywe .
Musimy mieć świadomość, że w takiej wypowiedzi chodzi nie o
wartość logiczną zdań, lecz o czyjeś poglądy na wartość logiczną
pewnych zdań.
Zdanie, którego prawdziwość jest przesądzona ze względu na samo
znaczenie użytych w nim słów, czyli zdanie, któremu nie można
zaprzeczyć bez naruszenia reguł określających znaczenie użytych w nim
słów w danym języku, nazywamy zdaniem analitycznym.
Nikt np. nie będzie przeczył, że kwadrat ma cztery boki, bo ktoś, kto by temu przeczył,
wykazywałby tylko, że nie wie, jakie znaczenie ma słowo  kwadrat w języku
polskim.
Z kolei zdanie, którego fałszywość jest przesądzona ze względu na samo
znaczenie użytych w nim słów, nazywamy zdaniem wewnętrznie
kontradyktorycznym na gruncie danego języka.
Kto zna znaczenie słowa  sześcian w języku polskim, ten nie będzie wątpić o
fałszywości zdania  Sześcian jest linią .
By określić wartość logiczną zdań analitycznych i zdań wewnętrznie
kontradyktorycznych, wystarczy odwołać się do reguł wyznaczających
znaczenie użytych w nich słów w danym języku.
Wszelkie inne zdania, których wartości logicznej nie możemy poznać w
ten sposób, nazywamy zdaniami syntetycznymi.
Dla zdań syntetycznych trzeba szukać sprawdzianów, czy to, co one
głoszą, odpowiada rzeczywistości, czyli szukać pewnego probierza
prawdziwości.
W przypadku tych zdań odwołujemy się w sposób bezpośredni lub
pośredni do rozstrzygnięć poprzez doświadczenie, zwłaszcza poprzez
zgodne doświadczenie wielu ludzi.
IV.4 Wypowiedzi niezupełne
Wypowiedzią zdaniową niezupełną nazywamy takie wyrażenie, które
na gruncie danego języka nie jest zdaniem w sensie logicznym, jednak
może spełniać rolę zdania w sensie logicznym, o ile odbiorca zdaje
sobie sprawę z pewnych domyślnych uzupełnień wypowiedzi,
pominiętych przez mówiącego.
W mowie potocznej miejsce uzupełnień wypowiedzi, pominiętych przez
mówiącego, na ogół nie jest wyraz
nie zaznaczone (w odróżnieniu od
funkcji zdaniowej).
Wypowiedz
 Deszcz jest pożyteczny spełnia rolę zdania w sensie logicznym np.
wtedy, gdy domyślamy się, że chodzi tu np. o łagodny deszcz nad ranem 28 IX 2011r.
w okolicy Daleszyc, który był tam pożyteczny dla grzybiarzy ze względu na rozwój
grzybów, albo że zimny deszcz jest pożyteczny dla sprzedawców lodów, gdyż ich
obroty się wówczas zwiększają.
Zauważmy, że przy tym drugim uzupełnieniu powstaje wypowiedz
fałszywa.
Jednak, o ile jakaś wypowiedz
ma określoną wartość logiczną, to jest ona zdaniem w
sensie logicznym.
Zależnie od tego, jak domyślnie uzupełniamy wypowiedz
niezupełną,
powstają z niej całkiem różne zdania w sensie logicznym, z których
jedne mogą być zdaniami prawdziwymi, a inne fałszywymi.
IV.5 Funkcje zdaniowe
Charakter językowy zdaniowej wypowiedzi niezupełnej uwidoczni się
szczególnie wyraz
nie, jeśli nadamy jej postać funkcji zdaniowej.
Funkcją zdaniową (formułą zdaniową) nazywa się takie wyrażenie
opisowe, które zawiera zmienne (oznaczone np.: x, y, z, S, M, P, ...),
a po dokonaniu odpowiednich podstawień na miejsce zmiennych staje
się zdaniem w sensie logicznym.
Funkcją zdaniową jest np. wyrażenie  Każde S jest P , jeśli bowiem dokonamy
odpowiednich podstawień za zmienne S oraz P (w tym przypadku podstawiając pewne
nazwy generalne), to z wyrażenia tego powstanie zdanie: prawdziwe, np.  Każdy
notariusz jest prawnikiem , albo fałszywe, np.  Każdy student jest piłkarzem .
