POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział Instalacji Budowlanych, Hydrotechniki i Inżynierii Środowiska

STATYSTYKA

Projekt nr 3.

Przygotowały:

Joanna Iwaniuk

Paulina Kondraciuk

gr. ZwWiOŚ 1

1. Dane wejściowe:

Tabela 1. Średni wynik oznaczeń i odchylenie standardowe średniej zawartości arsenu (badanego dwoma metodami) w próbkach wody.

Nr próbki	Metoda 1 [µg/l]	Niepewność 1 [µg/l]	Metoda 2 [µg/l]	Niepewność 2 [µg/l]
1	8,71	1,92	7,35	2,07
2	7,01	1,56	7,92	2,23
3	3,28	0,76	3,40	0,96
4	5,60	1,26	5,44	1,53
5	1,55	0,39	2,07	0,59
6	1,75	0,43	2,29	0,65
7	0,73	0,22	0,66	0,19
8	3,66	0,84	3,43	0,97
9	0,90	0,25	1,25	0,36
10	9,39	2,07	6,58	1,85
11	4,39	1,00	3,31	0,93
12	3,69	0,84	2,72	0,77
13	0,34	0,13	2,32	0,66
14	1,94	0,47	1,50	0,43
15	2,07	0,50	3,50	0,99
16	1,38	0,36	1,17	0,33
17	1,81	0,45	2,31	0,66
18	1,27	0,33	1,88	0,54
19	0,82	0,23	0,44	0,13
20	1,88	0,46	1,37	0,40
21	5,66	1,27	7,04	1,98
22	0	0,06	0	0,01
23	0	0,06	0,49	0,15
24	0,40	0,15	1,29	0,37
25	0	0,06	0,37	0,12
26	1,98	0,48	2,16	0,62
27	10,21	2,24	12,53	3,51
28	4,64	1,05	3,90	1,10
29	5,66	1,27	4,66	1,31
30	19,25	4,18	15,86	4,45

Aby zbadać istotność różnicy odchyleń standardowych dwóch średnich (każda z 5 pomiarów) zastosowano test F.

Z czego S₁czyli licznik powyższego równania stanowi wartość większa z dwóch odchyleń standardowych.

Hipoteza zerowa zakłada, że wariancje obu populacji są sobie równe, czyli F=1.

Obliczone wartości F dla 30 próbek porównano z F_kryt odczytaną z tabel. Dla n-1 = 4 elementów odczytano F_kryt=9,605. Poprzez porównanie wartości F i F_kryt zbadano czy S₁ i S₂ różnią się czy nie w istotny sposób.

Nr	Metoda 1 [µg/l]	Niepewność 1 [µg/l]	Metoda 2 [µg/l]	Niepewność 2 [µg/l]	F=s1^2/s2^2	Fkr	Sprawdzenie istotności
1	8,71	1,92	7,35	2,07	1,162	9,605	nie istotne
2	7,01	1,56	7,92	2,23	2,043	9,605	nie istotne
3	3,28	0,76	3,4	0,96	1,596	9,605	nie istotne
4	5,6	1,26	5,44	1,53	1,474	9,605	nie istotne
5	1,55	0,39	2,07	0,59	2,289	9,605	nie istotne
6	1,75	0,43	2,29	0,65	2,285	9,605	nie istotne
7	0,73	0,22	0,66	0,19	1,341	9,605	nie istotne
8	3,66	0,84	3,43	0,97	1,333	9,605	nie istotne
9	0,9	0,25	1,25	0,36	2,074	9,605	nie istotne
10	9,39	2,07	6,58	1,85	1,252	9,605	nie istotne
11	4,39	1	3,31	0,93	1,156	9,605	nie istotne
12	3,69	0,84	2,72	0,77	1,19	9,605	nie istotne
13	0,34	0,13	2,32	0,66	25,775	9,605	znaczna różnica
14	1,94	0,47	1,5	0,43	1,195	9,605	nie istotne
15	2,07	0,5	3,5	0,99	3,92	9,605	nie istotne
16	1,38	0,36	1,17	0,33	1,19	9,605	nie istotne
17	1,81	0,45	2,31	0,66	2,151	9,605	nie istotne
18	1,27	0,33	1,88	0,54	2,678	9,605	nie istotne
19	0,82	0,23	0,44	0,13	3,13	9,605	nie istotne
20	1,88	0,46	1,37	0,4	1,323	9,605	nie istotne
21	5,66	1,27	7,04	1,98	2,431	9,605	nie istotne
22	0	0,06	0	0,01	36	9,605	znaczna różnica
23	0	0,06	0,49	0,15	6,25	9,605	nie istotne
24	0,4	0,15	1,29	0,37	6,084	9,605	nie istotne
25	0	0,06	0,37	0,12	4	9,605	nie istotne
26	1,98	0,48	2,16	0,62	1,668	9,605	nie istotne
27	10,21	2,24	12,53	3,51	2,455	9,605	nie istotne
28	4,64	1,05	3,9	1,1	1,098	9,605	nie istotne
29	5,66	1,27	4,66	1,31	1,064	9,605	nie istotne
30	19,25	4,18	15,86	4,45	1,133	9,605	nie istotne

W załaczonej tabeli wystąpiły dwa pomiary gdzie zaobserwowano znaczną różnicę, w tym przypadku obliczono:

• Kwadrat sumarycznego odchylenia standardowego różnicy średnich

• Wartość patametru t_eksp z uwzględnieniem sumarycznego odchylenia standardowego

• Liczbę stopni swobody

Dla danej wartości liczby stopni swobody wybierając rozkład dwustronny i uwzględniając zadany poziom ufności z tabeli rozkładu t-Studenta odczytano t_kryt.

