• Wartość oczekiwana

wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej

• Moment zwykły rzędu K

• Wariancja zmiennej losowej

• Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami zmiennej losowej a wartością oczekiwaną

Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Typowe rozkłady dyskretne

• Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny)

• Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p ( ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem:

• Rozkład Poissona

• Rozkład geometryczny

Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję prawdopodobieństwa

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego

o ile

Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego

o ile

Wariancja i odchylenie standardowe:

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem

Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie

Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy całkować po x-sie w granicach zależnych od x

Dla

Dla

Dla

Właściwości dystrybuanty:

1. 

2. Funkcja F(x) jest niemalejąca

3. Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła

4. Jeżeli pewna funkcja G(x) spełnia powyższe warunki to jest ona dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

5. 

W przypadku rozkładu typu ciągłego dodatkowo występują następujące własności:

6. F(x) jest funkcją ciągłą

7. 

8. 

Typowe rozkłady ciągłe

• Rozkład jednostajny

• Rozkład wykładniczy

• Rozkład normalny (Gaussa)

• Standardowy rozkład normalny

Proces standaryzacji:

w kwadracie odpowiedni znak nierówności

by odczytać wartości z tablic musi być nierówność