Podobnie jest funkcją zdaniową wyrażenie  Jeżeli p, to q  z tym, że nie jest to
funkcja zdaniowa ze zmiennymi nazwowymi, jak w poprzednim przypadku, lecz
funkcja zdaniowa ze zmiennymi zdaniowymi.
Na miejsce zmiennych p oraz q należy podstawiać jakieś zdania, aby otrzymać składne
zdanie, np.  Jeśli Jan śpi, to Piotr czuwa (domyślając się przy tym, iż chodzi np. o
godz. 23:00 dnia 2 X 2011r. w takim to a takim miejscu).
Funkcja zdaniowa sama w sobie nie ma określonej wartości logicznej.
Niemniej zazwyczaj w zależności od tego, jakich dokonujemy
konkretnych podstawień na miejsce zmiennych, otrzymujemy z danej
funkcji zdania prawdziwe albo fałszywe.
Niektóre jednak funkcje zdaniowe mają te szczególną właściwość, że
przy wszelkich odpowiednio dokonywanych podstawieniach powstają z
nich jedynie zdania prawdziwe.
\
Np.  Jeżeli x jest przedmiotem żółtym, to x jest przedmiotem kolorowym  nie może
bowiem być tak, by jakiś przedmiot był żółty i niekolorowy, ze względu na sam sens
tych słów w języku polskim.
Inne natomiast funkcje zdaniowe po podstawieniu zawsze zmieniają się
w zdanie fałszywe.
Np.:  Jest tak, że p, i zarazem nie jest tak, że p  każde zdanie wpisane na miejsce
zmiennej p sprawi, że otrzymamy z tej funkcji zdanie fałszywe, choćby  Jest tak, że
Jan teraz śpi, i zarazem nie jest tak, że Jan teraz śpi .
Funkcja zdaniowa  Jeśli x jest żółte, to x jest kolorowe nie jest ani
prawdziwa, ani fałszywa.
Natomiast prawdą jest, że dla wszelkich podstawień nazw na miejsce
zmiennej x w tej funkcji powstawać będą jedynie zdania prawdziwe.
Dla oznaczenia tej ostatniej właściwości pewnej funkcji zdaniowej ze
zmiennymi nazwowymi używa się w logice znaku zwanego
kwantyfikatorem ogólnym (kwantyfikatorem wielkim), odnoszonym
do zmiennej czy zmiennych występujących w danej funkcji.
Kwantyfikator ogólny odnoszony do pewnej zmiennej x zapisuje się w
postaci:
( albo: x, albo: '" ) dl k żdego
x
x
Prawdą jest więc, że:
jeśli x jest żółte, to x jest kolorowe.
x
Natomiast skoro może być przecież tak, że pewien przedmiot jest kolorowy, a nie jest
żółty to nie jest prawdą, że:
jeśli x jest kolorowe, to x jest żółte.
x
W takim przypadku można orzec, że dla niektórych x jest tak, że jeśli x jest kolorowe,
to x jest żółte.
Dla oznaczenia, że dana funkcja zdaniowa przy przynajmniej niektórych
podstawieniach nazw na miejsce danej zmiennej zmienia się w zdanie
prawdziwe, używa się kwantyfikatora szczegółowego
(kwantyfikatora małego) w odniesieniu do danej zmiennej czy
zmiennych.
Kwantyfikator szczegółowy odnoszony do zmiennej x zapisuje się jako:
( albo: Łx, albo: (" )
istni j
x
x
Nie jest prawdą, że wszystko, co kolorowe, jest żółte, ale prawdą jest, że:
x jest kolorowe i x jest żółte.