Otrzymano w programie Excel następujące wyniki:

Nr prób.	Metoda 1 [µg/l]	Niepewność 1 [µg/l]	Metoda 2 [µg/l]	Niepewność 2 [µg/l]	S zbiór^2	t eksp	liczba stopni swobody	=LSS	t kryt
13	0,34	0,13	2,32	0,66	0,0905	8,84	4,31	4	2,776
22	0	0,06	0	0,01	0,0007	0,00	4,22	4	2,776

Jak widać, w jednym przypadku dla próbki nr 13 t_eksp > t_kryt, co oznacza, że należy odrzucić hipotezę zerową, gdyż odchylenia standardowe między średnimi są znaczne. Rozpatrując próbkę nr 22 widzimy dokładnie odwrotną zależność niż poprzednio – sugeruje poprawność hipotezy zerowej.

Dla wartości nie różniących się w istotny sposób obliczono:

• Kwadrat sumarycznego odchylenia standardowego

Ponieważ liczebność obu serii jest jednakowa można skożystać z uproszczonego wzoru:

• Wartość patametru t_eksp z uwzględnieniem sumarycznego odchylenia standardowego

Po obliczeniu powyższych parametrów, odczytuje się z tablic dla rozkładu t-Studenta t_kryt, wybierając rozkład dwustronny, uwzględniając poziom ufności i liczbę stopni swobody równą n₁+n₁-2.

Wyniki zestawiono w tabeli:

Nr próbki	Metoda 1 [µg/l]	Niepewność 1 [µg/l]	Metoda 2 [µg/l]	Niepewność 2 [µg/l]	Szbior^2	t eksp	tkryt	sprawdzenie
1	8,71	1,92	7,35	2,07	3,99	1,522	2,306	teksp<tkryt
2	7,01	1,56	7,92	2,23	3,70	1,058	2,306	teksp<tkryt
3	3,28	0,76	3,4	0,96	0,75	0,310	2,306	teksp<tkryt
4	5,6	1,26	5,44	1,53	1,96	0,256	2,306	teksp<tkryt
5	1,55	0,39	2,07	0,59	0,25	2,326	2,306	teksp>tkryt
6	1,75	0,43	2,29	0,65	0,30	2,205	2,306	teksp<tkryt
7	0,73	0,22	0,66	0,19	0,04	0,783	2,306	teksp<tkryt
8	3,66	0,84	3,43	0,97	0,82	0,568	2,306	teksp<tkryt
9	0,9	0,25	1,25	0,36	0,10	2,475	2,306	teksp>tkryt
10	9,39	2,07	6,58	1,85	3,85	3,202	2,306	teksp>tkryt
11	4,39	1	3,31	0,93	0,93	2,504	2,306	teksp>tkryt
12	3,69	0,84	2,72	0,77	0,65	2,690	2,306	teksp>tkryt
13	0,34	0,13	2,32	0,66	-	-	-	-
14	1,94	0,47	1,5	0,43	0,20	2,200	2,306	teksp<tkryt
15	2,07	0,5	3,5	0,99	0,62	4,061	2,306	teksp>tkryt
16	1,38	0,36	1,17	0,33	0,12	1,356	2,306	teksp<tkryt
17	1,81	0,45	2,31	0,66	0,32	1,976	2,306	teksp<tkryt
18	1,27	0,33	1,88	0,54	0,20	3,050	2,306	teksp>tkryt
19	0,82	0,23	0,44	0,13	0,04	4,249	2,306	teksp>tkryt
20	1,88	0,46	1,37	0,4	0,19	2,616	2,306	teksp>tkryt
21	5,66	1,27	7,04	1,98	2,77	1,854	2,306	teksp<tkryt
22	0	0,06	0	0,01	-	-	-	-
23	0	0,06	0,49	0,15	0,01	10,957	2,306	teksp>tkryt
24	0,4	0,15	1,29	0,37	0,08	7,036	2,306	teksp>tkryt
25	0	0,06	0,37	0,12	0,01	8,273	2,306	teksp>tkryt
26	1,98	0,48	2,16	0,62	0,31	0,723	2,306	teksp<tkryt
27	10,21	2,24	12,53	3,51	8,67	1,762	2,306	teksp<tkryt
28	4,64	1,05	3,9	1,1	1,16	1,536	2,306	teksp<tkryt
29	5,66	1,27	4,66	1,31	1,66	1,736	2,306	teksp<tkryt
30	19,25	4,18	15,86	4,45	18,64	1,756	2,306	teksp<tkryt

Ponownie otrzymujemy rozbieżne wyniki, pomimo braku istotnych różnic między odchyleniami standardowymi średnich. Porównanie 12 z 28 prób 2 metodami wykazało, że t_eksp > t _kryt. Jednoznacznie można zaprzeczyć zerowej hipotezie. Nawet uwzględniając obszar krytyczny testu wiele z uzyskanych pomiarów nie mieszczą się w obszarze krytycznym, co pozwalała na odrzucenie H_o. Przeprowadzenie takiej pełnej analizy pokazuje, że obie metody pomiarów są obarczone błędami nie tylko losowymi i mogą dawać wskazania dla tego typu próbki znacznie odbiegające od wartości rzeczywistych. Arsen jest pierwiastkiem trującym i rakotwórczym, tak więc pożądane są jak najdokładniejsze wyniki.