Macierz – tablica zawierająca m*n liczb rzeczywistych zapisanych w m wierszach (rzędach) i n kolumnach.

Wymiar macierzy – para liczb naturalnych określających liczbę wierszy i kolumn macierzy.

Klasyfikacja macierzy:

1. ze wzg. na wymiar:

   1. macierz prostokątna gdy m≠n

   2. macierz kwadratowa gdy m=n (wyrazy a[i,j] tworzą przekątną główną)

      1. macierz jednostkowa II – na głównej przekątnej są 1 a reszta wyrazów to zera.

2. ze wzg. na elementy tworzące macierz:

   1. zerowa (wszystkie wyrazy = 0)

   2. jedynkowa (wszystkie wyrazy = 1)

   3. diagonalna (a[i,j]≠0 dla i=j i a[i,j]=0 dla dla i≠j) jest macierzą trój. dolną i górną.

   4. trójkątna górna (dolna) – a[i,j]=0 dla i>j (i<j)

   5. symetryczna (a[i,j]=a[j,i])

Działania wykonywane na macierzy:

1. na jednej macierzy:

   1. transponowanie (odwrócenie wierszy i kolumn)

   2. mnożenie macierzy przez liczbę

   3. odwracanie macierzy (tylko kwadratowa i nieosobliwa [det A≠0] i macierzą odwrotną do A nazywamy macierz B jeżeli A*B=B*A=II)

   4. potęgowanie macierzy (tylko macierz kwadratowa)

2. na dwóch macierzach:

   1. dodawanie (A i B muszą mieć ten sam wymiar)

   2. odejmowanie ( --II--)

   3. mnożenie macierzy przez macierz (Amxn * Bpxq = Cmxq ;war: n=p)

   4. iloczyn KRONECKERA - każdy el. macierzy A mnożymy przez całą macierz B (powstaje macierz blokowa). Własności:

      1. (A+B)®C = A®B + B®C

      2. A®B≠B®A

      3. (A®B)trans = Atrans ® Btrans

      4. α*(A®B)= (αA)®B

Charakterystyki liczbowe macierzy – liczby przyporządkowywane macierzom.

1. Ślad (tr) – liczba rzeczywista równa sumie el. na głównej przekątnej. Własności:

   1. trIIn = n

   2. tr(A+B)= trA + trB

   3. tr(A*B)= tr(B*A)

   4. tr(αA)= α trA

   5. tr(A®B)= trA*trB

2. Wyznacznik macierzy (det) – det Amxn nazywamy liczbę określoną wzorem rekurencyjnym:

   1. Gdy n=1: detAn= a[1,1]

   2. Gdy n>1:

detA=a[1,1]*(-1)¹⁺¹*detA1x1 + a[1,2]*(-1)¹⁺²*detA1x2+…+a[1,n]*( 1)¹⁺ⁿ*detA1xn

Tw. LAPLACE’A:

Jeżeli macierz A=a[i,j]nxn to detA można przedstawić w postaci:

detA= a[i,1]*D[i,1]+a]i,2]*D[i,2]+…+a[i,n]*D[i,n] ;D[i,j]=(-1)^i+j*detAij

lub

detA= a[1,j]*D[1,j]+a]2,j]*D[2,j]+…+a[n,j]*D[n,j] ;D[i,j]=(-1)^i+j*detAij

Własności wyznacznika:

a) An –T1 B, to detB= α*detA ;T1- α*a[i,j]

b) A –T2-> B, to detB= - detA ;T2- zamiana miejscami wierszy/kolumn

c) A –T3 B, to detB=detA ;T3 – dodawanie wierszy/kolumn

3. Rząd (rz) – liczba rzeczywista równa stopniowi macierzy jednostkowej otrzymanej po przekształceniach elementarnych na macierzy. Własności:

   1. rzIIn (macierzy jednostkowej) = n

   2. rz A=0  A jest macierzą zerową

   3. 0 =< rz Anxm=< min. (m,n)

   4. rzA = rzAtrans

   5. Amxn T1 lub/i T2 lub/i T3  B to rzA = rzB

Związki między rzędem i wyznacznikiem:

1. detAn≠0  rzA=n

2. rzAn=n  det An ≠0