:
x
Kwantyfikatory używane są w odniesieniu do zmiennych nazwowych,
na miejsce których wpisywane być mają nazwy przedmiotów z
określonej klasy, wyznaczonej przez zapis pod znakiem kwantyfikatora,
wskazujący np. iż chodzi o wszelkie x czy przynajmniej niektóre x z
pewnej klasy A. (notujemy wówczas: )
,
x A x A
Funkcja zdaniowa nie jest wypowiedzią o określonej wartości logicznej,
lecz powstawać z niej mogą zdania prawdziwe czy też zdania fałszywe,
i to w dwojaki sposób:
" przez konkretyzację, to znaczy podstawienie odpowiednich wyrażeń
na miejsce wszystkich występujących w danej funkcji zmiennych,
" przez kwantyfikację, to znaczy przez poprzedzenie tej funkcji
kwantyfikatorem ogólnym czy szczegółowym, w odniesieniu do
wszystkich występujących w danej funkcji zmiennych nazwowych.
Przykładowo nie jest zdaniem wyrażenie:  x, y : x kocha y w chwili z , w którym
zmienna z pozostała zmienną wolną, nie związaną przez kwantyfikator.
Pojęcie funkcji zdaniowej jest przede wszystkim dlatego przydatne, że
pozwala łatwo uwidocznić strukturę zdania.
Każda funkcja zdaniowa jest bowiem mniej czy bardziej ogólnym
schematem, planem budowy zdań powstających z niej przez
odpowiednie podstawienia lub przez kwantyfikację.
IV.6 Struktura zdania
Ze względu na strukturę należy przede wszystkim odróżniać zdania
proste i zdania złożone.
Zdaniem złożonym nazywa się zdanie, w obrębie którego występuje
część będąca odrębnym zdaniem.
Przykładowo:
 Widoczne jest, że Jan stara się z całych sił i pracuje nawet całymi nocami.
 Student pracuje pilnie, jednak efektów jeszcze nie widać.
Natomiast zdanie, którego żadna część nie jest odrębnym zdaniem, w
związku z czym nie występują w nim funktory zdaniotwórcze od
argumentów zdaniowych, nazywa się zdaniem prostym, czyli  w
tradycyjnej terminologii  zdaniem kategorycznym.
Np.  Jacek jest studentem ,  Internista nie jest prawnikiem ,  Pies głośno wyje .
Wyróżnianie zdań prostych i złożonych, w zależności od tego, czy
zawierają one funktor zdaniotwórczy od argumentu bądz
argumentów
zdaniowych, czy też nie, okazuje się jednak często w odniesieniu do
konkretnych zdań mowy potocznej kryterium budzącym wątpliwości.
Odnotujmy istotną własność czasownika  być . Mianowicie słowo
 jest jest słowem wieloznacznym, a do tego jako funktor
zdaniotwórczy może być funktorem od:
" dwu argumentów nazwowych,
(np.  Jan jest łasuchem ,  Anna jest pilną studentką )
" jednego argumentu.
(np.  Jest naturalny księżyc naszej planety ,  Są studenci, którzy lubią logikę )
 Jest jako funktor jednoargumentowy znaczy tyle, co  istnieje .
Forma przecząca słowa  jest branego w tym znaczeniu przyjmuje postać  nie ma .
(np.  Nie ma ptaków zimnokrwistych )
Zdania orzekające o istnieniu (czy nieistnieniu) przedmiotów jakiegoś
rodzaju nazywamy zdaniami egzystencjalnymi.
Wypowiedz
 Jest (istnieje) A (skrótowo:  ex A ) znaczy tyle, co:
 Klasa przedmiotów A nie jest pusta (czyli, należy do niej przynajmniej
jeden przedmiot) .
Ze względu na odmienne znaczenia słowa  jest wśród zdań prostych
sprowadzanych do struktury  a jest b , w których słowo  jest
występuje jako funktor dwuargumentowy, należy wyróżniać dwa
rodzaje.
1. Zdania atomiczne orzekają, że jakieś indywiduum x, określona
jednostka oznaczona nazwą indywidualną, należy albo nie należy
do określonej klasy A  co skrótowo zapisujemy znakiem  x A .
Np.  Jan jest (nie jest) górnikiem znaczy tyle, co  Jan należy (nie należy) do
klasy górników .
Podmiotem zdania atomicznego jest jakaś nazwa indywidualna, a
orzecznikiem jakaś nazwa generalna
2. Zdania subsumpcyjne orzekają, że jakaś klasa A w całości czy w
części zawiera się (nie zawiera się) w jakiejś klasie B.
Np.  Pies jest kręgowcem  co znaczy tyle, że  Klasa psów zawiera się w klasie
kręgowców .
W takim zdaniu zarówno podmiot, jak i orzecznik są nazwami
generalnymi.
Strukturą zdań subsumpcyjnych zajmowała się zwłaszcza dawniejsza,
średniowieczna logika, w której wszelkie zdania proste usiłowano
sprowadzić do pewnych zdań subsumpcyjnych.
Nazwy składowe zdań subsumpcyjnych oznaczano literami S (subiectum  podmiot)
oraz P (praedicatum  orzecznik).
Dla odmiany analiza struktury zdań złożonych sprowadza się głównie
do analizy różnego rodzaju spójników międzyzdaniowych, czyli
funktorów zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych.
Funktory te służą do budowy zdań złożonych ze zdań prostszych, a
rodzaj funktora wyznacza rodzaj zdania złożonego.
IV.7 Odpowiedniki zdania w świadomości
Przeżycie odpowiadające wypowiedzianemu czy usłyszanemu zdaniu
może polegać na tym, że dana osoba wydaje sąd albo przypuszcza, że
tak jest, jak głosi zdanie, albo tylko rozumie, co głosi dane zdanie.
A.
Wydaje sąd osoba, która żywi ugruntowane przeświadczenie, że tak a
tak jest czy też tak a tak nie jest. Sąd jest przeżyciem, które jest
odpowiednikiem zdań wypowiadanych  na serio i z przekonaniem.
Zdania służą przede wszystkim do wyrażania naszych sądów.
Wydanie sądu następować może nie od razu, lecz po wahaniach.
B.
Zdanie czasem może wyrażać tylko nasze przypuszczenie.
W tym przypadku nie mamy ustalonego przeświadczenia, że tak jest, jak
głosi zdanie, lecz tylko skłonność do przyjmowania, że tak właśnie jest.
C.
Może być też i tak, że wypowiadamy jakieś zdanie, rozumiemy, co ono
głosi, ale w ogóle nie żywimy żadnych przeświadczeń co do jego
wartości logicznej.
Odróżnia się kłamstwo od omyłki.
Ludzie mogą kłamać, to znaczy wypowiadać jakieś zdania wbrew swym
przeświadczeniom  co innego wtedy myślą, a co innego podają za
prawdę.
Niezależnie od tego, ludzie mogą się mylić, to znaczy wypowiadać
zdania fałszywe sądząc, że są to zdania prawdziwe, albo brać zdania
prawdziwe za zdania fałszywe.
W tym ostatnim przypadku może się zdarzyć, że ktoś kłamie, ale ponieważ się myli w
swym sądzie, mówi prawdę.
V. Funktory  klasyczny
rachunek zdań
V.1 Funktory zdaniotwórcze.
Symbolizm k.r.z.
Klasyczny rachunek zdań (w skrócie: k.r.z.) jest teorią funktorów
zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych o tej własności, że
wartość logiczna zdań złożonych, utworzonych przy pomocy tych
funktorów, jest wyznaczona jednoznacznie przez wartości logiczne (a
nie treści!) zdań będących ich argumentami.
Funktory posiadające tę własność nazywa się funktorami
ekstensjonalnymi lub prawdziwościowymi.
Funktory, które nie są ekstensjonalne, nazywamy intensjonalnymi lub
modalnymi.
K.r.z. stanowi podstawy niezawodnych wnioskowań w zakresie zdań o
pewnej strukturze logicznej.
Do podstawowych funktorów ekstensjonalnych zalicza się wyrażenia:
nieprawda, że &  negacja
& i &  koniunkcja
& lub &  alternatywa
jeżeli ... , to ...  implikacja
& wtedy i tylko wtedy, gdy &  równoważność
Zwrot: nieprawda, że tworzy bardziej rozbudowane zdanie z jednego
zdania.
Przykładowo dołączając go do zdania: Kielce są stolicą Polski otrzymujemy
zdanie: Nieprawda, że Kielce są stolicą Polski.
Wszystkie pozostałe, spośród wymienionych wyrażeń tego rodzaju,
tworzą zdania złożone, łącząc ze sobą dwa zdania proste.
Przykładowo:
Warszawa jest stolicą Polski i Kielce leżą nad Silnicą.
Jacek jest studentem lub Zofia jest tancerką.
Jeżeli wszystkie kąty trójkąta są równe, to wszystkie boki trójkąta są równe.
Jan przychodzi na przyjęcia wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie przychodzi na
przyjęcia.
Przykładami funktorów intensjonalnych są zwroty takie jak ponieważ;
jest konieczne, że; jest możliwe, że; wiadomo, że.
Przyjrzyjmy się np. wyrażeniu: ponieważ.
Jest to funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych.
Rozważmy dwa zdania złożone zbudowane przy jego użyciu:
(1) Jan spóz
nił się na pociąg, ponieważ jego zegarek się póz
nił.
(2) Jan spóz
nił się na pociąg, ponieważ żona Jana jest pielęgniarką.
Załóżmy przy tym, że wszystkie zdania: Jan spóz
nił się na pociąg,
Zegarek Jana się póz
nił oraz Żona Jana jest pielęgniarką są prawdziwe.
Załóżmy ponadto, że przyczyną spóz
nienia się Jana na pociąg było to,
że jego zegarek się póz
nił (a nie to, że jego żona jest pielęgniarką).
Wówczas zdanie (1) jest prawdziwe, a zdanie (2) jest fałszywe.
Zdania złożone (1) i (2) mają identyczną strukturę logiczną, jednak 
jak widać  wartości logiczne argumentów funktora ponieważ nie
wyznaczają jednoznacznie wartości logicznej zdania złożonego,
zbudowanego przy jego pomocy.
Prezentacja k.r.z. wymaga posłużenia się językiem symbolicznym.
W tym języku podstawowe funktory ekstensjonalne mają swoje
symbole. Znaki tych symboli zamieszczone są w tabeli:
znak funktor wyrażenie
negacja nieprawda, że
( ~ )
koniunkcja i
alternatywa lub
( )
implikacja jeżeli ... , to ...
( )
równoważność wtedy i tylko wtedy, gdy
Poza symbolami funktorów w języku k.r.z. występują symbole postaci:
p, q, r, s, t, ... zwane zmiennymi zdaniowymi, które reprezentują
dowolne zdania w sensie logiki (wypowiedzi prawdziwe lub fałszywe!).
Ponieważ są to zmienne zdaniowe, nie oznaczają one żadnego zdania,
ale można w ich miejsce podstawić dowolne zdanie tak.
Ostatnią grupę symboli, występujących w języku rachunku zdań,
stanowią nawiasy (jako znaki pomocnicze): (, ), [, ], {, } pomocne w
konstruowaniu wyrażeń bardziej złożonych.
Wymienione symbole są wystarczające do skonstruowania dowolnego
wyrażenia w języku rachunku zdań.
Wyrażeniami sensownymi w języku k.r.z są:
A. Wszystkie pojedyncze zmienne zdaniowe, czyli napisy postaci: p, q,
r, s, t, ... itd.
B. Ciągi napisów postaci:
p, p q, p q, p q, p q
C. Ciągi napisów utworzone z wyrażeń sensownych, w których
zastąpiono dowolny symbol reprezentujący zmienną zdaniową
dowolnym wyrażeniem sensownym (ujętym w nawias).
Powyższe określenie nie jest w pełni precyzyjną definicją zbioru
wyrażeń sensownych języka k.r.z. Jednak na podstawie takiego
określenia intuicyjnie zrozumiałe staje się, jakie ciągi symboli stanowią
poprawnie zbudowane wyrażenia k.r.z., a jakie nie.
Dla przykładu wyrażeniami sensownymi na pewno nie są:
p, p , p , p q r , p q itp.
Człony p, q koniunkcji nazywamy czynnikami,
p q
człony alternatywy nazywamy składnikami,
p q
pierwszy człon implikacji q nazywamy jej poprzednikiem, a drugi
p
jej następnikiem.
V.2 Funktory a wartość logiczna
Fakt, że negacja, koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność są
funktorami ekstensjonalnymi, pozwala scharakteryzować je za pomocą
zależności między wartościami logicznymi ich argumentów a
wartościami zdań złożonych, utworzonych przy ich pomocy.
Skoro każde zdanie jest prawdziwe albo fałszywe, to możemy określić
znaczenie funktora ekstensjonalnego, abstrahując od treści jego
argumentów, a koncentrując się tylko na ich wartościach logicznych.
Ustalamy, w jaki sposób wartości logiczne zdań składowych
determinują wartość logiczną zdania złożonego.
N E G A C J A
Rozważmy zdania:
(a) Warszawa jest stolicą Polski. / prawdziwe /
(b) Kielce leżą nad Odrą. / fałszywe /
oraz negacje tych zdań:
(a') Nieprawda, że Warszawa jest stolicą Polski. / fałszywe /
(b') Nieprawda, że Kielce leżą nad Odrą. / prawdziwe /
Do podobnego wniosku dojdziemy, gdy w miejsce zdań (a) i (b)
wstawimy dowolne zdania odpowiednio prawdziwe i fałszywe.
Korzystając z notacji symbolicznej możemy stwierdzony właśnie fakt
ująć w następującej tabeli:
WL(p) WL(Źp)
1 0
0 1
gdzie napis WL(p) oznacza wartość logiczną zdania p, WL(Źp)  wartość
logiczną zdania Źp, z kolei 1 jest symbolem prawdy, a 0  symbolem
fałszu.
Tabelę tę nazywa się matrycą funktora negacji.
Tabela ta stanowi wystarczającą matrycę funktora negacji.
Możliwość definiowania funktorów ekstensjonalnych przy pomocy tego
typu matryc sprawia, że łatwo jest znalez
ć odpowiedz
na pytanie o
liczbę różnych jednoargumentowych funktorów ekstensjonalnych.
Mianowicie, funktorów takich jest tyle, ile jest możliwych układów
symboli: 0, 1 w dwóch wierszach kolumn charakteryzujących te
funktory.
Stwierdzamy zatem natychmiast, że skoro takich możliwych układów
jest 4, to i istnieją 4 funktory jednoargumentowe.
Fakt ten pokazuje następująca tabela:
WL(p) WL([1]p) WL([2]p) WL([3]p) WL([4]p)
1 0 0 1 1
0 0 1 0 1
Symbole [1], [2], [3], [4], to symbole tych funktorów.
" Widoczne jest, że funktor [2] jest identyczny z funktorem negacji: Ź.
" Funktor [1] zawsze tworzy zdanie fałszywe, niezależnie od wartości
logicznej jego argumentu. Z tego powodu nazywany jest falsum.
" Funktor [3] tworzy zdanie złożone o wartości logicznej identycznej z
wartością jego argumentu i zwany jest asercją.
" Funktor [4] tworzy zawsze zdanie prawdziwe niezależnie od wartości
logicznej swego argumentu i nazywa się verum.
Spośród tych czterech funktorów jednoargumentowych jedynie funktor
negacji jest używany w języku potocznym i tylko do niego będziemy się
odwoływali w dalszych rozważaniach.
Alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność są
dwuargumentowymi funktorami ekstensjonalnymi.
Zastanówmy się, ile jest wszystkich funktorów dwuargumentowych.
Wiadomo, że istnieją cztery możliwe układy wartości logicznych dla ich
argumentów p i q. Uwidocznione jest to w tabeli:
WL(p) WL(q)
0 0
0 1
1 0
1 1
Dowolny dwuargumentowy funktor ekstensjonalny może być
scharakteryzowany przez przyporządkowanie stosownych wartości
logicznych każdemu z wymienionych czterech układów wartości.
Takich możliwych przyporządkowań jest 16 i są one wyszczególnione w
następującej tabeli:
WL(p) WL(q) WL(p 1 q)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
gdzie 1 , 2 , ... , 16 są symbolami odpowiednich funktorów dwuargu-
mentowych.
Każda z szesnastu kolumn przedstawionej tabeli charakteryzuje pewien
dwuargumentowy funktor ekstensjonalny.
Koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność są więc tylko
niektórymi spośród wszystkich szesnastu funktorów tego rodzaju.
K O N I U N K C J A
Rozważmy następujące cztery zdania złożone:
(1) Warszawa leży nad Wisłą i jest stolica Polski.
(2) Warszawa leży nad Wisłą i jest stolicą Francji.
(3) Warszawa leży nad Odrą i jest stolicą Polski.
(4) Warszawa leży nad Odrą i jest stolicą Francji.
Oba człony zdania (1) są prawdziwe. / układ wartości logicznych (1, 1) /
Pierwszy człon zdania (2) jest prawdziwy, a drugi fałszywy. / układ (1, 0) /
Pierwszy człon zdania (3) jest fałszywy, a drugi prawdziwy. / układ (0, 1) /
Oba człony zdania (4) są fałszywe. / układ (0, 0) /
Spośród zdań (1), (2), (3) i (4) tylko pierwsze jest prawdziwe, a
pozostałe trzy fałszywe.
Do podobnych ustaleń doszlibyśmy rozważając koniunkcję zdań o
różnej treści, lecz o takim samym układzie wartości logicznych.
Dzieje się tak, bowiem koniunkcja dwu zdań jest prawdziwa wtedy i
tylko wtedy, gdy oba jej człony są prawdziwe, natomiast jest ona
fałszywa, gdy chociaż jeden z członów jest fałszywy.
Taką charakterystykę prawdziwościową ma funktor 2 i właśnie on jest
funktorem koniunkcji.
Wobec tego koniunkcję charakteryzuje tabela:
WL(p) WL(q) WL(p q)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A L T E R N A T Y W A
Rozważmy następujące zdanie złożone:
(5) Jan jest żonaty lub Jan jest nauczycielem.
dla wszystkich możliwych wartościowań zdań składowych.
Załóżmy, że oba człony tej alternatywy są prawdziwe (układ wartości (1, 1)), co ma
miejsce wówczas, gdy Jan jest żonaty oraz Jan jest nauczycielem.
Wówczas zdanie (5) jest prawdziwe.
Gdyby pierwszy człon tej alternatywy był prawdziwy, a drugi fałszywy (układ (l, 0)),
co miałoby miejsce wówczas, gdyby Jan był żonaty, lecz nie był nauczycielem, to
również uznalibyśmy, że zdanie (5) jest prawdziwe.
Podobnie miałaby się sprawa w przypadku, gdyby Jan nie był żonaty, lecz był
nauczycielem. Pierwszy człon alternatywy byłby fałszywy, a drugi prawdziwy (układ
(0, 1)) i całą alternatywę uznalibyśmy za prawdziwą.
Jedynie w przypadku, gdy oba człony alternatywy byłyby fałszywe (układ (0, 0)), co
miałoby miejsce wtedy, gdyby Jan nie był ani żonaty, ani nauczycielem uznalibyśmy,
że zdanie (5) jest fałszywe.
Alternatywę dwóch zdań uznajemy za prawdziwą wtedy i tylko
wtedy, gdy co najmniej jedno z tych zdań jest prawdziwe; gdy oba
zdania są fałszywe to i ich alternatywa jest fałszywa.
W taki sposób jest scharakteryzowany funktor 8 i on właśnie jest
identyczny z funktorem alternatywy. Wobec tego alternatywę
charakteryzuje tabela:
WL(p) WL(q) WL(p q)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
I M P L I K A C J A
Analizę dotyczącą implikacji dobrze jest przeprowadzić na przykładzie
zdania stanowiącego obietnicę warunkową.
Wyobraz
my sobie zatem, że Jan Kowalski obiecuje swojemu synowi
Adamowi:
(6) Jeżeli zdasz egzamin z logiki, to otrzymasz komputer.
Wyrażenie to jest równoważnikiem zdania logicznego:
(6') Jeżeli Adam Kowalski zda egzamin z logiki, to otrzyma
komputer od Jana Kowalskiego.
Mogą się zdarzyć następujące przypadki:
a) Adam zda egzamin i dostanie komputer. / układ (1, 1) /
b) Adam zda egzamin i nie dostanie komputera. / układ (1, 0) /
c) Adam nie zda egzaminu i nie dostanie komputera. / układ (0, 0) /
d) Adam nie zda egzaminu i dostanie komputer. / układ (0, 1) /
W przypadku a) implikacja (6') jest niewątpliwie prawdziwa (ojciec dotrzymał
obietnicy).
W przypadku b) uznamy, że ojciec najwyraz
niej nie dotrzymał obietnicy, co sprawia,
że implikacja (6') jest fałszywa.
W przypadku c) implikacja jest również prawdziwa (obietnica została dotrzymana).
W przypadku d) poprzednik implikacji jest fałszywy, a następnik fałszywy.
Czy implikacja jest wówczas prawdziwa? Inaczej mówiąc  czy ojciec dotrzymał
obietnicy?
Obiecał synowi, że podaruje mu komputer, gdy ten zda egzamin z logiki. Nie
zastrzegał jednak, że w wypadku przeciwnym nie podaruje mu komputera. Tym
samym pozostawił sprawę otwartą, dopuszczając też i taki przypadek, że kupi synowi
komputer, mimo że ten nie zda egzaminu z logiki.
Implikacja o fałszywym poprzedniku i prawdziwym następniku jest prawdziwa.
Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest
prawdziwy, a następnik fałszywy; w pozostałych przypadkach
implikacja jest prawdziwa.
Taką charakterystykę ma funktor 14 i właśnie on jest identyczny z
funktorem implikacji. Zatem funktor implikacji charakteryzuje tabela:
WL(p) WL(q) WL(p q)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 I
Implikacji nie należy mylić ze związkiem wynikania, zachodzącym
między zdaniami!
Dla przykładu implikacja: Jeżeli Warszawa jest stolicą Francji, to
wieloryb jest ssakiem jest prawdziwa (jako implikacja o prawdziwym
następniku), chociaż z poprzednika nie wynika następnik.
Przykład ten pokazuje również, że nie jest wymagany żaden związek treściowy między
poprzednikiem a następnikiem implikacji, aby była ona prawdziwa.
Poprzednik i następnik implikacji mogą orzekać zupełnie  o czymś innym , a
implikacja może być prawdziwa, jeżeli zachodzi odpowiedni układ wartości
logicznych, przysługujących tym członom.
R Ó W N O W A Ż N O Ś Ć
Niech teraz obietnica Jana Kowalskiego, złożona jego synowi Adamowi,
brzmi:
(7) Dostaniesz komputer wtedy i tylko wtedy, gdy zdasz egzamin z logiki.
Takie sformułowanie obietnicy spowodowałoby, że w przypadku d)
(Adam nie zda egzaminu i otrzyma komputer) obietnica nie zostanie spełniona i
zdanie:
(7') Adam otrzyma komputer wtedy i tylko wtedy, gdy zda egzamin z logiki.
jest fałszywe.
Równoważność jest prawdziwa, gdy jej człony mają taką samą
wartość logiczną, a fałszywa, gdy jej człony mają różną wartość
logiczną.
W taki sposób jest scharakteryzowany funktor 10 .
Równoważność charakteryzuje więc następująca tabela:
WL(p) WL(q) WL(p q)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Zastanówmy się, jakie funktory ekstensjonalne określają pozostałe
kolumny z szesnastokolumnowej tabeli.
Funktor 15 można, zgodnie z jego charakterystyką prawdziwościową,
interpretować jako: co najwyżej jedno z dwojga. Funktor taki nazywany
jest dysjunkcją i oznaczany symbolem / (p/q jest dysjunkcją zdań p i q).
Funktor 9 nazywamy funktorem binegacji lub negacji łącznej (ani ... ,
ani ... ) i symbolizujemy znakiem �!, (p�!q oznacza ani p, ani q).
Funktor 7 nazywamy funktorem alternatywy rozłącznej i symbolizu-
jemy znakiem (p q oznacza albo p, albo q).
Funktor 1 można nazwać dwuargumentowym falsum.
Funktor 16 dwuargumentowym verum.
Pozostałe funktory nie mają większego znaczenia i nie są dla nich
zarezerwowane specjalne nazwy.
Dziękuję za uwagę!